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Continuité uniforme

En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion " purement topologique " c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) dépend de la distance ou de la structure uniforme.

Continuité uniforme (En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme...) dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.)

Définition

Soient (E,d) \,\! et (F,\delta) \,\! deux espaces métriques, et f \ : \ E \rightarrow F \,\! une application de E \,\! vers F \,\!.

On dira que f \,\! est uniformément continue si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!

NB: La continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations...) " simple " de f \,\! s'écrit par comparaison :

\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in  E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!

On comprend alors le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) du mot " uniforme " : le choix de \eta \,\! en fonction de \varepsilon \,\! ne dépend pas du point (Graphie) considéré, il est uniforme sur E \,\!.

  • Cas des fonctions d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) réelle et à valeurs réelles

Dans le cas où l'espace de départ E \,\! et l'espace d'arrivée F \,\! sont des intervalles de \mathbb R munis de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le...) valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.), la définition s'écrit :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| < \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| < \varepsilon \,\!

Exemples

Exemple 1  : f_1 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto \sqrt{x} \,\!

f_1 \,\! est uniformément continue ; en effet :

Soit \varepsilon > 0 \,\!. Comme la fonction f_1 \,\! est concave on a pour tous x,y \in \R_+ \,\! :

|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \,\!.

Posons alors \eta = \varepsilon^2 \,\! ; si x,y \in \R_+ \,\! vérifient |x-y|\leq\eta \,\! alors :

|f_1(x)-f_1(y)| = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon \,\!, ce qu'il fallait démontrer.

Exemple 2 : f_2 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto x^2 \,\!

f_2 \,\! n'est pas uniformément continue ; en effet, montrons que :

\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists  (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_2(x)-f_2(y)|>\varepsilon \,\!.

En fait \varepsilon = 1 \,\! convient. Pour n'importe quel \eta > 0 \,\! on choisit x=\frac{1}{\eta}+\eta \,\! et y=\frac{1}{\eta} \,\!. Alors |x-y| \leq \eta \,\! et |f_2(x)-f_2(y)|=|(\frac{1}{\eta^2}+2\eta \frac{1}{\eta}+\eta^2)-\frac{1}{\eta^2}|=|2+\eta^2|>\varepsilon \,\!, ce qu'il fallait démontrer.

Résultats importants

Fonctions lipschitziennes

Soit \ I un intervalle quelconque de \mathbb{R}. Toute fonction lipschitzienne \ f : I \to \R est uniformément continue.

En particulier, si \ f est dérivable et de dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée...) bornée sur \ I, alors \ f est uniformément continue.

Théorème de Heine (Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela...)

Soient (E,d) \,\! et (F,\delta) \,\! deux espaces métriques, et une application continue f \ : \ E \to F \,\!.

Si \ E est compact, alors \ f est uniformément continue.

En particulier, toute fonction \ f : [a,\, b] \to \R \,\! continue sur le segment \ [a,\, b] de \ \R est uniformément continue.

Prolongement par continuité

Toute fonction uniformément continue à valeurs réelles se prolonge par continuité sur l' adhérence de son espace de départ. Cette propriété est utilisée parfois pour définir des fonctions importantes comme l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) ou l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un...).

Intérêt de la notion d'uniforme continuité

Approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus...) uniforme des fonctions continues par les fonctions en escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite régulière de marches, les degrés, permettant d'accéder à un étage, de passer d'un...)

Soit f une fonction continue sur un segment [a,b] et soit \varepsilon > 0. Alors il existe une fonction en escalier \varphi sur [a,b], telle que :

\forall x \in [a,b], |f(x) - \varphi(x)| < \varepsilon

On utilise pour cela le fait que f est en fait uniformément continue (théorème de Heine), et on découpe l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) {b-a \over n} inférieure au η intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction \varphi valant f(a + k(ba) / n) sur l'intervalle [a + k(ba) / n,a + (k + 1)(ba) / n] convient.

Définition de l'intégrale de Riemann (En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe...)

Soit E l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une...) des fonctions bornées sur l'intervalle [a,b], muni de la norme de la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite ait une limite. La...). Soit F le sous-espace des fonctions en escalier sur [a,b]. Il est aisé de définir l'intégrale I(\varphi) d'une telle fonction en escalier \varphi, au moyen d'une somme finie I(\varphi) =\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i) \varphi_i si \varphi est constante égale à \varphi_i sur l'intervalle ]ai,ai + 1[, les ai constituant une subdivision de [a,b]. On montre alors que I est une fonction lipschitzienne sur F, donc uniformément continue, donc se prolonge à l'adhérence de F dans E. Cette adhérence constitue l'espace des fonctions réglées, et contient les fonctions continues. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Approximation des fonctions continues par les polynômes

Soit f une fonction bornée sur [0,1]. Considérons la suite de polynômes :

P_n(x) = \sum_{k=0}^n f({k \over n}) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}

Si f est continue en x, on montre que la suite (Pn(x)) converge vers f(x). Mais si f est continue sur [0,1] et donc uniformément continue, on montre que la suite (Pn) converge uniformément vers f sur [0,1]. Ce résultat constitue une version constructive du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) de Weierstrass.

Image d'une suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se...)

Soient E et F deux espaces métriques, et f \ : \ E \rightarrow F \,\! une application de E \,\! vers F \,\!.

Si f est continue, alors l'image par f d'une suite convergente de E est une suite convergente de F.

Mais si f est uniformément continue, alors l'image par f d'une suite de Cauchy de E est une suite de Cauchy de F. Cette propriété est cruciale pour le théorème de prolongement des fonctions uniformément continues cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes...) plus haut, et permet de le généraliser aux fonctions uniformément continues à valeurs dans un espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend...)

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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