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Dilatation

La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la pression.

Coefficients de dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur...) α

Formules générales : cas isotrope

On peut calculer pour tous les matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) isotropes la variation de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) et donc de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) en fonction de la variation de température :

\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T

Avec :

  • \Delta L,\ la variation de longueur en mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en...) (m) ;
  • \alpha,\ le coefficient de dilatation (Les coefficients de dilatation mesurent l'augmentation relative de volume d'un système lorsque l'on ne fait varier qu'un seul paramètre, en général la pression ou la température.) linéaire en 1/Kelvin (K − 1) ;
  • L_0,\ la longueur initiale en mètre (m) ;
  • \Delta T = T-T_0,\ la variation de température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est...) en Kelvin (Le kelvin (symbole K, du nom de Lord Kelvin) est l'unité SI de température thermodynamique. Par convention, les noms d'unité sont des noms communs et s'écrivent en minuscule (« kelvin »...) (K) ou en Degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) Celsius (°C).

Remarque : Puisque l'on utilise une variation, une différence de température, la différence d'origine entre Kelvin et degré Celcius s'annule, la distinction n'est donc pas nécessaire.

On peut aussi directement calculer la longueur en fonction de la température :

L(T) = L+\Delta L = L(T_0) \cdot (1+\alpha \cdot (T-T_0))

Avec :

  • L,\ la longueur en mètre (m) en fonction de la température ;
  • T,\ la température considérée en Kelvin (K) ;
  • T_0,\ la température initiale en Kelvin (K).

Application

Soit un rail (Un rail (ou lisse en québécois) est une barre d’acier profilée. Deux files parallèles de rails mis bout à bout forment une voie ferrée. Ils...) en acier (L’acier est un alliage métallique utilisé dans les domaines de la construction métallique (voir aussi l’article sur la théorie du soudage de l’acier) et de la construction mécanique.) de 30 m en hiver (L'hiver est une des quatre saisons des zones tempérées.) à -20°C ; en été, la température est de 40°C.
Le rail subit donc un variation de température \Delta T =60 K,\ sa variation de longueur sera :

\Delta L = \alpha_{acier} \cdot L_0 \cdot \Delta T = 12 \cdot 10^{-6} \times 30 \times 60 = 2,16\cdot 10^{-2} m

Ainsi le rail s'allonge de 21,6 mm, sa longueur en été est de 30,0216 m.

Tenseur de dilatation thermique

Les matériaux cristallins non cubiques présentent une dilatation thermique anisotrope : on n'observe pas le même coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) de dilatation \alpha\, dans toutes les directions. Pour cette raison, on utilise un tenseur symétrique d'ordre 2 pour décrire la dilatation dans les matériaux anisotropes :

\begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21}=\alpha_{12} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31}=\alpha_{13} & \alpha_{32}=\alpha_{23} & \alpha_{33} \end{bmatrix}

Ainsi, dans le cas général d'un matériau (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets. C'est donc une matière de base...) triclinique, six coefficients de dilatation thermique sont nécessaires. Ces coefficients se rapportant à un repère orthogonal, les coefficients de dilatation n'ont pas forcément de rapport direct avec les axes cristallographiques du matériau. En effet, les valeurs propres et vecteurs propres d'un tenseur d'ordre 2 forment toujours (dans le cas où les valeurs propres sont positives) une ellipsoide de révolution, dont les axes sont perpendiculaires les uns aux autres : on dit qu'un tenseur d'ordre 2 possède toujours au moins la symétrie ponctuelle orthorhombique maximale \frac{2}{m} \frac{2}{m} \frac{2}{m}.

Pour un cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition scientifique de ce mot....) orthorhombique par exemple, où \alpha_{12}=\alpha_{13}=\alpha_{23}=0,\, le tenseur de dilatation est diagonal et \alpha_{11},\, \alpha_{22}\, et \alpha_{33}\, décrivent la dilatation le long des trois directions cristallographiques a,\, b\, et c\, du matériau. Par contre, dans le système monoclinique, \alpha_{13}\, est non nul : alors que \alpha_{22}\, représente la dilatation thermique le long de b,\, la relation entre \alpha_{11},\, \alpha_{33},\, \alpha_{13}\, et les paramètres de maille a,\, c,\, \beta\, n'est pas aussi triviale. Par convention, le repère orthogonal (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) choisi pour décrire la dilatation thermique dans les matériaux monocliniques est tel que \vec{e}_2 est parallèle à \vec{b}, axe de symétrie du cristal, \vec{e}_3 est parallèle à \vec{c} et \vec{e}_1 est parallèle au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud...) réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) \vec{a}^{\,*}=\frac{\vec{b}\wedge\vec{c}}{V} (V étant le volume de la maille), qui forme par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) un trièdre direct avec \vec{b} et \vec{c} : \alpha_{33}\, représente la dilatation thermique le long de \vec{c}, alors que \alpha_{11}\, représente la dilatation le long de \vec{a}^{\,*}\ne\vec{a}.

Les valeurs propres du tenseur de dilatation thermique, ou coefficients de dilatation linéaires principaux \alpha_1\,, \alpha_2\, et \alpha_3\,, permettent aussi d'obtenir le coefficient de dilatation volumique, trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du...) du tenseur : \beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\alpha_{11}+\alpha_{22}+\alpha_{33},\, puisque la trace d'une matrice carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) est invariante par changement de base.

Mesure des coefficients de dilatation linéaires

Dans le cas des matériaux cristallins, la dilatation thermique se mesure de façon précise par diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène peut être interprété par la diffusion d'une onde par les points de l'objet. La...) des rayons X. Une méthode couramment utilisée consiste à mesurer les paramètres de maille du cristal pour différentes températures et d'en déduire les coefficients de dilatation linéaires. Cependant, le calcul intermédiaire des paramètres de maille introduit des erreurs supplémentaires dans le calcul des coefficients et il est préférable de les obtenir à partir de la variation en température de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) de diffraction \theta\,. Plusieurs programmes fournissent les composantes du tenseur de dilatation à partir des variations de \theta\,[1].

Coefficients de dilatation linéaires pour les principaux matériaux

Les coefficients donnés ci-dessous sont valables pour des températures comprises entre 0°C et 100°C. En réalité ces coefficients dépendent de la température, la loi d'allongement n'est donc pas linéaire pour des différences de température très élevées.

substances coefficient de dilatation linéaire
1/K
acier 12,0×10−6
aluminium (L'aluminium est un élément chimique, de symbole Al et de numéro atomique 13. C’est un élément important sur la Terre avec 1,5 % de la...) 23,8×10−6
argent (L’argent ou argent métal est un élément chimique de symbole Ag — du latin Argentum — et de numéro atomique 47.) 19,7×10−6
bismuth (Le bismuth est un élément chimique de la famille des pnictogènes, de symbole Bi et de numéro atomique 83.) 13,5×10−6
bronze (Le bronze est le nom générique des alliages de cuivre et d'étain. Le terme airain désigne aussi le bronze, mais est plutôt employé en poésie et dans...) 17,5×10−6
cadmium (Le cadmium est un élément chimique de symbole Cd et de numéro atomique 48.) 30,0×10−6
constantan 15,2×10−6
cuivre (Le cuivre est un élément chimique de symbole Cu et de numéro atomique 29. Le cuivre pur est plutôt mou, malléable, et présente sur ses surfaces fraîches une teinte...) 16,5×10−6
étain 23,0×10−6
fonte 10,5×10−6
invar (36 %Ni + 64 %Fe) 1,5×10−6
laiton 18,5×10−6
maillechort 18,0×10−6
substances coefficient de dilatation linéaire
1/K
molybdène 5,2×10−6
nickel (Le nickel est un élément chimique, de symbole Ni et de numéro atomique 28.) 13,0×10−6
nylon 130×10−6
or 14,2×10−6
platine (Le platine est un élément chimique de symbole Pt et de numéro atomique 78.) 9,0×10−6
plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et de numéro atomique 82. Le mot et le symbole viennent du latin plumbum.) 29,0×10−6
porcelaine 4,0×10−6
quartz 0,5×10−6
rilsan 150×10−6
tungstène (Le tungstène est un élément chimique du tableau périodique de symbole W (de l'allemand Wolfram) et de numéro atomique 74.) 4,5×10−6
verre (Le verre, dans le langage courant, désigne un matériau ou un alliage dur, fragile (cassant) et transparent au rayonnement visible. Le plus souvent, le verre est constitué d’oxyde de silicium (silice SiO2) et de...) 9×10−6
zinc (Le zinc (prononciation /zɛ̃k/ ou /zɛ̃ɡ/) est un élément chimique, de symbole Zn et de numéro atomique 30.) 30,0×10−6


Anomalies

  • L'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) présente une anomalie ; en effet en chauffant elle se contracte entre 0°C et + 4°C.

Problèmes dus à la dilatation

La dilatation des solides est compensée sur les ponts par des rainures : avec les différences d'expositions au soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une...) et l'échauffement de l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :), un solide de plusieurs dizaines de mètres peut s'allonger de quelques centimètres. Sans l'espace laissé par les rainures, le pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours d'eau, voie de communication, vallée, etc.) en passant par-dessus cette séparation....) se déformerait.

  • La dilatation d'un liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) est souvent négligeable par rapport à son ébullition (L’ébullition est la formation de bulles lors d’un changement violent d’un corps de l’état liquide vers l’état vapeur. Ce phénomène est une vaporisation.), mais peut expliquer certains phénomènes, notamment avec des récipients rigides.
    • Elle n'est pas la cause du débordement du lait que l'on chauffe trop, qui est un phénomène propre aux protéines bouillies.
  • Le bris des verres chauffés brusquement s'explique par la dilatation.
  • Blocage de roue (La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.). Si une roue est d'une matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de...) différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des...) de celle de son axe, elle pourra se bloquer à certaines température si les tolérances mécaniques ont été mal calculées.

Applications de la dilatation

  • Thermomètre (Un thermomètre est un appareil qui sert à mesurer et à afficher la valeur des températures. C'est le domaine d'étude de la thermométrie.) bi-lame
  • Thermoscope
  • Dilatomètre

Personnalités ayant travaillé sur la dilatation

  • Louis Joseph Gay-Lussac (Louis Joseph Gay-Lussac (Saint-Léonard-de-Noblat, 6 décembre 1778 – Paris, 9 mai 1850) était un chimiste et physicien français, connu pour ses études sur les propriétés des gaz.) decouvreur de la loi de dilatation des Gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre :...)
  • Pierre Louis Dulong (Pierre Louis Dulong, né à Rouen le 12 février 1785 et mort à Paris le 19 juillet 1838, est un chimiste et physicien français auteur de travaux sur la chaleur...)
  • Charles Edouard Guillaume (Guillaume est un prénom masculin d'origine germanique. Le nom vient de Wille, volonté et Helm, heaume, casque, protection.), prix Nobel de physique (Le prix Nobel de physique est une récompense gérée par la Fondation Nobel, selon les dernières volontés du testament du chimiste Alfred Nobel. Il récompense des figures scientifiques...) (1920), découvrit des alliages ayant de faibles coefficients de dilatation.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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