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Topologie

La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).

Pour la structure formelle de topologie, voir l'article Espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la...).

Étymologie

Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient respectivement lieu, et étude. Au pied de la lettre, la topologie est l'étude du lieu. Elle s’intéresse donc à définir ce qu’est un lieu (appelé aussi espace) et quelles peuvent en être les propriétés

La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites continues.

Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie).

Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de résultats (existence et/ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques.

Idée intuitive

Généralement, la topologie se présente comme la " Géométrique de la feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau...) de caoutchouc" Cela fait référence à la Géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de...), où deux objets sont équivalents si on peut transformer l’un en l’autre à l’aide d’isométries (rotations, translations, réflexions, etc.…) c'est-à-dire, des transformations qui conservent la valeur des angles, des longueurs, des aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.), des volumes et autres. En topologie, deux objets sont équivalents dans un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) beaucoup plus large. Ils doivent avoir le même nombre de morceaux, de trous, d’intersections etc.… En topologie, il est permis de doubler, étirer, tordre etc.…des objets mais toujours sans les rompre, ni séparer ce qui est uni, ni coller ce qui est séparé. Par exemple, un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...) est topologiquement la même chose qu’un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance...), c'est-à-dire qu’on peut transformer l’un en l’autre sans rompre et sans coller. Mais un cercle n’est pas la même chose qu’un segment (on doit casser le cercle pour obtenir le segment). C’est la raison pour laquelle cela s’appelle la " Géométrie de la feuille de caoutchouc" parce que c’est comme si on étudiait la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) avec une feuille de caoutchouc que l’on pourrait contracter, étirer, etc.

Une blague habituelle entre topologues (les mathématiciens qui travaillent sur la topologie) raconte qu’un topologue est une personne qui ne sait pas distinguer une tasse d’un beignet.

Image:Mug and Torus morph.gif

Mais cette vision, bien qu’intuitive et ingénieuse, est partielle et biaisée. D’un côté, on peut penser que la Topologie traite seulement d’objets et de concepts géométriques (alors qu’au contraire, c’est la géométrie qui traite un certain type d’objets topologiques). D’un autre côté, dans beaucoup de cas, il est impossible de donner l’image d’une interprétation d’un problème topologique, ou de certains concepts. Tenter de visualiser les concepts est une erreur fréquente chez les débutants, qui les fait avancer très lentement quand ils ne peuvent trouver un exemple graphique. Il est fréquent d’entendre les étudiants dire qu’ils ne comprennent pas la Topologie et qu’ils n’aiment pas cette branche. Généralement, on doit cette aversion au fait que le problème ne peut pas être visualisé par un dessin. Finalement, la Topologie se nourrit aussi de concepts dont l’inspiration provient de l’Analyse mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...). On peut dire que presque la totalité des concepts et idées de cette branche sont des concepts et idées topologiques.

Histoire

L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques.

Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports à maints domaines des...) publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie (En mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de « déformation continue » d'un objet vers un autre.) et d'homologie.

Maurice Fréchet, unifiant les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d’autres, introduit le concept d'espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) en 1906.

En 1914, Felix Hausdorff, en généralisant la notion d’espace métrique, inventa le terme d'" espace topologique " et définit ce qui s'appelle aujourd'hui l'espace séparé ou espace de Hausdorff.

Finalement, une autre légère généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails...) en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d'espace topologique.

Le terme " topologie ", fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans " Vorstudien zur Topologie ".

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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