Dimension - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs est disponible ici.

Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.

En physique et en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), la notion de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) est bien particulière. Ces notions ont été détournées dans le domaine de la science-fiction (La science-fiction, prononcée /sjɑ̃s.fik.sjɔ̃/ (abrégé en...).

Technique

Dans le domaine de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...), le terme " dimension " renvoit à la taille d'une pièce.

Dans l'absolu, les dimensions d'une pièce peuvent être choisies de manière totalement arbitraire, l'important étant qu'elles soient compatibles avec l'utilisation finale de la pièce.

Dans un but de normalisation, il est toutefois préférable d'utiliser comme dimensions linéaires nominales des valeurs de la " série de Renard ".

Dans la pratique de tous les jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...), le terme " dimension " renvoit à la taille d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...).
Exemple et définition:

  • Objet de: 350 x 250 x 255 mm.
  • Description: (L)ongeur x (l)argeur x (h)auteur.
  • Forme: D = (L x l x h)

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...)

En physique, le terme dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) regroupe deux notions complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) différentes.

Dimension d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...)

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut vulgariser cette notion en disant que

la dimension d'un espace est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de variables qui servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à définir un état, un événement.

Ainsi par exemple, on dit classiquement que notre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) t auquel cet événement survient.

  • Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
  • un objet plan (comme une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux...) de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
  • un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points au sein de l'objet (abscisse curviligne) ;
  • un objet ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), car une fois que l'on a désigné le point (Graphie), on n'a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est...) d'aucun paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) pour trouver le point...

Ces concepts sont repris en modélisation informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) (objet 2D, 3D).

Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).

Dimension d'une grandeur

La dimension d'une grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de...) est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. On retraduit les unités en grandeurs.

Par exemple, la vitesse (On distingue :) a la dimension d'une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse est le mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du...) par seconde).

Mathématiques

Dimension d'un espace vectoriel

En mathématiques, la notion de dimension correspond à la dimension de l' espace vectoriel de la physique :

si un espace vectoriel est muni d'une base de cardinal fini d, alors toutes les bases de cet espace ont pour cardinal d, et la dimension de cet espace est d.

(Rappelons qu'une base est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel, c'est-à-dire que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) peut se décomposer en une unique combinaison linéaire (En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre...) des vecteurs de cette famille.) Ceci est une conséquence du lemme de Steinitz :

si un espace vectoriel possède une famille génératrice finie de n vecteurs, toute famille de plus de n vecteurs est liée.

Lorsqu'un espace vectoriel n'admet aucune base de cardinal fini, on dit qu'il est de " dimension infinie ". Exemple : l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des suites réelles est un espace vectoriel de dimension infinie. Dans un tel espace il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

Dimension fractale (On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais...)

Mais la définition de la dimension donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) ci-dessus est insuffisante, notamment dans le cas des fractales.

construction de la courbe de von Koch
construction de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) de von Koch

De manière simplifiée et en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) (Cf. l'article spécialisé pour une meilleure définition), un objet fractal est un objet ayant une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à...) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...), c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, la courbe de von Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron (Chevron: Pièce de bois taillée, constituant une partie de la charpente d'une toiture, de section...) au milieu.

On répète cette opération à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...). Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) ordinaire). Sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3, et qu'il y a un nombre infini d'étapes. Pourtant, et contrairement à une droite infinie, on peut toujours trouver une courbe de longueur finie aussi proche que l'on veut de la courbe de von Koch. On peut donc dire en fait que si on trouve que la longueur de la courbe de von Koch est infinie, c'est qu'on l'évalue dans une " mauvaise " dimension, et qu'en mesurant " mieux ", on aurait une mesure " utile ", finie.

Nous avons besoin de revenir sur la notion d'étalon en physique :

  • l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) : pour mesurer une longueur, on regarde combien de règles tiennent bout-à-bout sur la courbe ;
  • l'étalon de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) : pour mesurer la surface, on regarde combien de carreaux ou peut poser côte-à-côte sur la surface ;
  • l'étalon de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) est un pavé (Un pavé est un bloc de forme cubique ou parallélépipédique en pierre ou en béton utilisé dans...) (cube) d'arrête fixe (dimension 3) : pour mesurer le volume, on regarde combien de pavés on peut empiler dans l'objet.

On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles côte-à-côte (celles-ci ont une épaisseur nulle).

De même, on ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut empiler un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle).

On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimension, puisqu'on ne peut pas mettre de pavé dans un point, une courbe ni une surface.

Ainsi, si l'on appelle do la dimension de l'objet et de celle de l'étalon, on a :

  • si de > do, la mesure donne 0 : on ne peut pas mettre un seul étalon dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une aire, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement inférieure à 2.
  • si de < do, la mesure donne ∞ : on peut mettre autant d'étalon qu'on veut dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une longueur, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement supérieure à 1.
  • si de = do, la mesure peut donner (si l'objet mesuré n'est pas infini) un nombre fini, le nombre d'étalon qu'il faut pour couvrir l'objet ; notre problème est donc de trouver (si elle existe) la " bonne " dimension, celle qui nous donnera une mesure finie (si l'objet est fini, bien sur).
Mesure approchée de la longueur d'une courbe : M(?) ≈ N?×?d avec d = 1
Mesure approchée de la longueur d'une courbe : M(?) ≈ N?×?d avec d = 1
Mesure approchée de l'aire d'une surface : M(?) ≈ N?×?d avec d = 2
Mesure approchée de l'aire d'une surface : M(?) ≈ N?×?d avec d = 2
Mesure approchée d'une courbe de von Koch : la longueur
Mesure approchée d'une courbe de von Koch : la longueur " linéaire " tend vers l'infini, tandis que la longueur " fractale " tend vers 1

Pour faire cette mesure, la " taille " de l'étalon n'est pas sans effet. Si l'étalon est trop grand, il ne rentre pas dans l'objet (la mesure est nulle), mais en prenant des étalons de plus en plus petits, on obtient (d'habitude) des mesures qui se rapprochent. Si, pour mesurer une ligne, on utilise une règle de longueur ?, plus ? est petit, plus on pourra mettre d'étalons dans l'objet à mesurer. La mesure est le produit du nombre d'étalons par la taille de l'étalon : Si l'on fait tenir N? règles de longueur ?, la mesure sera

M(?) = N?×?

Pour un carreau de côté ?, l'aire du carreau sera ?², et si l'on couvre la surface de N? carreaux, la mesure sera

M(?) = N?×?²

Pour un pavé d'arrête ?, le volume du pavé sera ?3, et si l'on rempli l'objet de N? pavés, la mesure sera

M(?) = N?×?3

On voit que la dimension est aussi l'exposant (Exposant peut signifier:) intervenant dans le calcul de la mesure.

Dans le cas d'une ligne habituelle, lorsqu'on utilise une règle de longueur ? divisée par deux (ou par trois, quatre,… N), on peut mettre à peu près deux (respectivement trois, quatre,… N) fois plus de fois l'étalon dans l'objet : la mesure ne change presque pas, et finalement, au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île...) et à mesure qu'on réduit la taille de l'étalon, on obtient une suite de mesures qui converge : la longueur exacte de la courbe est la limite de M(?) lorsque ? tend vers 0, c'est un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...).

Prenons l'exemple d'une surface ; lorsqu'on la pave des carreaux, on n'obtient qu'une approximation de son aire (on approche la surface par un polygone). Si l'on fait tenir N? règles de longueur ?, la mesure sera

M(?) = N?×? 2

L'aire longueur exacte de la courbe est la limite de M(?) lorsque ? tend vers 0. Par contre

M(?) = N?×?

tend vers +∞, et

M(?) = N?×? 3

tend vers 0. On retrouve par le calcul ce que l'on a établi par géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...).

Dans le cas de la courbe de von Koch, on voit bien que lorsqu'on divise l'étalon de longueur par 3, on peut mettre 4 fois plus d'étalon. Du coup, la suite de mesures de longueur

M(?/3) = N?/3 ×(?/3) 1 = 4N? ×? 1/3 = 4/3 × M(?) > M(?)

ne converge pas et la suite de mesures d'aire

M(?/3) = N?/3 ×(?/3) 2 = 4N?/3 ×? 2/9 = 4/9 × M(?) < M(?)

tend vers 0.

Mais il est possible d'imaginer une dimension fractionnaire, de faire varier de façon continue la " dimension ". Et de fait, pour la dimension

do = log 4/log 3 ≈ 1,261 9.

on peut faire converger la mesure pour la courbe de von Koch en prenant :

M(?) = N? ×? do

Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch.

Dimension topologique (On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace...)

La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :), à n si P est d'intérieur non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

Dimension de Hausdorff (La dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est, en topologie, un nombre réel...) - Besicovitch

La dimension d'Hausdorff-Besicovitch Dh prend sa définition par le quotient logarithmique entre un nombre d'homothéties internes d'un objet, sur l'inverse de la raison de cette homothétie. Donc,

D_h = \frac{\ln(N)}{\ln(\frac{1}{r})}.

On aura donc, pour un point :

D_h = \frac{\ln(1)}{\ln(n)}= 0 avec n naturel > 1,

vu qu'on peut établir un point par une homothétie interne de raison n. On peut dire " un point est le produit de n homothéties internes de ce même point, de raison n ".

Avec une droite (segment), il peut s'établir avec deux homothéties internes de raison 1/2, donc

D_h = \frac{\ln(2)}{\ln\left (\frac{1}{\frac{1}{2}} \right )}= \frac{\ln(2)}{\ln(2)} = 1.

De cette façon, on trouve pour les formes et objets euclidiens, un isomorphisme entre ces deux dimensions établies. Cependant, des grandes différences se présentent avec les fractales.

Dimension de Minkowski - Bouligand

La dimension de Minkowski-Bouligand Dm est le quotient logarithmique entre le volume de boules dont on a besoin pour recouvrir n'importe quel objet euclidien, ou non euclidien (de rayon le plus petit possible), qui peut se renfermer dans une boule de rayon r, avec le quotient des rayons. On obtient alors,

D_m = \frac{\ln(N(r,\rho))}{\ln\left (\frac{r}{\rho}\right )},

r est le rayon de la boule extérieure, qui se trouve recouverte par des boules plus petites de rayon ρ. N(r,ρ) désigne l'aire ou volume de la boule ou disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) qui recouvre cette figure.

Dimension combinatoire (Sans rentrer dans les détails, bien que cette notion de dimension redonne (heureusement !) la...) d'un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...)

Cette autre notion de dimension est surtout utile dans le cas des schémas, où la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations...), en un certain sens, est d'une nature plus combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...) que géométrique.

Dans les œuvres de science-fiction

Dans le domaine de la science-fiction, la quatrième dimension désigne, soit une quatrième dimension spatiale (en ajout avec la longueur, la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) et la hauteur) qui serait responsables de faits insolites (cf: Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) d'Everett ); soit une autre dimension, celle-ci, temporelle et non spatiale : c' est à dire le temps à travers lequel les protagonistes pourraient voyager (cf : vitesse supraluminique (Une vitesse supraluminique (superluminal en anglais) désigne une vitesse supérieure...) ). Par extension, le terme " dimension " a finalement été utilisé pour caractériser les mondes dits " parallèles ", c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant un appareil ouvrant une " faille " entre les " dimensions ", ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde (Le mot monde peut désigner :) parallèle est situé dans une " autre dimension ".

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...)
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) | Théorème des facteurs invariants (En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type...) | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes...) | Décomposition de Dunford (En mathématiques, la décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un...) | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier...) | Espace dual (En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes...) | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...) | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) | Produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...) | Polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des...) | Tenseur (Tenseur) | Pseudovecteur (En physique et en mathématiques, un pseudovecteur ou vecteur axial est un objet...) | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de...)
Modifier
Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est...)
Espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) | Forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme...) | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité | Base orthonormale (Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique.) | Projection orthogonale (En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une...) | Inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée...) | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle...) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU)...) | Déterminant de Gram (En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer...) | Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...) | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de...) | Théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle...) | Théorème de Stampacchia (Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un...) | Théorème de Riesz (En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des espaces vectoriels...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
Modifier
Page générée en 0.138 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise