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Loi de composition externe

En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien...) qui sert d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :

  • une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
  • une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .

Principales propriétés

Propriétés simples

Soit un ensemble E muni d'une loi externe " . " à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).

  • la loi " . " est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \epsilon . x = x \,
- et à droite :
\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \epsilon = x \,
  • la loi " . " est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même
ou :
- pour une relation à gauche :
\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ \lambda . a = a \,
- et à droite :
\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ a . \lambda = a \,
  • la loi " . " est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \omega . x = a \,
- et à droite :
\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \omega = a \,
  • la loi " . " est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y  \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,
- et à droite :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,
  • la loi " . " est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
- et à droite :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
  • la loi " . " est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.

Propriétés relatives à une loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon...)

  • la loi " . " est exo-associative par rapport à une loi interne * \, " de S si tout composé par la loi " . " d'un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) avec le composé par la loi " . " d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi * \, "
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ \lambda . ( \mu . x ) = ( \lambda * \mu ) . x \,
- et à droite :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( x . \mu ) . \lambda = x . ( \mu * \lambda ) \,
  • la loi " . " est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne\bot \, " de E si tout composé par la loi " . " d'un scalaire avec le composé par la loi\bot \, " de deux éléments de E est égal au composé par la loi\bot \, " des deux composés par la loi " . " de ces éléments de E avec le scalaire précédent
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ \lambda . ( x \bot y ) = ( \lambda . x ) \bot ( \lambda . y ) \,
- et à droite :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x \bot y ) . \lambda = ( x . \lambda ) \bot ( y . \lambda ) \,
  • la loi " . " est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne\top \, " de S relativement à une autre loi interne\bot \, " de E si tout composé par la loi " . " d'un élément de E avec le composé par la loi\top \, " de deux scalaires est égal au composé par la loi\bot \, " des deux composés par la loi " . " de l'élément de E avec chaque scalaire
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( \lambda \top \mu ) . x = ( \lambda . x ) \bot ( \mu . x ) \,
- et à droite :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ x . ( \lambda \top \mu ) = ( x . \lambda ) \bot ( x . \mu ) \,
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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