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Règle de Cramer

La règle de Cramer est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système d'équations linéaires en termes de déterminants.

En calcul, elle est généralement inefficace et donc n'est pas utilisée en applications pratiques qui pourraient impliquer plusieurs équations (utilisation de la méthode de résolution de Gauss). Cependant, elle est d'importance théorique pour la raison qu'elle donne une expression explicite pour la solution du système.

Elle est nommée d'après Gabriel Cramer, mathématicien suisse (1704-1752).

Description

Le système de n équations à n inconnues, de forme générale :

\left\{\begin{matrix}  a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = \lambda_1 \\  a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = \lambda_2 \\  \vdots \\ a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+...+a_{n,n}x_n = \lambda_n \end{matrix}\right.

est représenté sous la forme d'un produit matriciel :

\begin{bmatrix}  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}\\  \end{bmatrix} \times  \begin{bmatrix}  x_1\\  x_2\\  \vdots\\  x_n\\  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  \lambda_1\\  \lambda_2\\  \vdots\\  \lambda_n\\  \end{bmatrix} \Leftrightarrow A \cdot \vec x = \vec \lambda

où la matrice A, carrée et inversible (déterminant non nul), contient les coefficients des inconnues, le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...) colonne x contient ces inconnues et le vecteur colonne λ contient les membres de droite des équations du système.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit...) affirme alors que:

x_k = { \det(A_k) \over \det(A) }

Ak est la matrice carrée formée en remplaçant la kème colonne de A par le vecteur colonne \vec \lambda.

A_k = ( a_{k|i,j} ) \mbox{ avec } a_{k|i,j} = \left\{\begin{matrix} a_{i,j} & \mbox{si } j \ne k \\ \lambda_{i,1} & \mbox{si }j = k\end{matrix}\right.

Par extension, un système de Cramer est un système qui répond à la condition que le déterminant de la matrice A soit non nul.

  • Le système admet une infinité de solutions si tous les déterminants des matrices du système sont nuls.
  • Le système n'admet aucune solution si le déterminant de A est nul et qu'au moins un déterminant d'une matrice Ak est non nul.

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'opérations à effectuer pour résoudre un système linéaire à l'aide de la règle de Cramer (La règle de Cramer est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système d'équations linéaires en termes de déterminants.) dépend de la méthode utilisée pour calculer le déterminant. Une méthode efficace pour les calculs de déterminant est l'élimination de Gauss-Jordan (En mathématiques, l'élimination de Gauss-Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de l'algèbre linéaire pour déterminer les solutions d'un système d'équations...) (complexité polynomiale). Cependant, la règle de Cramer demandera d'avoir recours à un nombre de calculs de déterminants égal à la taille du système, une élimination de Gauss-Jordan appliquée directement au système résout donc le problème plus efficacement.

Exemples

Système d'ordre 2

Soit :

\left\{\begin{matrix} ax+by = e\\ cx+dy = f\end{matrix}\right.

alors :

x = { \begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc} et y = { \begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } =  { af - ec \over ad - bc}

Exemple numérique :

\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = 24\\ 2x + 3y = 16\end{matrix}\right.
x = {24 \cdot 3-16 \cdot 2 \over 8 } = {40 \over 8} = 5 et y = {4 \cdot 16-2 \cdot 24 \over 8} = {16 \over 8} = 2

Système d'ordre 3

Soit :

\left\{\begin{matrix}a_1x_1 + b_1x_2 + c_1x_3 = d_1\\ a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 = d_2\\ a_3x_1 + b_3x_2 + c_3x_3 = d_3\end{matrix}\right.

Posons :

A = \begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix} \mbox{ et }\vec x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.

Le système admet une solution unique ssi \det(A) \ne 0 :

x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3\end{vmatrix}}{\det(A)}
x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}a_1&d_1&c_1\\a_2&d_2&c_2\\a_3&d_3&c_3\end{vmatrix}}{\det(A)}
x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\\a_3&b_3&d_3\end{vmatrix}}{\det(A)}

Ou plus simplement :

\vec x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{bmatrix} \det(A_1)\\ \det(A_2)\\ \det(A_3)\end{bmatrix}

Le système admet une infinité de solutions si :

\det(A) = \det(A_1) = \det(A_2) = \det(A_3) = 0\,

Le système n'admet aucune solution si :

\det(A) = 0 \land \Big( \det(A_1) \ne 0 \lor \det(A_2) \ne 0 \lor \det(A_3) \ne 0 \Big)\,
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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