Loi de Stefan-Boltzmann - Définition

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En physique, la loi de Stefan-Boltzmann[1] établit que la puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre du corps noir (exitance[2] énergétique du corps noir) s'exprime par la formule :

\ M = \sigma T^4

σ est la constante de Stefan-Boltzmann (La constante de Stefan-Boltzmann (du nom des physiciens Jo?ef Stefan et Ludwig Boltzmann), notée ...) (aussi appelée constante de Stefan).

Loi de Planck (La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique du...)

La loi de Stefan se déduit de la loi de Planck, qui permet de déterminer la luminance (En physique, la luminance est l'intensité d'une source de lumière visible dans une direction...) énergétique totale :

L = \int_{0}^{\infty} {L_{\lambda} d\lambda}

La luminance dans une direction donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) étant par ailleurs pondérée par le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) par rapport à la normale à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) émettrice (loi de Lambert), l'exitance énergétique du corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend...) est ainsi égale à :

\ M = \pi L

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)

On part de l'expression de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) spectrale émise par un corps noir (Loi de Planck). On travaille en terme de pulsation. Si u est l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) par unité de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) (u = \frac{ \partial U}{ \partial V}), la densité spectrale est l'énergie des photons de pulsation comprise entre ω et ω + dω :

u_{\omega} = \frac{\partial u}{\partial \omega} = \frac{\hbar}{c^3\pi^2}\frac{\omega^3}{\exp \left(\frac{\hbar\omega}{k_B T} \right)-1}

Note : si on veut travailler en longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...), on peut écrire que u_{\lambda} = \frac{\partial u}{\partial \lambda} = \frac{\partial u}{\partial \omega} \frac{\partial \omega}{\partial \lambda}.
En effet, \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} donc d\omega = -2\pi c\frac{d\lambda}{\lambda^2} et u_{\lambda} = -\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}
Dans la suite de l'article, on ne travaillera que en pulsation, sachant que tous les calculs peuvent être effectués en utilisant \lambda = 2\pi\frac{c}{\omega}


On cherche maintenant à exprimer la puissance surfacique totale (pour toutes les pulsations) émise par un Corps noir. On montre que si \varphi_e est la puissance émise par une unité de surface d'un corps noir, on a \frac{d\varphi_e}{d \omega} = \frac{c}{4}u_{\omega}. La puissance totale étant obtenue en sommant toutes ces puissances pour chaque pulsation, on cherche à calculer \int_{0}^{\infty} \frac{\hbar}{4\pi^2c^2}\frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}-1}\, d\omega En effectuant le changement de variable x = \frac{\hbar\omega}{k_B T}, on obtient

P_{Surfacique} = \frac{(k_B T)^4}{4\pi^2c^2\hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x-1} \, dx = \sigma T^4


avec \sigma = \frac{k_B^4}{4\pi^2c^2\hbar^3}\frac{\pi^4}{15} = \frac{\pi^2 k_B^4}{60c^2\hbar^3} = 5.67.10^{-8} SI

Histoire

La loi de Stefan-Boltzmann (En physique, la loi de Stefan-Boltzmann[1] établit que la puissance totale rayonnée par unité de...) a été découverte expérimentalement par Jo?ef Stefan (1835-1893) en 1879, et ses fondations (Les fondations d'un ouvrage assurent la transmission et la répartition des charges (poids propre...) théoriques ont été posées dans le cadre de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur...) par Ludwig Boltzmann (1844-1906), en 1884.

Cette loi est la seule loi physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) qui porte le nom d'un physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la...) slovène.

Stefan publia cette loi le 20 mars dans l'article (allemand) Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Sur les relations entre radiation thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de...) et température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...)) dans le Bulletins from the sessions de l'Académie des sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche...) de Vienne.

Température du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...)

Grâce à cette loi, Stefan détermina également la température de la surface du Soleil. Il apprend, des données de Charles Soret (1854–1904), que le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments...) énergétique du Soleil est 29 fois plus grand que celui d'une lamelle de métal (Un métal est un élément chimique qui peut perdre des électrons pour former des...) chauffée. Soret avait placé une lamelle circulaire devant son appareil de mesure, à une distance telle qu'elle apparaissait sous le même angle que le Soleil. Il avait estimé la température de la lamelle entre 1900 °C et 2000 °C.

Stefan suppose que le tiers du flux énergétique du Soleil est absorbé par l'atmosphère terrestre (L'atmosphère terrestre est l'enveloppe gazeuse entourant la Terre solide. L'air sec se compose...)[3], ainsi il corrige ce rapport du facteur 3/2 : 29 × 3/2 = 43,5. Stefan retient la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) des mesures de température de 1950°C, ce qui correspond à une température absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un...) de 2223 K.

L'application de sa loi conduit à une température du Soleil égale à 43,50,25=2,568 fois la température de la lamelle ; ainsi Stefan obtient une valeur de 5709 K (la valeur est actuellement de 5780 K). Ce fut la première estimation sérieuse de la température du Soleil : les valeurs précédemment avancées variaient entre 1800 °C à 13 000 000 °C.

Rayon des étoiles

Avec la loi de Stefan-Boltzmann, les astronomes peuvent aisément calculer les rayons des étoiles: En effet, la luminosité (La luminosité désigne la caractéristique de ce qui émet ou réfléchit...) L d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une...) s'écrit:

L = 4πσR2T4

où, L est la luminosité, σ est la constante de Stefan-Boltzmann (ou constante de Stefan), R le rayon de l'étoile, et T sa température. La loi est également respectée dans la thermodynamique des trous noirs (La thermodynamique des trous noirs est la branche de l'étude des trous noirs qui s'est...) pour la radiation de Hawking.

Notes

  1. ou de Stefan.
  2. Appellation recommandée par la Commission internationale de l'éclairage (anciennement émittance énergétique).
  3. La mesure précise de l'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par...) atmosphérique ne fut pas réalisée avant 1888 et 1904.
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