En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.
L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...). La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) de la droite les reliant.
Définitions
- On appelle distance sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) , une application telle que :
-
- ;
- ;
- (inégalité triangulaire).
- On appelle boule (ouverte) centrée en et de rayon , l'ensemble . On la note souvent .
- On appelle boule fermée centrée en et de rayon , l'ensemble . On la note souvent .
Voir aussi boule.
- La distance munit d'une topologie, en définissant une partie comme ouverte lorsque: . Un ouvert est donc une partie qui a une certaine " épaisseur " autour de ses points. Un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) est dit métrisable s'il existe une distance définissant sa topologie ; cette distance n'est presque jamais unique et on prendra garde que les notions de boule, de borné (i.e. inclus dans une boule), de suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de...), de continuité uniforme (En topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une définition...), etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie. Dans cette topologie, les voisinages d'un point (Graphie) sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte centrée sur ce point. La topologie usuelle sur la droite (des nombres réels), le plan, etc. sont des exemples de topologies définissables à l'aide d'une métrique.
- Une propriété intéressante des espaces topologiques métrisables est la propriété de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque...). En effet, si on choisit deux éléments distincts et d'un espace métrique , leur distance est non nulle, par conséquent les ouverts et sont disjoints et sont des voisinages de et .
Exemples
- distance triviale (ou encore distance discrète): sur un ensemble non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), on décide que la distance entre deux points distincts est 1. Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de E, c'est-à-dire que pour toute partie F de E est ouverte.
- les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
- si on munit R+ de la distance d(x,y)=|ex- ey|, on retrouve la topologie usuelle sur R+ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
- La métrique discrète, pour laquelle d(x,y) = 1 pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) x différent de y et d(x,x) = 0 est un autre exemple simple pouvant être appliqué à tout ensemble E.
- La distance aux Échecs permet de connaître le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de coups nécessaire au jeu d'échec pour aller avec le roi d'une case x1, y1 à une case x2, y2 et se définit par
- la distance de Manhattan (Manhattan est l'une des cinq circonscriptions (borough) de la ville de New York (les quatre autres...): dans le plan .c'est bien sûr la distance induite par la norme 1.
Équivalence d'espaces métriques
En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.
Soit deux espaces métriques (M1, d1) et (M2, d2). M1 et M2 sont appelés
- topologiquement isomorphiques (ou homéomorphiques) s'il existe un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est...) entre eux.
- uniformément isomorphiques s'il existe un isomorphisme uniforme entre eux.
- isométriquement isomorphiques s'il existe un isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M1 → M2 qui préserve les distances : d2(f(x), f(y)) = d1(x, y) pour tout x, y dans M1. Les isométries sont forcément injectives.
- similaire s'il existe une constante positive k > 0 et une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M1 → M2 et d2(f(x), f(y)) = k d1(x, y) pour tout x, y dans M1.
- similaire (du second type) s'il existe une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M1 → M2 et d2(f(x), f(y)) = d2(f(u), f(v)) si et seulement si d1(x, y) = d1(u, v) pour tout x, y,u, v dans M1.
Dans le cas d'un espace euclidien avec la métrique usuelle, les deux notions de similarité sont équivalentes.
Pièges
- le lien entre une boule fermée et l'adhérence de la boule ouverte correspondante est en général une simple inclusion:
(c'est une chausse-trappe classique de topologie, discutée dans adhérence (mathématiques) et boule (mathématiques)).