Nilpotent - Définition
En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que 
.
Exemples
Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice
est nilpotente parce que 
.
Dans l'anneau ?/9?, la classe de 3 est nilpotente parce que 
est congru à 0 modulo 9.
L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.
Propriétés
Aucun élément nilpotent ne peut être une unité (excepté dans l'anneau trivial {0} qui possède seulement un élément unique 0 = 1). Tous les éléments nilpotents différents de zéro sont des diviseurs de zéro.
Une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est 
, ce qui est le cas si et seulement si 
.
Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.
Si x est nilpotent, alors 1 - x est une unité, parce que entraîne
.
En physique
Un opérateur 
qui satisfait à 
est nilpotent. La charge BRST est un exemple important en physique.