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Formule de Leibniz

Plusieurs formules portent le nom de Formule de Leibniz

Dérivée du produit de deux fonctions dérivables

Le produit de deux fonctions f et g dérivables (sur \R ou \mathbb{C}) à l'ordre n est dérivable à l'ordre n. Sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) d'ordre n est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la formule :

(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \ f^{(k)}\ g^{(n-k)}

où les nombres entiers {n \choose k} sont les coefficients binomiaux.

Cette formule, proche dans sa forme de la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux...) de Newton, se prouve par récurrence de la même façon que cette dernière. On peut d'ailleurs en déduire la formule du binôme de Newton en choisissant f(x) = eax et g(x) = ebx.

Elle peut s'énoncer également pour des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif quelconque et pour toute dérivation définie sur un anneau.

Formule donnant π / 4

De nombreuses formules permettent de déterminer une valeur de π / 4. L'une d'entre elles vous est présentée ici. Cette formule est :

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.

(Démonstration de la formule de Leibniz)

Elle a été découverte en Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement l'Europe. L'extension de l'espace considéré a varié au cours de l'Histoire. À une période...) au XVIIème, mais apparaît en fait chez Madhava, mathématicien indien de la province de Kerala vers 1400.

Déterminant d'une matrice carrée

Le déterminant d'une matrice carrée A = (aij) d’ordre n est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) noté det(A) égal à :

\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n}  \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}

Sn est l’ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des permutations de {1, 2, …, n} et pour une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain...) σ de Sn, ε(σ) désigne sa signature ; égale à 1 si la permutation est paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) et -1 si la permutation est impaire.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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