Espace séparable - Définition

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En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dénombrable et dense, c'est-à-dire si l'on peut trouver une suite dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Tout espace métrisable séparable est un espace à base dénombrable et a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. Être à base dénombrable est une propriété beaucoup plus forte, et bien plus intéressante, qu'être séparable.

L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.

Un sous-espace d'un espace séparable n'est pas en général séparable. Par contre, un sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. A fortiori, par ce qui précède, un sous-espace d'un espace métrisable séparable est encore métrisable séparable. Mais il est possible de donner une démonstration directe de cette seconde assertion sans utiliser l'équivalence entre métrisable séparable et à base dénombrable.

Si X est un espace séparable, A en étant un sous-espace, choisissons xn une suite dense dans X, et supposons que la topologie de X soit définie par une distance d. Pour tous entiers n et m, fixons, s'il en existe, un point an,m de A avec d(an,m,xn)<1/m. Soit a un point de A. Pour ε > 0, par définition de la suite x, il existe un entier n suffisamment grand, avec d(xn,a)<ε. Si m>1/ε, le point an,m est de fait défini. Et on a alors :

d(a_{n,m},a)<\epsilon+1/m<\epsilon~.

La suite dénombrable an,m est de fait dense dans A.

Exemples

L'ensemble \R des nombres réels

L'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, est séparable car \mathbb{Q} y est dense et de cardinal dénombrable.

Espace métrique précompact

Tout espace métrique précompact est séparable.

Il existe de très gros espaces compacts non métrisables mais néanmoins séparables ; c'est le cas du compactifié de Stone-Cech de N qui a même puissance que l'ensemble des parties de R.

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