Octonion - Définition

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En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à 8 dimensions sur les réels. L’algèbre des octonions est généralement notée $\mathbb{O}$ .

En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie.

Historique

Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.

Définition

Chaque octonion est une combinaison linéaire à coefficients réels d’octonions unitaires $\{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ l,\ li,\ lj,\ lk\ \}$ .

Autrement dit, chaque octonion $\ x\$ peut être écrit sous la forme

$x\ =\ x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk$ ,

avec des coefficients réels $\ x_n\$ . L'ensemble de ces combinaisons linéaires est un espace vectoriel noté $\mathbb{O}$ , isomorphe à $\mathbb{R}^8$ .

Addition

L’addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants, comme pour les nombres complexes et les quaternions :

$(x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk)\ +$

$(y_0\ +\ y_1\ .\ i\ +\ y_2\ .\ j\ +\ y_3\ .\ k\ +\ y_4\ .\ l\ +\ y_5\ .\ li\ +\ y_6\ .\ lj\ +\ y_7\ .\ lk)\ =$

$(x_0+y_0)\ +\ (x_1+y_1).i\ +\ (x_2+y_2).j\ +\ (x_3+y_3).k\ +\ (x_4+y_4).l\ +\ (x_5+y_5).li\ +\ (x_6+y_6).lj\ +\ (x_7+y_7).lk$ .

Propriétés

L’addition des octonions est commutative :

$x\ +\ y\ =\ y\ +\ x$ ,

associative :

$x\ +\ (y +\ z)\ =\ (x\ +\ y)\ +\ z$ ,

et a un élément neutre, zéro, noté $\ 0\$ :

$x\ +\ 0\ =\ 0 +\ x\ =\ x$ .

Pour tout octonion $\ x\$ existe un octonion unique, noté $\ -x\$ , tels que leur somme est nulle :

$\ x\ +\ -x\ =\ 0$ .
Cet octonion, nommé opposé, s'obtient simplement en prenant l'opposé des coefficients réels de $\ x\$ .

Ainsi l'ensemble des octonions muni de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.

Soustraction

La soustraction des octonions est alors l'opération simplement définie par :

$\ x\ -\ y\ =\ x\ +\ -y$ .

Multiplication

La multiplication des octonions est alors complètement determinée par la propriété de distributivité à droite et à gauche :

$a\ .\ (b\ +\ c)\ =\ a\ .\ b\ +\ a\ .\ c$
$(a\ +\ b)\ .\ c\ =\ a\ .\ c\ +\ b\ .\ c$

où $a,\ b,\ c$ sont des octonions quelconques, et zéro l’élément absortant, et par la table de multiplication des octonions unitaires ci-dessous :

$.$	$\ 1\$	$\ i\$	$\ j\$	$\ k\$	$\ l\$	$\ li\$	$\ lj\$	$\ lk\$
$\ 1\$	$\ 1\$	$\ i\$	$\ j\$	$\ k\$	$\ l\$	$\ li\$	$\ lj\$	$\ lk\$
$\ i\$	$\ i\$	$\ -1\$	$\ k\$	$\ -j\$	$\ -li\$	$\ l\$	$\ -lk\$	$\ lj\$
$\ j\$	$\ j\$	$\ -k\$	$\ -1\$	$\ i\$	$\ -lj\$	$\ lk\$	$\ l\$	$\ -li\$
$\ k\$	$\ k\$	$\ j\$	$\ -i\$	$\ -1\$	$\ -lk\$	$\ -lj\$	$\ li\$	$\ l\$
$\ l\$	$\ l\$	$\ li\$	$\ lj\$	$\ lk\$	$\ -1\$	$\ -i\$	$\ -j\$	$\ -k\$
$\ li\$	$\ li\$	$\ -l\$	$\ -lk\$	$\ lj\$	$\ i\$	$\ -1\$	$\ -k\$	$\ j\$
$\ lj\$	$\ lj\$	$\ lk\$	$\ -l\$	$\ -li\$	$\ j\$	$\ k\$	$\ -1\$	$\ -i\$
$\ lk\$	$\ lk\$	$\ -lj\$	$\ li\$	$\ -l\$	$\ k\$	$\ -j\$	$\ i\$	$\ -1\$

Dans la table ci-dessus, l’opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l’opérande de droite est dans la première rangée. Le tableau n'est pas symétrique, ce qui signifie que cette multiplication n'est pas commutative.

La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :

$i^2\ =\ j^2\ =\ k^2\ =\ l^2\ =\ ijk\ =\ jki\ =\ kij\ =\ -1$ .

Plan mnémotechnique de Fano

Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme ci-contre.

Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle passant par $\ i\$ , $\ j\$ et $\ k\$ est considéré comme une droite) est appelé le plan de Fano. Notons que les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de $\mathbb{O}$ . Notons que chaque couple de points distincts se trouve sur une droite unique et que chaque droite traverse exactement 3 points.

Soit $(a,\ b,\ c)$ un triplet ordonné de points situé sur une droite donnée avec l’ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par :

$a\ .\ b =\ c$ et

$b\ .\ a =\ -c$

avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :

$\ 1\$ est l’élément neutre pour la multiplication,
$e^2\ =\ -1$ pour chaque point $\ e\$ du diagramme définit complètement la structure algébrique des octonions.

Notons que chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de $\mathbb{O}$ isomorphe aux quaternions $\mathbb{H}$ .

Conjugué

Le conjugué d'un octonion

$x\ =\ x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk$ ,

est donné par

$x^{*}\ =\ x_0\ -\ x_1\ .\ i\ -\ x_2\ .\ j\ -\ x_3\ .\ k\ -\ x_4\ .\ l\ -\ x_5\ .\ li\ -\ x_6\ .\ lj\ -\ x_7\ .\ lk$ .

La conjugaison est une involution de $\mathbb{O}$ et satisfait

$(x\ .\ y)^{*}\ =\ y^{*}\ .\ x^{*}$

(notons le changement dans l’ordre de succession).

Parties réelle et imaginaire

La partie réelle de l’octonion $\ x\$ est définie comme suit

$Re(x)\ =\ \frac{x\ +\ x^{*}}{2}\ =\ x_0$

et la partie imaginaire

$Im(x)\ =\ \frac{x\ -\ x^{*}}{2}\ =\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk$

de sorte que pour tout octonion $\ x\$ ,

$Re(x)\ +\ Im(x)\ =\ x$ ,
$Re(x^{*})\ =\ Re(x)$ ,
$Im(x^{*})\ =\ -Im(x)$ .

L’ensemble de tous les octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7 dimensions sur les réels de $\mathbb{O}$ , notée $Im(\mathbb{O})$ , isomorphe à $\mathbb{R}^7$ . Il n'est pas une sous-algèbre parce que la multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.

L’ensemble de tous les octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-algèbre à 1 dimension de $\mathbb{O}$ , notée $Re(\mathbb{O})$ , isomorphe à $\mathbb{R}$ .

Norme

La norme d’un octonion $\ x\$ est définie comme suit

$\|x\|\ =\ \sqrt{x\ .\ x^{*}}$

Cette racine carrée est bien un nombre réel positif :

$\|x\|^2\ =\ x\ .\ x^{*} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2$

Notons que cette norme correspond avec la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^8$ .

On a aussi:

$\|x\|\ =\ \sqrt{[Re(x)]^2\ -\ [Im(x)]^2}$ ,
$Re(x)\ =\ \pm\sqrt{[Im(x)]^2 + \|x\|^2}$ ,
$[Im(x)]^2\ =\ [Re(x)]^2 - \|x\|^2$ (le carré de la partie imaginaire est un réel).

Inverse

L’existence d’une norme sur $\mathbb{O}$ implique l’existence d’un inverse pour chaque élément distinct de zéro dans $\mathbb{O}$ . L’inverse de tout $\ x\$ différent de zéro est donné par

$x^{-1}\ =\ \|x\|^{-2}\ .\ x^{*}$

Cela satisfait

$x\ .\ x^{-1}\ =\ x^{-1}\ .\ x\ =\ 1$ .

L'ensemble $\mathbb{O}^{*}$ des octonions non nuls, muni de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et non-associatif.

Division

La division des octonions $\ x\$ et $\ y\$ est alors définie par l’égalité suivante :

$\frac{x}{y} =\ x\ .\ y^{-1}\ =\ {\|y\|}^{-2}\ .\ x\ .\ y^{*}$ , avec $\ y\$ différent de zéro.

Construction de Cayley-Dickson

A l’instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.

L’addition de couples de quaternions $(a,\ b)$ et $(c,\ d)$ est définie par :

$(a,\ b)\ +\ (c,\ d)\ =\ (a\ +\ c,\ b\ +\ d)$

La multiplication de 2 couples de quaternions $(a,\ b)$ et $(c,\ d)$ est définie comme suit :

$(a,\ b)\ .\ (c,\ d)\ =\ (a\ .\ c\ -\ d\ .\ b^{*},\ a^{*}\ .\ d\ +\ c\ .\ b)$

où $\ z^{*}\$ est le conjugué du quaternion $\ z\$ .

La multiplication d'un nombre réel $\ a\$ par un couple de quaternions $(c,\ d)$ est définie par :

$a\ .\ (c,\ d)\ =\ (a,\ 0)\ .\ (c,\ d)$ , d’où
$a\ .\ (c,\ d)\ =\ (a\ .\ c,\ a\ .\ d)$

On peut alors définir l’algèbre des couples de quaternions par l'ensemble $\mathbb{H}^2$ des combinaisons linéaires à coefficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :

$(1,\ 0)\ ;\ (i,\ 0)\ ;\ (j,\ 0)\ ;\ (k,\ 0)\ ;$
$(0,\ 1)\ ;\ (0,\ i)\ ;\ (0,\ j)\ ;\ (0,\ k)$ .

Cet ensemble, muni des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2 dimensions sur l'ensemble des quaternions, et à 8 dimensions sur l'ensemble des nombres réels.

Soit $\ I_0\$ l'opération inversible qui associe à tout quaternion de coordonnées réelles $(a,\ b,\ c,\ d)$ l'octonion de mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires ${\ 1,\ i,\ j,\ k\ }$ .

On montre facilement que l’opération $I$ suivante, qui associe tout couple de quaternions $(c,\ d)$ de $\mathbb{H}^2$ à un octonion de $\mathbb{O}$ telle que :

$I(c,\ d)\ =\ I_0(c)\ +\ I_0(d)\ .\ l$ est bijective.

Il s'ensuit que $\mathbb{H}^2$ est isomorphe à $\mathbb{O}$ .

On démontre alors que les additions et multiplications d’octonions $\ o_1\$ et $\ o_2\$ dans $\mathbb{O}$ sont équivalentes aux opérations ci-dessus de couples de quaternions $(a_1,\ b_1)$ et $(a_2,\ b_2)$ dans $\mathbb{H}^2$ :

$I^{-1}(I(a_1,\ b_1)\ +\ I(a_2,\ b_2))\ =\ (a_1,\ b_1)\ +\ (a_2,\ b_2)$ ,
$I^{-1}(I(a_1,\ b_1)\ .\ I(a_2,\ b_2))\ =\ (a_1,\ b_1)\ .\ (a_2,\ b_2)$ ,
$I(I^{-1}(o_1)\ +\ I^{-1}(o_2))\ =\ o_1\ +\ o_2$ ,
$I(I^{-1}(o_1)\ .\ I^{-1}(o_2))\ =\ o_1\ .\ o_2$ .

Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les quaternions dans l'ensemble des octonions munis des opérations de la construction de Cayley-Dickinson et des égalités suivantes :

$(1,\ 0)\ =\ 1\ ;\ (i,\ 0)\ =\ i\ ;\ (j,\ 0)\ =\ j\ ;\ (k,\ 0)\ =\ k\ ;$
$(0,\ 1)\ =\ l\ ;\ (0,\ i)\ =\ il\ ;\ (0,\ j)\ =\ jl\ ;\ (0,\ k)\ =\ kl.$ .

(dans ce cas, l’isomorphisme $I$ ci-dessus qui devient une simple identité.)

Propriétés

La multiplication des octonions n'est ni commutative :

$i\ .\ j\ =\ -\ j\ .\ i$

ni associative :

$(i\ .\ j)\ .\ l\ =\ -i\ .\ (j\ .\ l)$ .

Elle satisfait une forme plus faible que l’associativité : l’alternativité. Cela signifie que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques $(a,\ b)$ est associative :

$(a\ .\ b)\ .\ b\ =\ a\ .\ (b\ .\ b)$ .

On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de $\mathbb{O}$ est isomorphe à $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , ou $\mathbb{H}$ , qui sont tous associatifs.

Les octonions partagent une propriété importante avec $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , et $\mathbb{H}$ : la norme sur $\mathbb{O}$ qui satisfait

$\|x\ .\ y\|\ =\ \|x\|\ .\ \|y\|$

Cela implique que les octonions forment une [algèbre de division] normée non-associative. Les algèbres de plus haute dimensions définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.

Il s’avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{H}$ et $\mathbb{O}$ . Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives, de dimension finie sur les réels.

La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments de $\mathbb{O}$ distincts de zéro ne forment pas un groupe algébrique, ni un corps ou un anneau. Ils forment un quasigroupe ou groupe additif.

Automorphismes

Un automorphisme $\ A\$ des octonions est une transformation linéaire inversible de $\mathbb{O}$ sur lui-même qui vérifie

$A(x\ .\ y)\ =\ A(x)\ .\ A(y)$ .

L’ensemble des automorphismes de $\mathbb{O}$ forme un groupe noté $\ \mathbb{G}_2\$ . Le groupe $\ \mathbb{G}_2\$ est un groupe de Lie réel simplement connexe et compact, de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.

Sous-algèbres particulières

On vérifie aisément que toutes les opérations dans la sous-algèbre des octonions dont la partie imaginaire est nulle sont équivalentes aux opérations dans l’algèbre des réels. De même la sous-algèbre des octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 2 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des complexes. De même la sous-algèbre des octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 4 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des quaternions.

Par conséquent on identifiera les nombres réels, complexes et quaternions comme des octonions particuliers, qu’on notera de la même façon : $\mathbb{R}\ \subset\ \mathbb{C}\ \subset\ \mathbb{H}\ \subset\ \mathbb{O}$ .

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