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Dimension

Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.

En physique et en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...), la notion de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) est bien particulière. Ces notions ont été détournées dans le domaine de la science-fiction (La science-fiction, prononcée /sjɑ̃s.fik.sjɔ̃/ (abrégé en SF), est un genre narratif (principalement littéraire et...).

Technique

Dans le domaine de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...), le terme " dimension " renvoit à la taille d'une pièce.

Dans l'absolu, les dimensions d'une pièce peuvent être choisies de manière totalement arbitraire, l'important étant qu'elles soient compatibles avec l'utilisation finale de la pièce.

Dans un but de normalisation, il est toutefois préférable d'utiliser comme dimensions linéaires nominales des valeurs de la " série de Renard ".

Dans la pratique de tous les jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...), le terme " dimension " renvoit à la taille d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...).
Exemple et définition:

  • Objet de: 350 x 250 x 255 mm.
  • Description: (L)ongeur x (l)argeur x (h)auteur.
  • Forme: D = (L x l x h)

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...)

En physique, le terme dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) regroupe deux notions complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à...) différentes.

Dimension d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.)

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut vulgariser cette notion en disant que

la dimension d'un espace est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de variables qui servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à définir un état, un événement.

Ainsi par exemple, on dit classiquement que notre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être...) t auquel cet événement survient.

  • Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points au sein (Le sein (du latin sinus, « courbure, sinuosité, pli ») ou la poitrine dans son ensemble, constitue la région ventrale supérieure...) de l'objet ;
  • un objet plan (comme une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À...) de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
  • un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points au sein de l'objet (abscisse curviligne) ;
  • un objet ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...), car une fois que l'on a désigné le point (Graphie), on n'a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins...) d'aucun paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) pour trouver le point...

Ces concepts sont repris en modélisation informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles que les ordinateurs, les...) (objet 2D, 3D).

Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).

Dimension d'une grandeur

La dimension d'une grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou phénomène particulier de la physique. Par exemple, la grandeur...) est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. On retraduit les unités en grandeurs.

Par exemple, la vitesse (On distingue :) a la dimension d'une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse est le mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la...) par seconde).

Mathématiques

Dimension d'un espace vectoriel

En mathématiques, la notion de dimension correspond à la dimension de l' espace vectoriel de la physique :

si un espace vectoriel est muni d'une base de cardinal fini d, alors toutes les bases de cet espace ont pour cardinal d, et la dimension de cet espace est d.

(Rappelons qu'une base est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel, c'est-à-dire que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) peut se décomposer en une unique combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire des vecteurs de cette famille.) Ceci est une conséquence du lemme de Steinitz :

si un espace vectoriel possède une famille génératrice finie de n vecteurs, toute famille de plus de n vecteurs est liée.

Lorsqu'un espace vectoriel n'admet aucune base de cardinal fini, on dit qu'il est de " dimension infinie ". Exemple : l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des suites réelles est un espace vectoriel de dimension infinie. Dans un tel espace il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

Dimension fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques....)

Mais la définition de la dimension donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) ci-dessus est insuffisante, notamment dans le cas des fractales.

construction de la courbe de von Koch
construction de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) de von Koch

De manière simplifiée et en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative...) (Cf. l'article spécialisé pour une meilleure définition), un objet fractal est un objet ayant une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...), c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, la courbe de von Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron (Chevron: Pièce de bois taillée, constituant une partie de la charpente d'une toiture, de section rectangulaire, disposé dans un intervalle de 60-75 cm afin de recevoir la sous-toiture sur laquelle sera installée la couverture d'une maison.) au milieu.

On répète cette opération à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier...). Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) ordinaire). Sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3, et qu'il y a un nombre infini d'étapes. Pourtant, et contrairement à une droite infinie, on peut toujours trouver une courbe de longueur finie aussi proche que l'on veut de la courbe de von Koch. On peut donc dire en fait que si on trouve que la longueur de la courbe de von Koch est infinie, c'est qu'on l'évalue dans une " mauvaise " dimension, et qu'en mesurant " mieux ", on aurait une mesure " utile ", finie.

Nous avons besoin de revenir sur la notion d'étalon en physique :

  • l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) : pour mesurer une longueur, on regarde combien de règles tiennent bout-à-bout sur la courbe ;
  • l'étalon de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) : pour mesurer la surface, on regarde combien de carreaux ou peut poser côte-à-côte sur la surface ;
  • l'étalon de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) est un pavé (Un pavé est un bloc de forme cubique ou parallélépipédique en pierre ou en béton utilisé dans le domaine de la construction pour le revêtement de sols ou de chaussées par pavage. Il...) (cube) d'arrête fixe (dimension 3) : pour mesurer le volume, on regarde combien de pavés on peut empiler dans l'objet.

On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles côte-à-côte (celles-ci ont une épaisseur nulle).

De même, on ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut empiler un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle).

On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimension, puisqu'on ne peut pas mettre de pavé dans un point, une courbe ni une surface.

Ainsi, si l'on appelle do la dimension de l'objet et de celle de l'étalon, on a :

  • si de > do, la mesure donne 0 : on ne peut pas mettre un seul étalon dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une aire, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement inférieure à 2.
  • si de < do, la mesure donne ∞ : on peut mettre autant d'étalon qu'on veut dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une longueur, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement supérieure à 1.
  • si de = do, la mesure peut donner (si l'objet mesuré n'est pas infini) un nombre fini, le nombre d'étalon qu'il faut pour couvrir l'objet ; notre problème est donc de trouver (si elle existe) la " bonne " dimension, celle qui nous donnera une mesure finie (si l'objet est fini, bien sur).
Mesure approchée de la longueur d'une courbe : M(?) ≈ N?×?d avec d = 1
Mesure approchée de la longueur d'une courbe : M(?) ≈ N?×?d avec d = 1
Mesure approchée de l'aire d'une surface : M(?) ≈ N?×?d avec d = 2
Mesure approchée de l'aire d'une surface : M(?) ≈ N?×?d avec d = 2
Mesure approchée d'une courbe de von Koch : la longueur
Mesure approchée d'une courbe de von Koch : la longueur " linéaire " tend vers l'infini, tandis que la longueur " fractale " tend vers 1

Pour faire cette mesure, la " taille " de l'étalon n'est pas sans effet. Si l'étalon est trop grand, il ne rentre pas dans l'objet (la mesure est nulle), mais en prenant des étalons de plus en plus petits, on obtient (d'habitude) des mesures qui se rapprochent. Si, pour mesurer une ligne, on utilise une règle de longueur ?, plus ? est petit, plus on pourra mettre d'étalons dans l'objet à mesurer. La mesure est le produit du nombre d'étalons par la taille de l'étalon : Si l'on fait tenir N? règles de longueur ?, la mesure sera

M(?) = N?×?

Pour un carreau de côté ?, l'aire du carreau sera ?², et si l'on couvre la surface de N? carreaux, la mesure sera

M(?) = N?×?²

Pour un pavé d'arrête ?, le volume du pavé sera ?3, et si l'on rempli l'objet de N? pavés, la mesure sera

M(?) = N?×?3

On voit que la dimension est aussi l'exposant (Exposant peut signifier:) intervenant dans le calcul de la mesure.

Dans le cas d'une ligne habituelle, lorsqu'on utilise une règle de longueur ? divisée par deux (ou par trois, quatre,… N), on peut mettre à peu près deux (respectivement trois, quatre,… N) fois plus de fois l'étalon dans l'objet : la mesure ne change presque pas, et finalement, au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la Municipalité de Skive.) et à mesure qu'on réduit la taille de l'étalon, on obtient une suite de mesures qui converge : la longueur exacte de la courbe est la limite de M(?) lorsque ? tend vers 0, c'est un nombre réel.

Prenons l'exemple d'une surface ; lorsqu'on la pave des carreaux, on n'obtient qu'une approximation de son aire (on approche la surface par un polygone). Si l'on fait tenir N? règles de longueur ?, la mesure sera

M(?) = N?×? 2

L'aire longueur exacte de la courbe est la limite de M(?) lorsque ? tend vers 0. Par contre

M(?) = N?×?

tend vers +∞, et

M(?) = N?×? 3

tend vers 0. On retrouve par le calcul ce que l'on a établi par géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...).

Dans le cas de la courbe de von Koch, on voit bien que lorsqu'on divise l'étalon de longueur par 3, on peut mettre 4 fois plus d'étalon. Du coup, la suite de mesures de longueur

M(?/3) = N?/3 ×(?/3) 1 = 4N? ×? 1/3 = 4/3 × M(?) > M(?)

ne converge pas et la suite de mesures d'aire

M(?/3) = N?/3 ×(?/3) 2 = 4N?/3 ×? 2/9 = 4/9 × M(?) < M(?)

tend vers 0.

Mais il est possible d'imaginer une dimension fractionnaire, de faire varier de façon continue la " dimension ". Et de fait, pour la dimension

do = log 4/log 3 ≈ 1,261 9.

on peut faire converger la mesure pour la courbe de von Koch en prenant :

M(?) = N? ×? do

Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch.

Dimension topologique (On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace métrisable à base dénombrable E. Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention ; sinon on pose :)

La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :), à n si P est d'intérieur non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

Dimension de Hausdorff - Besicovitch

La dimension d'Hausdorff-Besicovitch Dh prend sa définition par le quotient logarithmique entre un nombre d'homothéties internes d'un objet, sur l'inverse de la raison de cette homothétie. Donc,

D_h = \frac{\ln(N)}{\ln(\frac{1}{r})}.

On aura donc, pour un point :

D_h = \frac{\ln(1)}{\ln(n)}= 0 avec n naturel > 1,

vu qu'on peut établir un point par une homothétie interne de raison n. On peut dire " un point est le produit de n homothéties internes de ce même point, de raison n ".

Avec une droite (segment), il peut s'établir avec deux homothéties internes de raison 1/2, donc

D_h = \frac{\ln(2)}{\ln\left (\frac{1}{\frac{1}{2}} \right )}= \frac{\ln(2)}{\ln(2)} = 1.

De cette façon, on trouve pour les formes et objets euclidiens, un isomorphisme entre ces deux dimensions établies. Cependant, des grandes différences se présentent avec les fractales.

Dimension de Minkowski - Bouligand

La dimension de Minkowski-Bouligand Dm est le quotient logarithmique entre le volume de boules dont on a besoin pour recouvrir n'importe quel objet euclidien, ou non euclidien (de rayon le plus petit possible), qui peut se renfermer dans une boule de rayon r, avec le quotient des rayons. On obtient alors,

D_m = \frac{\ln(N(r,\rho))}{\ln\left (\frac{r}{\rho}\right )},

r est le rayon de la boule extérieure, qui se trouve recouverte par des boules plus petites de rayon ρ. N(r,ρ) désigne l'aire ou volume de la boule ou disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) qui recouvre cette figure.

Dimension combinatoire (Sans rentrer dans les détails, bien que cette notion de dimension redonne (heureusement !) la dimension intuitive d'un espace (1 pour une courbe,...) d'un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont...)

Cette autre notion de dimension est surtout utile dans le cas des schémas, où la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), en un certain sens, est d'une nature plus combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles...) que géométrique.

Dans les œuvres de science-fiction

Dans le domaine de la science-fiction, la quatrième dimension désigne, soit une quatrième dimension spatiale (en ajout avec la longueur, la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En...) et la hauteur) qui serait responsables de faits insolites (cf: Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) d'Everett ); soit une autre dimension, celle-ci, temporelle et non spatiale : c' est à dire le temps à travers lequel les protagonistes pourraient voyager (cf : vitesse supraluminique ). Par extension, le terme " dimension " a finalement été utilisé pour caractériser les mondes dits " parallèles ", c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant un appareil ouvrant une " faille " entre les " dimensions ", ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde (Le mot monde peut désigner :) parallèle est situé dans une " autre dimension ".

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des...)
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer...) | Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme...) | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial...) | Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et...) | Orthogonalité | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle...) | Produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un...) | Polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un...) | Tenseur | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels,...)
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Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en...)
Espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou...) | Forme bilinéaire | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité | Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface...) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre...) | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme) | Déterminant de Gram | Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe) de...) | Théorème spectral | Théorème de Stampacchia | Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.) | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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