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Triangle

En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui les relient. La dénomination de " triangle " est justifiée par la présence de trois angles dans cette figure, ceux formés par les segments entre eux. Les trois points sont les sommets du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...), les trois segments ses côtés, et les trois angles ses angles.

Un triangle peut aussi être défini comme un polygone à trois côtés, ou encore comme un polygone à trois sommets. Après le point (Graphie) et le segment, le triangle est la figure polygonale la plus simple.

On qualifie de triangles dégénérés les triangles avec un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) plat (de 180°) (on parle alors de triangle plat), les triangles avec deux angles nuls (de 0°), et les triangles avec un angle nul (de 0°) et deux angles droits (de 90°), sont qualifiés de triangles en aiguille. Dans la suite de cet article, on suppose que les triangles ne sont pas dégénérés, car ils ne vérifient pas la plupart des propriétés attribuées aux triangles.

La plupart des propriétés et définitions énoncées dans cet article étaient déjà énoncées d'Euclide, environ 300 ans avant Jésus-Christ, comme en atteste son ouvrage, "Éléments de géométrie".

Pour l'étude du triangle dans d'autres géométries, voir Triangle (géométries non euclidiennes).

Convention d'écriture

Un triangle nommé ABC
Un triangle nommé ABC

Comme tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) polygone, on nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom de l'angle opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face...), en minuscules : a = BC, b = AC, c = AB. On nomme les angles en utilisant des lettres grecques minuscules ou le nom du sommet surmonté d'un accent circonflexe : \alpha = \widehat{A} = \widehat{BAC}, \beta =  \widehat{B} = \widehat{ABC}, \gamma = \widehat{C} = \widehat{ACB}.

Nous utiliserons ces notations dans cet article.

Propriétés élémentaires

Triangle et autres polygones

Le triangle est le plus simple des polygones. C'est le seul qui ne possède pas de diagonale. Dans l'espace, il n'est pas nécessaire de s'assurer que trois points sont coplanaires pour obtenir un triangle, alors que, par exemple, si quatre points coplanaires forment un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.), quatre points non coplanaires ne forment pas un polygone, mais un tétraèdre :

D'autre part, tout polygone peut être " découpé " en triangles (on dit que ces triangles forment une partition de ce polygone), le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) minimal de triangles étant n − 2, où n est le nombre de côtés du polygone. On voit que l'étude des triangles est fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant...) du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) de Pick.

Longueurs des côtés

La somme de deux longueurs de côtés d'un triangle est toujours strictement supérieure au troisième côté. Autrement dit, on a toujours, dans un triangle ABC :

a + b > c ;
a + c > b ;
b + c > a.

Réciproquement, étant donnés trois nombres réels a, b et c tels que a < b < c, si a + b > c, alors il existe un triangle dont les côtés mesurent a, b et c.

La somme des longueurs des trois côtés d'un triangle est appelée son périmètre.

Somme des angles

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à la mesure de l'angle plat, soit 180° ou π radians.


Typologie des triangles

Classement suivant le type d'angles

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, un triangle ne peut pas comporter deux angles droits (mesurant 90°) ou obtus (mesurant plus de 90°). Il a donc au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est :

  • droit, on parle de triangle " rectangle " ;
  • obtus, on parle de triangle " obtusangle " (ou parfois de triangle obtus) ;
  • aigu, on parle de triangle " acutangle " (ou de triangle aigu).

Triangle rectangle

Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • Un triangle admet un angle droit.
  • Le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la...) du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

(Cette équivalence est appelée Théorème de Pythagore).

Dans ce cas, le triangle est dit rectangle.

Le côté le plus grand d'un triangle rectangle est appelé hypoténuse.

Triangle 3-4-5

C'est un triangle rectangle dont les côtés forment une progression ( 3 , 4 , 5 ) \,. En effet, on peut remarquer que 5² = 3² + 4² (soit 25 = 9 + 16), ce qui vérifie la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) précédente (La relation de Pythagore).

Ce cas particulier d'un triangle rectangle est connu depuis l'Antiquité. Il est facile à réaliser à l'aide d'une corde à treize nœuds : on l'utilise donc pour tracer un angle droit au sol. Pour cette raison, on l'appelle aussi " triangle des arpenteurs ".

Triangle 30-60-90

C'est un triangle rectangle dont les angles font 30°, 60° et 90°, c'est-à-dire forment une progression ( 1 , 2 , 3 ) \,. Les côtés forment quant à eux une progression ( 1 , \sqrt{3} , 2 ) \,.

Ce triangle est parfois aussi appelé " triangle de l'écolier " : les équerres d'écolier ont parfois cette forme. On parle aussi de " triangle hémi-équilatéral ". Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé (Un coupé est une voiture fermée, à deux portes (parfois trois avec hayon ou quatre comme l'ont fait certains constructeurs américains) et possédant deux, quatre ou cinq places. Il est caractérisé par la forme particulière de l'arrière du...) suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.

Demi-carré

Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle. Dans ce cas, il l'est obligatoirement par le même sommet. Ses deux angles aigus mesurent 45° (ou π/4 rad).

C'est le triangle obtenu en divisant un carré en deux suivant sa diagonale, d'où le nom du triangle : " demi-carré ".

Classement suivant les symétries

Les triangles peuvent se classer suivant plusieurs types de symétries :

  • suivant le nombre de côtés égaux ;
  • suivant le nombre d'angles égaux ;
  • suivant le nombre d'axes de symétrie présents ;
  • suivant le type de symétrie présent ;
  • suivant le type des angles (aigus, droits ou obtus).

En fait, tous ces classements, sauf le dernier, sont équivalents.

Triangle isocèle

Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • Un triangle a deux côtés de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...).
  • Un triangle a deux angles de même mesure.
  • Un triangle a un axe de symétrie.

Dans ce cas le triangle est dit isocèle. (On peut aussi dire isoangle).

Lorsqu'un triangle ABC est tel que AC = AB (les deux côtés d'extrémité A sont égaux), alors on dit que le triangle est isocèle de sommet A. A est le sommet principal du triangle. Le côté [BC], opposé à A, est appelé base du triangle.

Lorsqu'un triangle est isocèle en A, la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) issue de A est à la fois hauteur, médiatrice, médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :) et bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.).

Triangle équilatéral

Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • Un triangle a ses trois côtés de même longueur.
  • Un triangle a ses trois angles de même mesure.
  • Un triangle a trois axes de symétrie (bien que deux axes de symétrie suffisent).

Dans ce cas le triangle est dit équilatéral, ou équiangle. Un triangle équilatéral peut-être vu comme un triangle isocèle particulier.

Triangle scalène

Un triangle scalène (du grec skalenos : boîteux, inégal, déséquilibré, oblique...) est un triangle :

  • dont les trois côtés sont de longueurs différentes ;
  • ou dont les trois angles sont de mesures différentes ;
  • ou encore qui n'a pas d'axe de symétrie.

Les trois définitions ci-dessus sont équivalentes entre elles. Un tel triangle n'est bien sûr ni isocèle, ni équilatéral.

Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui, lorsqu'il est "coupé" en deux par la bissectrice d'un de ses angles, forme deux triangles isocèles eux aussi. Il n'y a que deux cas de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.
Lien externe : démonstration.

Éléments remarquables du triangle

Médianes et centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de tous les plans qui divisent le corps en deux parties de poids...)

On appelle " médiane " d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété
Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires égales.


Propriété
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection G \, est nommé " centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) " du triangle : si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur ce point G.


Propriété
Il découle de la démonstration précédente que l'intersection des trois médianes est aussi l'isobarycentre des points A, B et C. De ce fait, si I désigne le milieu du côté [BC] on a la relation vectorielle :
\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AI}.
Cette relation s'applique également aux deux autres sommets du triangle vis-à-vis du milieu de leur côté opposé.
Médianes et centre de gravité d'un triangle
Médianes et centre de gravité d'un triangle

Médiatrices et cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) circonscrit

On appelle " médiatrice " d'un triangle chacune des médiatrices de ses côtés [AB], [AC] et [BC].

Propriété
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point \Omega \, équidistant des trois sommets (qui est aussi le " centre du cercle circonscrit ", voir ci-dessous).


Propriété
Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre \Omega \, est appelé " cercle circonscrit " au triangle.


Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.
Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

Bissectrices et cercle inscrit

Les bissectrices d'un triangle sont les trois bissectrices de ses angles.

Propriété
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point O \, (qui est aussi le " centre du cercle inscrit ", voir ci-dessous).


Propriété
Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle de centre O \, est appelé " cercle inscrit " dans le triangle.


Voir Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle
Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.
Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.

Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les droites indiqués ci-dessus, mais aussi les segments de ces droites intérieurs au triangle.

Hauteurs et orthocentre (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...)

On appelle " hauteur " d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) au côté opposé à ce sommet. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle " pied " de la hauteur.

Propriété

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection H \, est nommé " orthocentre " du triangle.


Hauteurs et orthocentre d'un triangle
Hauteurs et orthocentre d'un triangle

Relation d'Euler

Relation vectorielle d'Euler : \overrightarrow{\Omega H} =\overrightarrow{\Omega A} +\overrightarrow{\Omega B}  +\overrightarrow{\Omega C}.

La définition vectorielle du centre de gravité permet d'écrire : 3\overrightarrow{\Omega G} =\overrightarrow{\Omega A} +\overrightarrow{\Omega B}  +\overrightarrow{\Omega C} donc \overrightarrow{\Omega H} = 3\overrightarrow{\Omega G}.

Autres éléments remarquables

Les trois points H, G et Ω sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle et GH = 2ΩG (relation d'Euler).

Par ailleurs les milieux des trois côtés ainsi que les trois pieds des hauteurs sont sur un même cercle dénommé cercle d'Euler ou cercle des neufs points du triangle.

Droite et cercle d'Euler d'un triangle.
Droite et cercle d'Euler d'un triangle.

On peut dénombrer des centaines de points remarquables d'un triangle. Pour les plus fameux d'entre eux, voir l'article liste des éléments remarquables d'un triangle.

Propriétés en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de...)

Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est l'aire de la portion du plan qu'il enferme. Il existe plusieurs manières de la calculer, selon les informations dont on veut partir.

À partir des longueurs des trois côtés

Voir Aire de surfaces usuelles (La notion d'aire d'une surface se définit en géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3 et est supposée connue du lecteur. L'aire des surfaces usuelles...)
L'aire d'un triangle peut être calculé en le décomposant en deux triangles rectangle.
L'aire d'un triangle peut être calculé en le décomposant en deux triangles rectangle.

Comme un triangle rectangle peut-être obtenu en divisant en deux parties égales un rectangle selon sa diagonale, l'aire d'un triangle rectangle en A est simplement le demi produit des longueurs b et c soit S=\frac12 b \times c.

En traçant une hauteur d'un triangle quelquonque, on peut le décomposer en deux triangles rectangles. En utilisant la formule précédente, on trouve alors que l'aire d'un triangle est simplement la moitié du produit de la longueur de la hauteur h par la longueur du côté opposé (ici a) soit S=\frac12 a \times h.

On peut aussi utiliser la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés...) d'Alexandrie :

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

p = \frac12 (a+b+c) est le demi-périmètre du triangle.

À partir des vecteurs

L'aire d'un triangle calculé à partir d'un parallélogramme.
L'aire d'un triangle calculé à partir d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.).

L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} est la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen...) de leur produit vectoriel :

S_p = \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\|.

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

S_t = \frac12 \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\|.

Relations métriques dans un triangle

Notations :

p désigne le demi-périmètre du triangle : p = \frac12 (a+b+c) ;
S désigne la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) du triangle ;
R désigne le rayon du cercle circonscrit ;
h désigne la hauteur relative au coté BC de longueur a ;
r désigne le rayon du cercle inscrit ;
  • S=\frac{ah}{2}=pr=\frac{abc}{4R} ;
  • S=\frac{1}{2}bc\,\sin\hat A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}   (Formule de Héron) ;
  • a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A   (Théorème d'Al-Kashi, ou Théorème de Pythagore généralisé) ;
  • \frac{a}{\sin\hat A}=\frac{b}{\sin\hat B}=\frac{c}{\sin\hat C}=\frac{abc}{2S}=2R (formule "des sinus") ;
Avec \hat A + \hat B + \hat C = \pi, les 2 dernières formules sont à la base des méthodes de triangulation (En topologie, une triangulation d'un espace topologique X est un complexe simplicial K homéomorphe à X, et un homéomorphisme h:K→X. Dans les termes de Layman, si X est un plan alors une triangulation est une...) en géodésie et astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être confondue avec la...).

Triangles semblables et isométriques

Deux triangles sont isométriques lorsque leurs trois cotés sont respectivement égaux ( égaux un à un )

Deux triangles sont semblables lorsque leurs trois angles sont respectivement égaux un a un.

Dans l'espace

polyèdres à faces triangulaires
Polyèdres à faces triangulaires

Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces qui sont des triangles équilatéraux, c'est la pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé...) à base triangulaire), octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.) (huit faces, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) (vingt faces)...

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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