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Produit (mathématiques)

Un produit est le résultat d'une multiplication, ou une expression qui identifie les facteurs à multiplier. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance; ainsi toute permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un...) des termes ne modifie pas le résultat du produit. Ces propriétés sont connues comme étant la commutativité de la loi de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et l'associativité.

Cas simples et notations

Principe pour les entiers décimaux

Dans le cas des nombres entiers, la multiplication revient à faire des additions identiques, par exemple :

7 + 7 + 7 + 7 + 7

peut se noter[1]

5 × 7

Dans ce cas, le résultat est 35. Comme le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) 7 est répété 5 fois, on peut dire "5 fois 7" et comme l'ordre des facteurs n'influe pas, on dit également "7 fois 5".

Cette opération peut aussi se noter[2]

5 · 7 = 35

ou bien

\begin{matrix} & \ 5 \\ \times & \ 7 \\ & \overline{35} \end{matrix}

Lorsque l'on multiplie des inconnues, on peut simplement accoler les symboles pour marquer la multiplication :

la multiplication de a par b peut se noter indifféremment a×b, a·b ou ab.

En programmation informatique (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de...), les langages utilisent en général l'astérisque " * " (signe étoile) :

5*7

Le résultat peut être obtenu:

  • par additions successives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable)
  • par une table de multiplication (Une table de multiplication affiche dans les lignes et colonnes le résultat de la multiplication de petits nombres entiers naturels.)
  • par l'exécution d'un algorithme (de tête, à la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné à saisir et...) avec un instrument d'écriture, ou à l'aide d'une calculateur). Il existe pour cela des méthodes qui font partie du bagage culturel, et d'autres qui sont des objets de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...).

Principe pour les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre entier qui a été divisé par une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de dix (1 — c'est alors un entier —, 10, 100, 1 000…). La distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) de la multiplication sur la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) permet de calculer les multiplications de nombres décimaux comme celle des nombres entiers :

  1. on ignore les virgules et l'on multiplie les nombres comme si c'étaient des entiers ;
  2. le nombre de chiffres après la virgules du résultat final est la somme du nombre de chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) après la virgule du multiplicande et du multiplicateur.

Par exemple :

pour calculer 5,3×0,21
  • on calcule 53×21, ce qui donne 1 113 ;
  • le multiplicateur a un chiffre après la virgule, le multiplicande en a deux, le résultat en a donc trois (1+2) : le résultat final est 1,113.

Vocabulaire

Le premier membre de l'opération s'appelle multiplicande, le second membre s'appelle le multiplicateur :

multiplicande × multiplicateur

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...)

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de façon...)

Plus généralement, un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) pour une loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme d'études...) multiplicative. Lorsque des matrices ou des objets de diverses autres algèbres associatives sont multipliés, le produit dépend en général de l'ordre des facteurs; en d'autres termes, la multiplication des matrices, et les lois de multiplication de ces autres algèbres, ne sont pas commutatives.

Des généralisations et des extensions du concept de produit existent en mathématiques :

  • le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit,...) et le produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour...) sont des sortes de multiplications de vecteurs ;
  • le produit matriciel (Le produit matriciel désigne le produit de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux »[1]. Cet article montre comment multiplier les matrices.), la multiplication des matrices n'est pas commutative ;
  • le produit usuel de deux fonctions ;
  • les produits dans des anneaux ou dans des corps de toutes sortes.

Il faut noter que des multiplications respectant l'invariance des normes (la norme du produit de deux objets est égale au produit de leur norme) n'ont pu être définies que pour quelques objets: les réels, les complexes, les quaternions et les octonions.

Produit indicé

Le produit peut être noté ∏ (pi capitale) [3] lorsque de nombreux facteurs indicés interviennent. Par exemple, si l'on considère une suite (u_n)_{n \in \N}, alors : \prod_{i=1}^N u_i = u_1 \times u_2 \times \cdots u_N

Notes

  1. la croix de multiplication peut s'obtenir
    • en HTML, par l'appel × ;
    • en LaTeX (LaTeX (abréviation de Lamport TeX), créé par Leslie Lamport, est un système logiciel de composition de documents, ou plus exactement : une collection de macro-commandes destinées à faciliter...), dans l'environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et artificiels au sein duquel se déroule la vie humaine. Avec les enjeux écologiques actuels, le terme environnement...) mathématiques ($…$ ou \[…\]), par la commande (Commande : terme utilisé dans de nombreux domaines, généralement il désigne un ordre ou un souhait impératif.) \times
  2. nous avons utilisé ici le point (Graphie) médian ; si l'on utilise la virgule comme séparateur décimal, ce qui est le cas dans la convention francophone, on peut utiliser le point sur la ligne, mais l'utilisation du point médian est indispensable lorsque l'on utilise le point comme séparateur décimal (convention anglo-saxonne)
  3. Ce signe peut s'obtenir
    • en HTML, par l'appel  ;
    • en LaTeX, dans l'environnement mathématiques ($…$ ou \[…\]), par la commande \prod_{indice}^{exposant}
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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