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Réduction de Jordan

La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de suites récurrentes, qu'on la nomme parfois " jordanisation des endomorphismes ".

Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base réduite dite base de Jordan. La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme...) c'est-à-dire trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent (Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par lui-même un nombre suffisant de fois, donne l'application nulle. Un exemple est donné dans...) tel que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial, puis sur chaque espace caractéristique une réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en...) sur le facteur l'endomorphisme nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .).

Construction de la base de Jordan

Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) E tel que son polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un...) soit scindé. Il possède alors les propriétés suivantes:

  • E est la somme directe des espaces caractéristiques de u. Ils sont notés ici Ei et les valeurs propres associés λi.
  • La restriction de u à Ei est la somme d'une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique...) de rapport λi et d'un endomorphisme nilpotent noté ni.

Ces résultats sont démontrés dans l'article décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils...) de Dunford.

  • Il existe une base Eij de Ei (e_{i1}, e_{i2},\cdots,e_{ip_i})\; tel que u(e_{ij})=k_{ij}e_{ij+1}\;k_{ij}\; est égal soit à 0 soit à 1 et u(e_{ip_i})=0\;.

Ce résultat est démontré dans l'article Endomorphisme nilpotent.

Blocs de Jordan

On appelle bloc de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en...) une matrice de la forme \mathcal{J}_{\lambda} = \begin{bmatrix}      \lambda & 1 &  &  &  &  \\      & \lambda & 1 &  & (0) &  \\      &  & \ddots & \ddots &  &  \\      &  &  & \ddots & \ddots &  \\      & (0) &  &  & \lambda & 1 \\      &  &  &  &  & \lambda \\ \end{bmatrix}

On appelle bloc de Jordan nilpotent une telle matrice où les coefficients diagonaux sont tous nuls, c'est-à-dire de la forme \begin{bmatrix}      0 & 1 &  &  &  &  \\      & 0 & 1 &  & (0) &  \\      &  & \ddots & \ddots &  &  \\      &  &  & \ddots & \ddots &  \\      & (0) &  &  & 0 & 1 \\      &  &  &  &  & 0 \\ \end{bmatrix}

Jordanisation d'un endomorphisme dans un corps algébriquement clos

On considère un endomorphisme dans un espace vectoriel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) finie, de polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations...) scindé. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Jordan nous informe qu'il admet une représentation matricielle de la forme suivante

\begin{bmatrix}      \mathcal{J}_{\lambda_1} &                         &        &        &                       \\                             & \mathcal{J}_{\lambda_2} &        &        &                        \\                             &                         & \ddots &        &                        \\                             &                         &        & \ddots &                         \\                             &                         &        &        & \mathcal{J}_{\lambda_r} \\ \end{bmatrix}

où les scalaires λi sont les valeurs propres de l'endomorphisme considéré.

Ainsi sur un corps algébriquement clos, et par exemple dans \mathbb{C}, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) endomorphisme admet une décomposition de ce type.

Attention : il n'y a pas a priori un bloc de Jordan pour chaque valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...), plusieurs λi peuvent avoir la même valeur.

Propriétés des blocs

Prenons un endomorphisme u admettant une telle représentation. On étudie une valeur propre particulière λ de l'endomorphisme u. On regroupe ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) les vecteurs associés aux blocs \mathcal{J}_{\lambda}. Ils forment l'espace caractéristique associé à la valeur propre λ. C'est un espace stable sur lequel u − λId induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en...) un endomorphisme nilpotent nλ.

  • La multiplicité de λ (multiplicité dans le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute...) caractéristique) est égale à la dimension de l'espace caractéristique.
  • La multiplicité de λ dans le polynôme minimal est égal à l'indice de nilpotence de l'endomorphisme nλ.

Application aux classes de similitude des matrices

On se place sur un corps algébriquement clos. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même écriture en blocs de Jordan, à l'ordre près des blocs.

Exemples de réduction de Jordan

Examinons les méthodes de détermination des matrices de passage par deux exemples.

Exemple 1

Déterminons la matrice de passage (Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.) pour l'exemple suivant:

A=\begin{pmatrix} 322 & -323 & -323 & 322 \\ 325 & -326 & -325 & 326 \\  -259 & 261 & 261 & -260 \\ -237 & 237 & 238 & -237 \end{pmatrix}.

Recherchons les espaces caractéristiques, c’est-à-dire vecteurs x solutions de

(A-\lambda I)^k\mathbf{x} = \mathbf{0}

Qui nous permettront de déterminer la suite de vecteurs dont les éléments forment les colonnes de la matrice de passage.

Remarquons alors que 5 est valeur propre et que le premier vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) de la base de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la matrice possède pour polynôme minimal associé (X-5)4. Son espace caractéristique est donc l'espace entier. Si nous notons v ce vecteur alors, la famille composée des éléments (A − 5I)3(v), (A − 5I)2(v), (A − 5I)(v) et v forme une base de Jordan.

\left\{(A-5I)^3\mathbf{v}, (A-5I)^2\mathbf{v}, (A-5I)\mathbf{v}, \mathbf{v}\right\}
=\left\{ \begin{pmatrix} 5922 \\ 4230 \\ -3572 \\ -5170 \end{pmatrix},  \begin{pmatrix} 2857 \\ 2363 \\ -1962 \\ -2392 \end{pmatrix},  \begin{pmatrix} 317  \\ 325  \\ -259   \\ -237 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}

Nous avons déterminé la matrice de passage:

P=\begin{pmatrix} 5922 & 2857 & 317 & 1 \\ 4230 & 2363 & 325 & 0 \\  -3572 & -1962 & -259 & 0 \\ -5170 & -2392 & -237 & 0 \\ \end{pmatrix}.

Et la matrice de Jordan est la suivante:

J=J_4(5)=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Exemple 2

Considérons l'exemple suivant

B = \begin{pmatrix}  5 &  4 &  2 &  1 \\  0 &  1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 &  3 &  0 \\   1 &  1 & -1 &  2 \\ \end{pmatrix}.

Les valeurs propres de B sont 4, 4, 2 et 1. De plus, on remarque que:

\mathrm{dim}\ \ker{(B-I)} = 1,  \mathrm{dim}\ \ker{(B-2I)} = 1,  \mathrm{dim}\ \ker{(B-4I)} = 1, \mathrm{dim}\ \ker({B-4I})^2 = 2

Nous en déduisons que l'espace vectoriel se décompose en somme directe suivante:

J=J_1(1)\oplus J_1(2)\oplus J_2(4)

Nous remarquons que le vecteur colonne (0,0,−1,1)T a pour image par la matrice (-1,0,1,-1)T. Ces deux vecteurs colonnes engendrent l'espace caractéristique de valeur propre 4.

On en déduit

\ker{(B-4I)}^2 = \mathrm{Gen}\ \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\right\}

Nous en déduisons la matrice de passage et la forme de Jordan:

P=\begin{pmatrix} -1 &  0 &  1 & -1\\  0 &  0 & -1 &  1\\   1 & -1 &  0 &  0\\ -1 &  1 &  1 &  0\end{pmatrix}=\left((B-4I)\mathbf{v}\left|\mathbf{v}\left|\mathbf{w}\left|\mathbf{x}\right)\right.\right.\right.

et

P^{-1}BP=J=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Réduction de Jordan et systèmes différentiels

Un système d'équations différentielles linéaires en y peut se réduire à une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) différentielle matricielle d'ordre 1 : u'(t) = Au(t) et la condition initiale u(0) = u0, où u(t) est un vecteur colonne contenant les dériviées successives de y. La résolution est alors explicite : u(t) = exp(tA)u0. L'avantage de la forme normale ( Forme normale (bases de données relationnelles) Forme normale (lambda-calcul) En calcul des propositions: formes normales conjonctives et formes normales disjonctives En théorie des langages formels : Forme Normale de Chomsky, Forme...) de Jordan réside dans la facilité de calculs des matrices des blocs de Jordan. En effet, l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs...) d'un bloc de Jordan nilpotent de taille p est \exp{(t\mathcal{J_\lambda})} = \exp{(t\lambda)}\begin{bmatrix} 1 & \frac{t^2}{2} & \cdots & \frac{t^{p-1}}{(p-1)!} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{t^2}{2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

On voit de cette manière l'intérêt calculatoire de cette méthode.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations...)
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie sur un...) | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan | Décomposition de Dunford | Valeur propre | Polynôme caractéristique | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le...) | Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les...) | Orthogonalité | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle...) | Produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu...) | Polynôme d'endomorphisme | Polynôme minimal | Tenseur | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l’algèbre...)
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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