L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces opérations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des opérations en cause. Parmi les opérations étudiées, les lois de composition interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable...) occupent une place privilégiée.

Présentation

On nomme loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui...) dans un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble, désigne intuitivement une collection d’objets (que l'on appelle éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) une opération qui prend deux éléments de l’ensemble pour donner un résultat dans ce même ensemble. Ainsi, l’addition ou la multiplication sont des lois de composition interne dans tout ensemble dont le résultat de l'addition ou de la multiplication sont un élément.

Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l’opération doit être définie partout). Ainsi :

• la division n’est pas une loi de composition interne dans , parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, " 3 / 0 " n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans (ensemble des réels privés de 0). Enfin cette même loi n'est pas une loi de composition interne dans car 2 / 3 n'est pas un entier relatif.
• la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la différence.) peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
  • s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque " 3 - 5 ", par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
  • si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { -1, -2, -3,... }, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

Exemple

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) partie de l’article :

• zéro est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) redonne ce nombre : par exemple,   5 + 0 = 5  , et   0 + 8 = 8   ;
• pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés...) (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre, zéro. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi :   3 + (-3) = 0   ;
• on peut échanger les deux éléments autour du signe "  +  " :   3 + 5 = 5 + 3 = 8   . On dit que l’opération est commutative ;
• on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux :   3 + 5 + 4   peut se calculer de deux manières :
  • en calculant d’abord   3 + 5 = 8   puis en ajoutant   4   au résultat,
  • ou en calculant   5 + 4 = 9   avant de calculer   3 + 9   .

Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note :   (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)   . On dit que l’opération est associative.

Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...), puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :

• le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
• le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
• on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité.

L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de...) un groupe abélien. L’algèbre s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application de E × E dans E (il s'agit donc de relations ternaires internes).

Un ensemble E muni d’une loi de composition interne constitue une structure appelée magma et notée " ( E, ) ".

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :

• les applications constantes : si c appartient à E : x E, y E,   x y   = c ;
• l’application sélectionnant le terme de gauche : x E, y E,   x y   = x ;
• l’application sélectionnant le terme de droite : x E, y E,   x y   = y.

Éléments particuliers

Carrés et dérivés

Dans un magma ( E, ), certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :

• un élément est dit carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés : c'est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle (il a quatre angles droits) et un...) ssi :  

En sens inverse, tout élément x   a un carré unique, noté habituellement " x ²  ".

• un élément est dit idempotent ou projecteur (Le mot projecteur peut désigner les instruments d'optique suivants :) ssi :  

En d’autres termes, cet élément est son propre carré.

• un élément est dit dévolutif ssi :  

En d’autres termes, d est le carré de tous les éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent. En effet, il est carré de tout élément de E donc en particulier, il est son propre carré

Neutres et dérivés

• un élément est dit neutre à gauche ssi :  
• un élément est dit neutre à droite ssi :  
• un élément est dit neutre lorsqu’il est neutre   à droite et à gauche;

Tout élément neutre, même unilatère (c’est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est idempotent.

• un élément est dit involutif s’il existe un élément neutre et si :   ;

L’élément neutre est nécessairement involutif.

Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre.

Absorbants et dérivés

• un élément est dit absorbant à gauche ssi :  
• un élément est dit absorbant à droite ssi :  
• un élément est dit absorbant lorsqu’il est absorbant   à droite et à gauche;

Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.

• un élément est dit nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .) s’il existe un élément absorbant et si :   ;

L’élément absorbant est nécessairement nilpotent...

Centre d'une structure

• un élément est dit commutatif ou central ssi :  

Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs.

On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

• un élément est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche ssi :

• un élément est dit régulier à droite ou simplifiable à droite ssi :

• un élément est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche;

• un élément est dit antirégulier ou cosimplifiable ssi :

• un élément est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche ssi :

• un élément est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite ssi :

• un élément est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier   à droite ou à gauche;

• un élément est dit diviseur de zéro à gauche ssi il existe un élément absorbant , différent de , et si : ;

Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;

• un élément est dit diviseur de zéro à droite ssi il existe un élément absorbant , différent de , et si : ;

Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

• deux éléments et seront dits permutables ou commutants ssi :  

• deux éléments permutables et seront dits symétriques ou inversibles :

- s’il existe un élément neutre ,

- et si :   ;

• deux éléments permutables et seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants :

- s’il existe un élément absorbant ,

- si aucun des deux éléments n’est égal à ,

- et si :   ;

Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E, ); la loi peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

• est dite unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite;

• est dite unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche;

• est dite unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre , c’est-à-dire si :

Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite;

L’élément neutre d’une loi unifère est unique;

• est dite absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite;

• est dite absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;

• est dite absorbante s’il existe un élément absorbant , c’est-à-dire si :

Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite;

L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique;

• est dite dévolutive s’il existe un élément dévolutif , c’est-à-dire si :

L’élément dévolutif d’une loi dévolutive est unique;

• est dite involutive à gauche si elle est unifère à gauche et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si :

Une loi est involutive à gauche si et seulement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l’élément neutre à gauche est l’élément dévolutif.

• est dite involutive à droite si elle est unifère à droite et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si :

Une loi est involutive à droite si et seulement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l’élément neutre à droite est l’élément dévolutif.

• est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si :

Une loi est involutive si et seulement si elle est unifère et dévolutive, et l’élément neutre est l’élément dévolutif.

• est dite nilpotente à gauche si elle est absorbante à gauche et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si :

Une loi est nilpotente à gauche si et seulement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l’élément absorbant à gauche est l’élément dévolutif.

• est dite nilpotente à droite si elle est absorbante à droite et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si :

Une loi est nilpotente à droite si et seulement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l’élément absorbant à droite est l’élément dévolutif.

• est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si :

Une loi est nilpotente si et seulement si elle est absorbante et dévolutive, et l’élément absorbant est l’élément dévolutif.

• est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si :

• est dite anticommutative si elle est unifère et si l’élément neutre est le seul élément commutatif, c’est-à-dire si :

Régularité et propriétés liées

• est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si :

• est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si :

• est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si :

Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite;

On peut noter que si est régulière à gauche (resp. à droite), alors est injective (resp. surjective).

• est dite antirégulière ou cosimplifiable si tous les éléments de E sont antiréguliers, c’est-à-dire si :

• est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a, b ) de E ² une solution ( x, y ) unique aux équations   a x = b   et   y a = b  , c’est-à-dire si :

Cette propriété est plus forte que la régularité : toute loi symogène est nécessairement régulière;

Associativité et propriétés analogues

• est dite associative ssi :

On peut noter que l’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi; on peut noter aussi que la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des correspondances,...).

• est dite alternative ssi :

Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.

• est dite associative des puissances ssi :

Cette propriété est moins forte que l’alternativité, puisqu’une loi alternative est nécessairement associative des puissances.

Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) d’un élément (d’où le nom de la propriété) :

- la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement " x ⁿ  ", est égale au résultat de la composition de x selon , (n - 1) fois avec lui-même; ainsi   x ¹ = x ;   x ² = x x ;   x ³ = x x x ;...

- si, de plus, la loi présente un élément neutre e, on pose alors   x ⁰ = e

• est dite permutative ssi :

Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus.

Cette propriété est moins forte que l’associativité, car une loi associative et commutative est nécessairement permutative; notons toutefois qu’une loi associative, mais non-commutative, n’est pas nécessairement permutative, et qu’une loi permutative, même commutative, n’est pas nécessairement associative.

(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans et la division dans , ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de longueur...) leur milieu,...).

• est dite neutroactive ssi :

Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi associative est nécessairement neutroactive.

Autres propriétés

• est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si :

• est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si :

;

Les lois commutatives sont notées par " + ", "  " ou "  " plutôt que par "  ".

Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans ) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans ).

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive. Toutefois, nous n’en indiquerons ici qu’une autre : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importantes de ces lois relatives est la distributivité.

• Une loi peut être distributive par rapport à une autre loi (par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) :

Cette propriété se décompose en deux parties :

- distributivité à gauche :

- distributivité à droite :

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi est régulière et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi . Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E, ) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre . Il est alors possible de définir les notions suivantes:

• un élément est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si :

s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s;

• un élément est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si :

s' est alors appelé élément symétrique à droite de s;

• un élément est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux;

s' est alors appelé élément symétrique de s;

• la loi est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;

• la loi est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite;

• la loi est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles;

Si la loi est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement " s ^-1  ".

Exemples :

• 2 n'est pas symétrisable pour l'addition dans les entiers naturels;
• 2 est symétrisable, de symétrique -2, pour l’addition dans les entiers relatifs;
• 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs;
• 2 est inversible, d’inverse , pour le produit dans les rationnels.

Remarque :

Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé inverse.