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Équation

En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y apparaissent, les inconnues, des valeurs qui rendent l'énoncé vrai. Ces valeurs possibles sont appelées solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...). Une équation est souvent utilisée pour faire référence à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) de ses solutions, et en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne)...) notamment, on appelle équation d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) comme ensemble des solutions d'une équation. Dans un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) plus large, le terme équation est synonyme d'égalité, avec fréquemment le sous-entendu que l'égalité n'est pas toujours vraie.

Une équation se présente le plus souvent comme une formule du type A = B. (Cependant, n'importe quel problème mathématique peut être vu comme une équation, sans toujours être exprimé explicitement sous cette forme.) Les deux membres A et B séparés par le signe = dépendent de variables (inconnues ou paramètres) dont les valeurs ne sont pas spécifiées. On y ajoute, parfois implicitement, la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) des ensembles où l'on cherche des valeurs pour les inconnues. Par exemple, l'équation

x^2+2x+1=0, \quad x \in \mathbb R

d'inconnue x admet pour unique solution le réel − 1.

On réserve des noms particuliers à certains types d'équations. Ainsi, lorsqu'elle est écrite comme la " combinaison " de plusieurs équations plus simples qui doivent être vérifiées simultanément, on parle de système d'équations ou simplement de système.

Certaines informations nécessaires à la compréhension et la résolution d'une équation sont parfois sous-entendues. En particulier, une convention usuelle de notation veut que les lettres du début de l'alphabet (a, b, A, B...) représentent des paramètres, alors que celles de la fin de l'alphabet (principalement x, y, z, X) désignent des inconnues. Ainsi " Résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0, d'inconnue x\in \mathbb R, pour toute valeur des paramètres a, b, c \in \mathbb R " pourra s'abréger sans trop d'ambiguïté en " Résoudre dans \mathbb R : ax2 + bx + c = 0 ".

Certaines catégories d'équations font l'objet de théories générales. On parvient ainsi à résoudre certaines classes d'équations en exprimant leurs solutions sous une forme plus explicite que l'équation elle-même. Dans les cas moins favorables, on se contente d'étudier les conditions d'existence des solutions et leurs propriétés.

Propriétés

Si une équation algébrique est vraie, alors les opérations suivantes peuvent y être appliquées et la nouvelle équation sera encore vraie :

  1. N'importe quelle quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) peut être additionnée de chaque côté de l'égalité.
  2. N'importe quelle quantité peut être soustraite de chaque côté de l'égalité.
  3. N'importe quelle quantité peut multiplier chaque côté de l'égalité.
  4. N'importe quelle quantité différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans...) de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole...) peut diviser chaque côté de l'égalité.
  5. Généralement, n'importe quelle fonction peut être appliquée de chaque côté de l'égalité. Cependant, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de solutions peut changer, ce qui peut ne pas être souhaité.

Les propriétés algébriques (1-4) impliquent que l'égalité est une relation de congruence dans un corps. En pratique, c'est la seule. L'ensemble des nombres réels, étant un corps, permet ces transformations. Cependant, si l'équation de départ est valide dans l'ensemble des nombres naturels, la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) et la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la différence.) ne permettent pas de maintenir la véracité de la nouvelle équation.

Les fonctions 1 à 4 étant injectives (sauf en multipliant par 0 des deux côtés de l'équation pour 3.), elles ne modifient pas le nombre de solutions. Si une fonction non injective est appliquée aux deux côtés d'une équation vraie, alors l'équation résultante peut encore être vraie, mais elle sera moins utile. Formellement, il s'agit d'une implication logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude...), pas d'une équivalence, ce qui peut mener à agrandir l'ensemble solution.

Types

À cause de leur importance relative, certaines équations sont regroupées dans des classes à part :

  • équation linéaire (Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle se présente sous la forme u(x)=b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b est un...)
  • équation polynomiale
  • équation différentielle
  • équation aux dérivées partielles.

Paramétrique

Une équation paramétrique se présente sous la forme

x = x_i + a t \,,
y = y_i + b t \,,
z = z_i + c t \,,
\ldots\,,

laquelle représente un object algébrique dépendant du paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) t\,, passant par le point (Graphie) (x_i; y_i; z_i; \ldots)\, et de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) directeur (a; b; c; \ldots)\,, toutes les constantes dans l'équation pouvant être des nombres réels ou complexes.

Supposons qu'une droite (D)\, dans \R^3 passe par les points (3; 4; 5)\, et (1; 9; 12)\,. L'un de ses vecteurs directeurs est (-2, 5, 7)\,, et son équation paramétrique est

x = 3 - 2 t \,,
y = 4 + 5 t \,,
z = 5 + 7 t \,,

Symétrique

Une équation symétrique se présente sous la forme

\frac{x - x_i}{a} = \frac{y - y_i}{b} = \frac{z - z_i}{c} = \cdots\,,

laquelle représente un object algébrique passant par le point (x_i; y_i; z_i; \ldots)\, et de vecteur directeur (a; b; c; \ldots)\,, toutes les constantes et toutes les variables dans l'équation pouvant être des nombres réels ou complexes.

Supposons qu'une droite (D)\, dans \R^3 passe par les points (3; 4; 5)\, et (1; 9; 12)\,. L'un de ses vecteurs directeurs est (-2, 5, 7)\,, et son équation symétrique est

\frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z - 5}{7}\,.

Vectorielle

Une équation vectorielle fait intervenir à la fois des vecteurs et des scalaires :

(x; y; z; \ldots) = (x_i; y_i; z_i; \ldots) + a (k_0; k_1; k_2; \ldots) + b (l_0; l_1; l_2; \ldots) + \cdots\,,

laquelle représente un object algébrique passant par le point (x_i; y_i; z_i; \ldots)\, et contenant les vecteurs (k_0; k_1; k_2; \ldots)\,, (l_0; l_1; l_2; \ldots)\,, …, chacun des vecteurs étant multiplié par les scalaires a, b, \ldots\,. Toutes les constantes et toutes les variables scalaires dans l'équation peuvent être des nombres réels ou complexes. Si les vecteurs ne sont ni parallèles, ni orthogonaux, alors leur nombre dans l'équation indique le nombre de dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) de l'objet : 1 vecteur implique qu'il s'agit d'une droite; 2 vecteurs, un plan; 3 vecteurs, un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.); etc.

Supposons qu'un objet (G)\, dans \R^3 passe par les points (3; 4; 5)\, et qu'il contienne les vecteurs (1; 9; 12)\, et (3; 2; 4)\,. Son équation vectorielle est

(x, y, x, \ldots) = (3; 4; 5) + a (1; 9; 12) + b (3; 2; 4)\,, avec a, b \in \R\,

Puisque les deux vecteurs ne sont ni parallèles (l'un n'est pas multiple de l'autre) ni orthogonaux (le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs...) des deux n'est pas nul), alors (G)\, est un plan.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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