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Décomposition de Dunford

La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de l'endomorphisme est plus simple.

Ce n'est pas une réduction dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) où elle n'est pas maximale. C'est-à-dire qu'il est parfois possible de pousser la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en sous-espaces vectoriels plus petits.

Elle suppose comme hypothèses que l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie et que le polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer...) est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de polynômes du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :). C'est toujours le cas si le corps est algébriquement clos, comme par exemple les nombres complexes. Dans le cas ou la propriété n'est pas vérifiée, alors il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.), et l'espace vectoriel vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui...) d'appliquer la décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de...). Le corps des nombres réels se voit par exemple très généralement étendre pour permettre une application de cette décomposition.

La décomposition de Dunford prouve que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) endomorphisme est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent (Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par...), les deux endomorphismes commutant.

Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en...) qu'elle est utilisée.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...)

Le théorème de diagonalisabilité permet de déterminer la structure de u quand il admet un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent...) annulateur scindé à racines simples. La décomposition de Dunford s'applique à un cas plus général.

  • Soit u un endomorphisme de E. Si u admet un polynôme minimal scindé, alors il peut s'écrire sous la forme u = d+n avec d diagonalisable et n nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .) tels que d.n=n.d. De plus d et n sont des polynômes en u.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...) de l'existence de d et n

L'idée initiale de cette approche est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la proposition suivante, démontrée dans l'article sur les polynômes d'endomorphismes dans le paragraphe sur les polynômes minimaux:

  • Soit (\chi_i)\; une décomposition en facteurs tous de degré supérieur à 0 et premier entre eux du polynôme minimal\chi\; d'un endomorphisme u. Alors la suite des noyaux (Ker \chi_i[u])\; est une décomposition en somme directe de l'espace E de sous-espaces stables par l'endomorphisme.

Or, si le polynôme minimal est scindé, il peut s'écrire sous la forme:

\chi [X]=\prod_i (X-\lambda_i)^{n_i}\;

Si l'on note E_i\; le noyau de l'endomorphisme (u-\lambda_i )^{n_i}\;, alors le paragraphe précédent nous indique que la suite (E_i)\; forme une somme directe de l'espace E de sous-espaces non réduits à 0 et stables par l'endomorphisme. On appelle ces sous-espaces les sous-espaces caractéristiques. Nous avons alors les trois propriétés suivantes:

  • L'espace E est somme directe de ses sous-espaces caractéristiques.
  • Les sous-espaces caractéristiques sont non réduits au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) nul et stable par l'endomorphisme. La restriction de l'endomorphisme à E_i\; est la somme d'une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de...) de rapport \lambda_i \; et d'un endomorphisme nilpotent d'ordre n_i\;.
  • La suite des (\lambda_i) \; est la suite des valeurs propres. Les sous-espaces propres associés sont inclus dans les sous-espaces caractéristiques.

Ces considérations permettent de démontrer la décomposition de Dunford. Elle permettent de plus de démontrer les propriétés suivantes:

  • Le polynôme minimal est le produit des polynômes de degré 1 et de racine les valeurs propres à la puissance l'indice de l'endomorphisme nilpotent associé.
  • Le polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. ...) est le produit des polynômes de degré 1 et de racine les valeurs propres à la puissance la dimension de l'espace caractéristique associé.
  • Le déterminant est égal au produit des valeurs propres élevées à la puissance de la dimension de l'espace caractéristique associé.
  • La trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à...) est égale à la somme des valeurs propres multipliées par la dimension de l'espace caractéristique associé.

Approche par les projecteurs

Un résultat notoire de l'approche par les polynômes d'endormorphismes réside dans le fait que la connaissance du polynôme minimal permet de définir une algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus systématiques de résolution, par...) fournissant à la fois les projecteurs sur les espaces caractéristiques mais aussi la composante diagonale et nilpotente de l'endomorphisme.

  • La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) sur Ei parallèlement à la somme directe des autres espaces caractéristiques s'exprime comme un polynôme de l'endomorphisme u.
  • La composante diagonale d de l'endomorphisme u s'exprime comme un polynôme de l'endomorphisme u.
  • La composante nilpotente n de l'endomorphisme u s'exprime comme un polynôme de l'endomorphisme u.

Cas d'applications

En dimension finie le théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme...) montre que Pu[u] = 0Pu est le polynôme caractéristique de u :

si Pu est scindé alors u est décomposable.

C'est en particulier le cas pour tout endomorphisme d'un espace de dimension finie sur \mathbb C.

Réduction de Jordan

La décomposition de Dunford permet d'obtenir la réduction de Jordan en dimension finie.

d et n commutent donc les sous-espaces propres de d sont stables par n.

La restriction de n au sous-espace propre admet une matrice formée de blocs de Jordan nilpotents ce qui donne, en ajoutant λIp, des blocs de Jordan pour d+n dans une base adaptée. Ainsi on obtient une matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas...) par blocs formée de blocs de Jordan en utilisant l'union de ces bases.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et...)
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...) | Déterminant | Trace | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le...) | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan | Décomposition de Dunford | Valeur propre | Polynôme caractéristique | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en...) | Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article...) | Orthogonalité | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou...) | Produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse...) | Polynôme d'endomorphisme | Polynôme minimal | Tenseur | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels,...)
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