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Structure algébrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'axiomes.

Structures algébriques pures

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base

Elles ne comportent que des lois de composition interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...). Les plus importantes sont les structures de groupe, d’anneau et de corps.

Groupoïdes

Les structures algébriques les plus simples ne comportant qu’une loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui...).

  • magma (ou groupoïde) : ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) avec une seule loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un...) interne. (Attention, le terme groupoïde a un autre sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des catégories.)
  • paragroupe : un magma permutatif, commutatif et régulier.
  • antigroupe : un magma permutatif, régulier et involutif à droite.
  • quasigroupe (En mathématiques, un quasigroupe est un magma symogène, dans lequel la « division » est toujours possible.) : un magma symogène.
  • boucle : un quasigroupe unifère, c’est-à-dire possèdant un élément neutre.
  • moufang : une boucle neutroactive.
  • prégroupe : un magma associatif; les prégroupes sont parfois qualifiés de monoïdes
  • monoïde : un prégroupe unifère.
  • semigroupe : un monoïde régulier.
  • groupe : un monoïde inversible, c’est-à-dire où tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément possède un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x...); c’est aussi une boucle associative.
  • groupe abélien : un groupe commutatif; c’est aussi un paragroupe unifère et inversible.

Annélides

Ces structures comportent deux lois de composition internes.

  • anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une structure de magma associatif (la loi de composition correspondante étant nommée multiplication), la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) étant distributive sur l’addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les...). Un anneau est unitaire (resp. intègre, commutatif) si la multiplication est unifère (resp. intègre, commutative) et l'ensemble possède un élément neutre pour la multiplication (dans le cas contraire, il s'agit d'un pseudo-anneau).
  • pseudo-anneau : similaire à un anneau, mais l'ensemble ne possède pas d'élement neutre pour la multiplication (dans l'exemple précédent).
  • semianneau : similaire à un anneau, mais sans inverses additifs. L’ensemble muni de l’addition forme donc non pas un groupe, mais seulement un monoïde.
  • anneau intègre: un anneau non nul et sans diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n...) de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...), c’est-à-dire que tout élément non nul de l'anneau est régulier pour la multiplication.
  • anneau commutatif : un anneau dont la multiplication est commutative.
  • corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :
- " corps commutatif " pour un corps effectivement commutatif,
- et " corps commutatif ou non ", ou " corps quelconque ", pour un corps non nécessairement commutatif.
  • corps commutatif, corps non commutatif : dans la tradition française un " corps " n’est pas nécessairement commutatif ; en anglais, un corps commutatif est appelé field, et un corps non commutatif division ring. Un glissement de sens tend à aligner la terminologie française sur la terminologie anglaise et à qualifier les corps non commutatifs d' " anneaux à (ou de) division " et les corps commutatifs de " corps " tout court. Cette dernière appellation est à éviter car elle amène désormais une ambiguïté : le " corps " considéré est-il commutatif ou quelconque ?

Structures à opérateurs externes

Ces structures peuvent être considérées d’un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) algébrique ou géométrique.

Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne.

Géométriquement, c’est un ensemble sur lequel agit un ensemble-opérateur, ou ensemble d’opérateurs, dits aussi scalaires. C’est donc un ensemble muni d’une action de l’ensemble-opérateur dans cet ensemble, c’est-à-dire d’une application de l’ensemble-opérateur dans l’ensemble des applications de cet ensemble dans lui-même.

La correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.

Pour être rigoureux, il faudrait distinguer entre actions à gauche et à droite, et de même entre lois externes à gauche et à droite. Dans les définitions et axiomes qui suivent, nous supposerons implicitement les lois externes à gauche.

Espaces homogènes

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, externe.

  • Espace homogène ( sur un monoïde ) : ensemble muni d’une loi externe exo-associative et exo-unifère sur un monoïde.

Moduloïdes

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.

  • espace actif ( sur un ensemble ) ou groupe à opérateurs ( dans un ensemble ) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe
  • module ( sur un anneau unitaire ) : espace actif dont la loi externe :
- est sur un anneau unitaire;
- est, relativement à la loi du groupe, exo-distributive par rapport à l’addition de l’anneau;
- forme un espace homogène sur l’ensemble de base de l’anneau muni de sa seule multiplication
  • espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) ( sur un corps commutatif ) : un module sur un corps commutatif. C’est donc un groupe abélien muni d’une loi externe sur un corps commutatif, loi vérifiant les quatre propriétés précédentes (distributivité, exo-distributivité, exo-associativité et exo-unitarité).
  • espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome...) ( sur un corps commutatif ) : paragroupe muni d’une loi externe sur un corps commutatif.
La loi interne du paragroupe est souvent appelée loi milieu, car dans un espace affine euclidien, cette loi n’est autre que celle qui associe à deux points leur milieu géométrique. En symétrisant cette loi, on aboutit à un espace vectoriel, celui associé à l' espace affine.
La loi externe de l'espace affine vérifie d'ailleurs des propriétés analogues à celles de la loi externe d’un espace vectoriel.

Algèbres

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.

  • algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) ( sur un corps commutatif ) : un module ou un espace vectoriel muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ).
  • algèbre sur un anneau commutatif unitaire : combinant la structure de module et celle d'anneau.
  • algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative.
  • algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.
  • algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non-associative.
  • algèbre de Clifford : une algèbre associative (En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.) munie d’une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire...) particulière.

Structures algébriques ordonnées

Treillis

Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens d’un ordre partiel (Le mot partiel peut être employé comme :).

  • treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une transition entre deux niveaux d'énergie électronique. Le photon est détruit lors...).
  • algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémenté.

Structures algébriques topologiques

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques. Ainsi, en allant du général au particulier :

  • Une structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées...) peut être munie d'une topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), devenant ainsi un espace topologique :
  • Un groupe topologique (On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:) est un groupe muni d'une topologie telle que sa loi de composition interne soit continue ainsi que les relations inverses (RTID et RTIG) de cette loi.
  • Les espaces vectoriels topologiques constituent un autre cas important.
  • les groupes de Lie en forment un autre.
  • Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique :
  • les espaces affines métriques en sont l’exemple le plus classique.
  • Les espaces vectoriels normés sont des espaces vectoriels munis d'une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme générique...), définissant la " longueur " d’un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...). Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme :
- dans un espace vectoriel, en prenant comme distance entre vecteurs la norme de leur différence,
- dans un espace affine, dit alors espace affine normé, en prenant comme distance entre deux points la norme du vecteur formé par les deux points.
  • Un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace...) est un espace vectoriel normé complet.
  • Les espaces vectoriels préhilbertiens, ou préhilbertiens, sont des espaces vectoriels munis d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver...). Quelques cas importants ont reçu un nom :
  • Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel sur \mathbb{R} de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) finie, muni d’un produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) dont la forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en calculant la...) correspondante est définie positive. Cet espace est un espace normé : il suffit par exemple de prendre comme norme des vecteurs la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de leur carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) scalaire. Cette norme est d’ailleurs dite norme euclidienne associée au produit scalaire. L’espace affine associé à un espace vectoriel euclidien devient un espace affine euclidien quand il est muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...) classique d’Euclide.
  • Un espace vectoriel hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) est un espace vectoriel sur \mathbb{C} de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme hermitienne correspondante est définie positive. Cet espace est un espace normé : il suffit par exemple de prendre comme norme des vecteurs la racine carrée de leur carré scalaire. Cette norme est d’ailleurs dite norme hermitienne associée au produit scalaire.
  • Un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.) est un préhilbertien séparé complet. C’est donc un espace de Banach particulier.

La liste ci-dessus n'est pas exhaustive...

Structures algébriques et catégories

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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