Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
Catégories
Techniques
Sciences
Encore plus...
Techno-Science.net
Bons plans et avis Gearbest: Xiaomi Mi Mix2, OnePlus 5T
Code promo Gearbest: réduction, coupon, livraison...
Photo Mystérieuse

Que représente
cette image ?
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Conjecture de Poincaré

La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.

Jusqu'à l'annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s'agissait d'un problème de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des...) non résolu. Il est considéré par la communauté des spécialistes comme le plus important de cette branche des mathématiques et est sans doute l'un des problèmes les plus connus. Il fait partie des sept problèmes du Prix du millénium listés en 2000 par l'Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute for...) de mathématiques Clay.

Historique

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés...)

La conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou...) fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s'énonce ainsi :

« Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) 3. »

Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin ».

Précisément, la question est de savoir si toute variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) 3 fermée, simplement connexe et sans bord est homéomorphe à une sphère. Plus grossièrement, si « un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) à trois dimensions » donné possède les mêmes propriétés que celles d'une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), alors il est juste une « déformation » d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire, surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois...) dans — l'espace ordinaire —, possède seulement deux dimensions).

Notons que ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que \mathbb{R}^3 (l'espace ordinaire) ne peuvent être dessinés proprement comme objets dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

Un long chemin vers sa résolution

En l'an 2000, l'Institut de mathématiques Clay a mis à prix la conjecture de Poincaré et offre un prix d'un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède un million...) de dollars pour sa solution, ce qui en fait l'un des sept problèmes les plus recherchés du millénaire.

La conjecture a induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité...) une longue liste de preuves incorrectes et certaines d'entre elles ont mené à une meilleure compréhension de la topologie en petites dimensions.

Progrès récents

Vers la fin de l'année 2002, des publications sur l'arXiv de Grigori Perelman de l'institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la « conjecture de géométrisation » (voir plus ci-dessous), mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Grigori Perelman en 2003 résolvait ce problème, plus d'un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international de mathématiques le 22 Août 2006 à Madrid (Madrid est la capitale de l'Espagne. Ville la plus vaste et la plus peuplée du pays, c'est le chef-lieu de la Communauté autonome de Madrid qui...) au cours duquel la médaille Fields lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille et la somme qui l'accompagne. Perelman a également refusé le prix Clay.

Éléments liés à la preuve de la conjecture

Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d'une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme près (sans répétition). Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas.

On peut considérer la conjecture de Poincaré comme un cas particulier de la conjecture de géométrisation de Thurston formulée vers la fin des années 1970. Cette dernière conjecture, si elle était prouvée, achèverait la question de classification des variétés de dimension 3. Les seules parties de la conjecture de géométrisation qu'il reste à démontrer, sont appelées la conjecture d'« hyperbolisation » et la conjecture d'« elliptisation ».

La conjecture d'« elliptisation » déclare que toute variété de dimension 3 fermée ayant un groupe fondamental fini, a une géométrie sphérique, c'est-à-dire est couverte par la 3-sphère. La conjecture de Poincaré correspond au cas où le groupe fondamental est trivial.

Problèmes mathématiques reliés

Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées:

toute variété compacte de dimension n qui est homotopiquement équivalente à la sphère unité est homéomorphe à la sphère unité.

La conjecture de Poincaré donnée précédemment apparaît comme le cas particulier n=3.

La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues ont maintenant été prouvés :

  • en dimension n=4 de loin la plus difficile, par Freedman en 1982 ;
  • en dimension n=5, par Zeeman en 1961 ;
  • en dimension n=6, par Stallings en 1962 ;
  • pour n≥7 par Smale en 1961 (il étendit sa démonstration à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n≥5).

alors que la version à trois dimensions originale de la conjecture de Poincaré demeurait sans solution.

Notes et références

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page. La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Jeudi 23 Novembre 2017 à 00:00:06 - Vie et Terre - 0 commentaire
» Un bon odorat pour une bonne croissance
Mardi 21 Novembre 2017 à 12:00:21 - Physique - 0 commentaire
» Photosynthèse: de l’huile dans les rouages