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Norme d'opérateur

En mathématiques, une norme d'opérateur ou norme subordonnée est une norme définie sur l'espace des opérateurs bornés entre deux espaces vectoriels normés.

Soient E et F deux espaces vectoriels normés, respectivement munis des normes \|\cdot\|_1 et \|\cdot\|_2.

Soit f une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la...) de E dans F.

Considérons

N=\sup_{\|v\|_1\leq1} \|f(v)\|_2.

Si N < \infty, on dit que N est la norme de l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) f, subordonnée à \|\cdot\|_1 et \|\cdot\|_2.

Propriétés 
  • Si N < \infty, alors f est N-lipschitzienne et par conséquent continue. Réciproquement, si f est continue, alors N < \infty : il existe ε > 0 tel que
\forall v~\|v\|_1 \leq \epsilon \implies \|f(v)\|_2 \leq 1
et par conséquent N \leq \tfrac1\epsilon.
  • L'espace L(E,F) des fonctions linéaires continues de E dans F peut donc être muni de la norme subordonnée. Alors, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) v, f \mapsto f\cdot v est continue.
  • Si E est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) finie, toute application linéaire de E dans un autre espace est continue.

Analyse approfondie

En analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument....), un opérateur linéaire borné est une application linéaire L entre espaces normés pour lesquels le rapport entre la norme L(v) et celle de v est borné lorsque v parcourt l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des vecteurs non nuls. Cela équivaut à la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des...) de L pour les topologies induites par ces normes.

Dans le cas d'une matrice A représentant une application linéaire de Rm dans Rn, ou de Cm dans Cn, il est possible de montrer directement que A doit être bornée. En fait, la fonction

f(v) = ||A(v)||

est continue en tant que fonction de v, pour toute norme ||.|| et l'ensemble des vecteurs v de norme 1 est compact, comme partie fermée et bornée. La norme matricielle de A est par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) la borne supérieure de f. Dans ce cas, elle est atteinte pour des raisons de compacité.

Une norme d'opérateur satisfait les axiomes d'une norme (mathématiques), de sorte que l'ensemble des opérateurs linéaires bornés de V dans W est lui-même un espace normé. Il est complet si W est complet.

Il faut noter que deux normes distinctes interviennent ici : celle sur V et celle sur W. Même si V = W, il est possible de considérer deux normes distinctes sur ces espaces. En fait, pour deux normes ||.|| and |||.||| sur V, l'opérateur identité sur V a une norme d'opérateur, en passant de V muni de ||.|| à |||.|||, si et seulement s'il existe une constante C telle que, pour tout v :

|||v||| < C.||v||

Lorsque V est de dimension finie, cette propriété est garantie : par exemple, dans le cas de la dimension 2, les conditions ||v|| = 1 et |||v||| = 1 peuvent définir respectivement un rectangle et une ellipse, centrés en 0. Quelles que soient leurs proportions et orientations, on peut agrandir le rectangle en sorte que l'ellipse tienne à l'intérieur du rectangle agrandi et vice versa. Cependant, il s'agit d'un phénomène lié à la dimension finie car en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, c'est-à-dire sont majorées par un multiple constant de toute autre norme. Ceci entraîne entre autre leur équivalence topologique : toutes les normes définissent la même topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), les mêmes ouverts. Mais en dimension infinie, ceci ne se vérifie pas. On peut le constater en considérant, par exemple, l'opérateur de dérivation D des polynômes trigonométriques. On peut prendre la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est...) de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous...) du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure....) comme norme : puisque D(einx) = ineinx, les normes de D appliquée à des espaces de dimension finie de l'espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.) ne sont pas bornées. Un opérateur aussi simple que D peut ne pas avoir de norme d'opérateur.

Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de base utilise le théorème de Baire (Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union...) pour montrer que si A a pour domaine et pour image un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel,...), alors A est borné. Pour l'exemple qui vient d'être donné, D ne peut pas être défini pour toutes les séries de Fourier de carré intégrable. En effet, nous savons, qu'elles peuvent représenter des fonctions continues mais nulle-part différentiables. L'intuition est que si A augmente les normes de certains vecteurs autant que ce qu'on veut, il est possible de condenser les singularités - choisir un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) v qui est la somme des autres et pour lequel ||L(v)|| ne pourrait pas être fini - ce qui montre que le domaine de A ne peut pas être V.

Norme d'un endomorphisme

Dans le cas où E = F, on choisit usuellement (même si ce n'est pas obligatoire) \|\cdot\|_1 = \|\cdot\|_2. Pour les normes usuelles, on dispose de formules pratiques : Prenons E=\R^n, notons x=(x_1,\dots,x_n) un vecteur quelconque de \R^n et f\in L(E). On note A = (aij) la matrice de f dans la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on...). On a alors :

  • Si \|x\| = \max_{1\leq i \leq n} |x_i|, (norme infinie), alors la norme de f vaut :
\max_{1\leq i \leq n} \sum _{1\leq j \leq n} |a_{ij}|
  • Si \|x\| = \sum _{1\leq i \leq n} |x_i|, (norme indice 1), alors la norme de f vaut :
\max_{1\leq j \leq n} \sum _{1\leq i \leq n} |a_{ij}|
  • Si \|x\|^2 = \sum_{1\leq i \leq n} x_i^2, (produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) canonique), alors le carré de la norme de f est égale au rayon spectral, c’est-à-dire la plus grande des valeurs absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à...) des valeurs propres de f^*\circ ff * désigne l'adjoint de f.

Dans le cas particulier où f est un endomorphisme symétrique, la norme de f est égale au rayon spectral de f.

Norme duale

Dans le cas où F=\R muni de la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.). Pour chaque norme sur E, l'ensemble des formes linéaires continue de E, appelée dual topologique, peut ainsi être muni d'une norme.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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