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Réduction de Jordan

La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de suites récurrentes, qu'on la nomme parfois « jordanisation des endomorphismes ».

Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base réduite dite base de Jordan. La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford c'est-à-dire trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent (Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par lui-même un nombre suffisant de fois, donne...) tel que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial, puis sur chaque espace caractéristique une réduction de Jordan sur le facteur l'endomorphisme nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .).

Construction de la base de Jordan

Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur,...) E tel que son polynôme minimal soit scindé. Il possède alors les propriétés suivantes:

  • E est la somme directe des espaces caractéristiques de u. Ils sont notés ici Ei et les valeurs propres associés λi.
  • La restriction de u à Ei est la somme d'une homothétie de rapport λi et d'un endomorphisme nilpotent noté ni.

Ces résultats sont démontrés dans l'article décomposition de Dunford.

  • Il existe une base Eij de Ei (e_{i1}, e_{i2},\cdots,e_{ip_i})\; tel que u(e_{ij})=k_{ij}e_{ij+1}\;k_{ij}\; est égal soit à 0 soit à 1 et u(e_{ip_i})=0\;.

Ce résultat est démontré dans l'article Endomorphisme nilpotent.

Blocs de Jordan

On appelle bloc de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse...) une matrice de la forme \mathcal{J}_{\lambda} = \begin{bmatrix}      \lambda & 1 &  &  &  &  \\      & \lambda & 1 &  & (0) &  \\      &  & \ddots & \ddots &  &  \\      &  &  & \ddots & \ddots &  \\      & (0) &  &  & \lambda & 1 \\      &  &  &  &  & \lambda \\ \end{bmatrix}

On appelle bloc de Jordan nilpotent une telle matrice où les coefficients diagonaux sont tous nuls, c'est-à-dire de la forme \begin{bmatrix}      0 & 1 &  &  &  &  \\      & 0 & 1 &  & (0) &  \\      &  & \ddots & \ddots &  &  \\      &  &  & \ddots & \ddots &  \\      & (0) &  &  & 0 & 1 \\      &  &  &  &  & 0 \\ \end{bmatrix}

Jordanisation d'un endomorphisme dans un corps algébriquement clos

On considère un endomorphisme dans un espace vectoriel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie, de polynôme caractéristique scindé. Le théorème de Jordan nous informe qu'il admet une représentation matricielle de la forme suivante

\begin{bmatrix}      \mathcal{J}_{\lambda_1} &                         &        &        &                       \\                             & \mathcal{J}_{\lambda_2} &        &        &                        \\                             &                         & \ddots &        &                        \\                             &                         &        & \ddots &                         \\                             &                         &        &        & \mathcal{J}_{\lambda_r} \\ \end{bmatrix}

où les scalaires λi sont les valeurs propres de l'endomorphisme considéré.

Ainsi sur un corps algébriquement clos, et par exemple dans \mathbb{C}, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) endomorphisme admet une décomposition de ce type.

Attention : il n'y a pas a priori un bloc de Jordan pour chaque valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...), plusieurs λi peuvent avoir la même valeur.

Propriétés des blocs

Prenons un endomorphisme u admettant une telle représentation. On étudie une valeur propre particulière λ de l'endomorphisme u. On regroupe ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) les vecteurs associés aux blocs \mathcal{J}_{\lambda}. Ils forment l'espace caractéristique associé à la valeur propre λ. C'est un espace stable sur lequel u − λId induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir...) un endomorphisme nilpotent nλ.

  • La multiplicité de λ (multiplicité dans le polynôme caractéristique) est égale à la dimension de l'espace caractéristique.
  • La multiplicité de λ dans le polynôme minimal est égal à l'indice de nilpotence de l'endomorphisme nλ.

Application aux classes de similitude des matrices

On se place sur un corps algébriquement clos. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même écriture en blocs de Jordan, à l'ordre près des blocs.

Exemples de réduction de Jordan

Examinons les méthodes de détermination des matrices de passage par deux exemples.

Exemple 1

Déterminons la matrice de passage (Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des...) pour l'exemple suivant:

A=\begin{pmatrix} 322 & -323 & -323 & 322 \\ 325 & -326 & -325 & 326 \\  -259 & 261 & 261 & -260 \\ -237 & 237 & 238 & -237 \end{pmatrix}.

Recherchons les espaces caractéristiques, c’est-à-dire vecteurs x solutions de

(A-\lambda I)^k\mathbf{x} = \mathbf{0}

Qui nous permettront de déterminer la suite de vecteurs dont les éléments forment les colonnes de la matrice de passage.

Remarquons alors que 5 est valeur propre et que le premier vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) de la base de définition de la matrice possède pour polynôme minimal associé (X-5)4. Son espace caractéristique est donc l'espace entier. Si nous notons v ce vecteur alors, la famille composée des éléments (A − 5I)3(v), (A − 5I)2(v), (A − 5I)(v) et v forme une base de Jordan.

\left\{(A-5I)^3\mathbf{v}, (A-5I)^2\mathbf{v}, (A-5I)\mathbf{v}, \mathbf{v}\right\}
=\left\{ \begin{pmatrix} 5922 \\ 4230 \\ -3572 \\ -5170 \end{pmatrix},  \begin{pmatrix} 2857 \\ 2363 \\ -1962 \\ -2392 \end{pmatrix},  \begin{pmatrix} 317  \\ 325  \\ -259   \\ -237 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}

Nous avons déterminé la matrice de passage:

P=\begin{pmatrix} 5922 & 2857 & 317 & 1 \\ 4230 & 2363 & 325 & 0 \\  -3572 & -1962 & -259 & 0 \\ -5170 & -2392 & -237 & 0 \\ \end{pmatrix}.

Et la matrice de Jordan est la suivante:

J=J_4(5)=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Exemple 2

Considérons l'exemple suivant

B = \begin{pmatrix}  5 &  4 &  2 &  1 \\  0 &  1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 &  3 &  0 \\   1 &  1 & -1 &  2 \\ \end{pmatrix}.

Les valeurs propres de B sont 4, 4, 2 et 1. De plus, on remarque que:

\mathrm{dim}\ \ker{(B-I)} = 1,  \mathrm{dim}\ \ker{(B-2I)} = 1,  \mathrm{dim}\ \ker{(B-4I)} = 1, \mathrm{dim}\ \ker({B-4I})^2 = 2

Nous en déduisons que l'espace vectoriel se décompose en somme directe suivante:

J=J_1(1)\oplus J_1(2)\oplus J_2(4)

Nous remarquons que le vecteur colonne (0,0,−1,1)T a pour image par la matrice (-1,0,1,-1)T. Ces deux vecteurs colonnes engendrent l'espace caractéristique de valeur propre 4.

On en déduit

\ker{(B-4I)}^2 = \mathrm{Gen}\ \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\right\}

Nous en déduisons la matrice de passage et la forme de Jordan:

P=\begin{pmatrix} -1 &  0 &  1 & -1\\  0 &  0 & -1 &  1\\   1 & -1 &  0 &  0\\ -1 &  1 &  1 &  0\end{pmatrix}=\left((B-4I)\mathbf{v}\left|\mathbf{v}\left|\mathbf{w}\left|\mathbf{x}\right)\right.\right.\right.

et

P^{-1}BP=J=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Réduction de Jordan et systèmes différentiels

Un système d'équations différentielles linéaires en y peut se réduire à une équation différentielle matricielle d'ordre 1 : u'(t) = Au(t) et la condition initiale u(0) = u0, où u(t) est un vecteur colonne contenant les dériviées successives de y. La résolution est alors explicite : u(t) = exp(tA)u0. L'avantage de la forme normale ( Forme normale (bases de données relationnelles) Forme normale (lambda-calcul) En calcul des propositions: formes normales conjonctives et...) de Jordan réside dans la facilité de calculs des matrices des blocs de Jordan. En effet, l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses...) d'un bloc de Jordan nilpotent de taille p est \exp{(t\mathcal{J_\lambda})} = \exp{(t\lambda)}\begin{bmatrix} 1 & \frac{t^2}{2} & \cdots & \frac{t^{p-1}}{(p-1)!} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{t^2}{2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

On voit de cette manière l'intérêt calculatoire de cette méthode.

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