Vecteur - Définition

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Deux vecteurs u, v et le vecteur somme
Deux vecteurs u, v et le vecteur somme

En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des opérations simples.

À l’origine, un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...). À deux points, Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) faisait seulement correspondre leur distance. Or un couple de points porte une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) d'information bien plus grande. Ils définissent aussi une direction et un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...). Le vecteur synthétise l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de ces informations.

La notion de vecteur peut être définie en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 2 (vecteur du plan), 3 (vecteur de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) usuel). Elle se généralise à des espaces de dimension n, ou à des espaces de dimension infinie. C'est sur cette notion, devenue abstraite et introduite par un système d'axiomes, que se fonde la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...).

Le vecteur est, en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), ce qui permet de modéliser des grandeurs qui ne peuvent être complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) définies par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) seul ou une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons...) seule. Par exemple, pour préciser une vitesse (On distingue :), une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...), un champ électrique (En physique, on désigne par champ électrique un champ créé par des particules...), il faut aussi connaître la direction et le sens. Les vecteurs s’opposent aux grandeurs scalaires qu’on peut décrire par un simple nombre, comme la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...), la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...), la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...), etc.

Approche élémentaire

Exemples de vecteurs règle du parallélogramme : u + v opposé d'un vecteur : -u dilatation d'un vecteur : 2u Le vecteur  n'a pas la même direction
Exemples de vecteurs
règle du parallélogramme : u + v
opposé d'un vecteur : -u
dilatation d'un vecteur : 2u
Le vecteur \vec{AB} n'a pas la même direction

En première approche, on peut considérer un vecteur du plan comme un segment orienté, comme représenté à droite. On peut lui donner un nom \vec{u} ou l'appeler par les points qui le délimitent, en commençant par l'origine : \vec{AB}. On lui attribue trois caractéristiques :

  • une direction : orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) de la droite
  • une longueur : longueur du segment
  • un sens : un des deux sens opposés

On peut additionner les vecteurs selon la règle du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...) indiquée à droite, en parcourant le premier vecteur, puis le deuxième (éventuellement translaté pour que son origine corresponde à l'arrivée du premier) ; de même que multiplier le vecteur par un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...), le multiplier par un nombre positif change uniquement sa longueur, alors que le multiplier par un nombre négatif (Un nombre négatif est un nombre réel qui est inférieur (inférieur ou égal)...) change sa longueur et son sens. Il existe un vecteur particulier, le vecteur nul, dont la longueur est nulle.

On utilise souvent la notion de vecteurs colinéaires, c'est-à-dire que les deux (ou plus) vecteurs \vec{u} et \vec{v} ont des directions parallèles, ce qui se traduit par la relation \vec{u} = k \vec{v}. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Voici un exemple d'utilisation de vecteurs colinéaires :

Dans la figure ci-dessous, on a \vec{AP} = 1/2 \vec{AC}, \vec{AQ} = 1/3 \vec{AB} et R symétrique de B par rapport à C.
Il s'agit de montrer que les points P, Q et R sont alignés.

Image:Exercise on vectors.png Il suffit de montrer que les vecteurs \vec{PQ} et \vec{PR} sont colinéaires, et comme ils ont un point commun P, les trois points seront alignés.

On a \vec{PQ} = 1/2 \vec{AC} - 1/3 \vec{AB}
et \vec{PR} = \vec{PC} + \vec{CR} = 1/2 \vec{AC} + \vec{CR} = 1/2 \vec{AC} + \vec{AC} - \vec{AB} = 3/2 \vec{AC} - \vec{AB}
D'où \vec{PR} = 3 \vec{PQ} et les vecteurs sont colinéaires. On a aussi QP = 1/4 QR (en longueur).

Le vecteur en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) euclidienne

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace basée sur les axiomes d'Euclide, ou, pour une fondation parfaitement rigoureuse, sur les axiomes de Hilbert (Euclide a rassemblé dans un livre fondateur (Les Éléments) toutes les connaissances...). Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) des vecteurs

Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur.
Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur.

On peut se représenter un vecteur comme un segment orienté (une " flèche ") dont l’emplacement dans le plan n’a pas d’importance, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. On peut donc le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.

Pour être plus précis, on définit au préalable les bipoints comme des couples de points du plan ou de l'espace. L’ordre des points a donc une importance : le premier est appelé origine du bipoint. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents lorsque ABDC est un parallélogramme. La relation d'équipollence constitue une relation d'équivalence sur les bipoints.

À un bipoint (A,B) est associé sa classe d'équivalence, c'est-à-dire l'ensemble de tous les bipoints qui lui sont équipollents. Cet ensemble est appelé le vecteur \overrightarrow{AB}, et le bipoint (A,B) en est un représentant. Réciproquement, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Il existe en fait un unique représentant d'origine donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...).

Ainsi deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Tous les bipoints constitués de la répétition d'un même point : (A,A), sont équipollents entre eux. Le vecteur nul est le vecteur dont tous les représentants sont de type (A,A). Il est noté

\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.

Les vecteurs sont souvent notés par une lettre surmontée d'une flèche, par exemple \vec{u} ; dans certains ouvrages, on note les vecteurs en caractère gras, par exemple u.

Calculs de longueurs et d'angles

La longueur d'un bipoint (A,B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d'un vecteur u ont donc la même longueur, qui est appelée norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) du vecteur u et notée en général ||\vec{u}|| (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle, ||\vec{0}|| = 0.

L’angle que forment deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} est noté (\widehat{\vec{u},\vec{v}}). Il est défini comme l'angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si (A,B) est un représentant de \vec{u} et (A,C) un représentant de \vec{v}, alors

(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \widehat{BAC}

Dans le plan orienté, il est possible de définir la notion d'angle orienté de deux vecteurs. Ce n'est pas le cas dans l'espace.

Opérations sur les vecteurs

On définit en particulier des constructions géométriques particulières, c’est-à-dire la construction d’un vecteur à partir de deux vecteurs, ou bien d’un vecteur et d’un scalaire ; ces constructions ayant des propriétés similaires aux opérations sur les nombres (commutativité, distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z...), présence d’un élément neutre ou absorbant), elle sont de fait appelées et notées de la même manière. On parle ainsi de somme de vecteurs, du produit d’un vecteur par un nombre, de produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) ou vectoriel de deux vecteurs...

Par ailleurs, on peut étendre les transformations géométriques classiques : rotation, projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...), homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à...)... aux vecteurs. En effet elles transforment deux bipoints équipollents en deux bipoints équipollents, ce qui permet de définir une transformation vectorielle associée de façon naturelle. De façon générale, toutes les transformations géométriques qui sont compatibles avec la notion de vecteur portent le nom de transformations affines.

Coordonnées et vecteurs colonnes

On définit en général une base dans le plan ou dans l’espace, qui permet de définir le vecteur par ses composantes (l’équivalent des coordonnées pour les points dans un plan ou un espace muni d’un repère). On utilise en général deux notations différentes :

\vec{u} = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix} \ {\rm ou\ bien} \ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

Les composantes représentent la mesure algébrique des projections du vecteur sur les trois axes de la base. Le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) des composantes d’un vecteur dans une base est appelé vecteur-colonne. Il caractérise complètement le vecteur géométrique. Tous les calculs vectoriels peuvent s'effectuer en composantes.

La considération des vecteurs colonnes permet d'identifier le plan euclidien à l'ensemble {\mathbb R}^2 des couples de réels, l'espace euclidien à l'ensemble {\mathbb R}^3 des triplets de réels, munis des lois du calcul vectoriel. La parenté des formules obtenues en dimension deux ou trois pousse à considérer des espaces de dimension plus grande, où les vecteurs sont représentés par des vecteurs colonnes de taille n.

Le vecteur en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) linéaire

Définition générale

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) du calcul vectoriel aux matrices colonnes de taille n est en fait insuffisante. La définition générale des vecteurs en mathématiques se fait par l'introduction du concept d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...). Un vecteur est simplement un " élément d’un espace vectoriel ".

La définition de cette structure mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) se fait par un système d'axiomes. Elle demande de préciser au préalable le corps (commutatif) de référence, dont les éléments seront appelés scalaires. Les exemples les plus simples utilisent le corps des réels ou celui des complexes.

L'espace vectoriel est alors un ensemble, muni de deux lois seulement : l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) des vecteurs et le produit d'un vecteur par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...). On demande que ces dernières vérifient les mêmes propriétés algébriques que celles qu'on a pour les vecteurs de la géométrie euclidienne.

De très nombreux exemples d'ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C’est le cas par exemple des espaces de polynômes, de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, de matrices... Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire.

La notion de dimension fournit le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finie n, il est possible, moyennant le choix d'une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taille n. Il existe également des espaces vectoriels de dimension infinie.

Réintroduction des concepts de la géométrie euclidienne

La structure d'espace vectoriel donne un sens à certaines opérations sur les vecteurs mais ne définit ni la notion d'angle, ni celle de norme (ou longueur). De fait, plusieurs définitions concurrentes des mesures de norme et d'angle sont possibles sur un même espace vectoriel. Le choix d'un produit scalaire sur l'espace vectoriel (sur le corps des réels ou des complexes) lui confère une structure supplémentaire et permet de définir la norme d'un vecteur ou l'angle de deux vecteurs non nuls.

Il est possible de généraliser la notion de points et l'association entre bipoints et vecteurs grâce à la structure d'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la...). L'ordre d'introduction est alors inversé par rapport à la géométrie euclidienne " traditionnelle " : il convient de se donner au préalable un espace vectoriel V sur un corps K. Les points sont définis formellement : ce sont les éléments d'un ensemble E, tels qu'à tout couple de points on peut associer un vecteur V, avec certaines conditions de compatibilité.

La géométrie euclidienne apparaît alors comme l'étude d'un espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) associé à un espace vectoriel de dimension 2 ou 3 sur le corps des réels, muni d'un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.

Emploi des vecteurs en mathématiques

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui étudie systématiquement les espaces vectoriels, leurs éléments les vecteurs, les transformations correspondantes appelées applications linéaires. Elle permet notamment la résolution d'une classe d'équations appelées équations linéaires et peut se traiter en dimension finie à partir du calcul matriciel.

L'algèbre linéaire sert également de modèle pour envisager des problèmes et équations plus complexes. Ainsi l'étude locale d'une application, ou d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...), peut se faire par un processus de réduction au modèle linéaire, appelé linéarisation. L'exemple le plus remarquable est sans doute l'utilisation des vecteurs dans le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de...), où la notion de vecteur apparait comme prérequis pour introduire des variations au premier ordre des paramètres, au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) d'une valeur donné.

Usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) en physique

Les grandeurs vectorielles s'opposent aux grandeurs scalaires. Elles sont caractérisées par trois ou quatre propriétés :

  • leur norme (ou longueur), qui est un scalaire ;
  • leur direction ;
  • leur sens ;
  • et, éventuellement, leur origine, ou point d'application.

Quand une origine est mentionnée, l'objet mathématique correspondant est en fait un bipoint et non pas, à proprement parler un vecteur. On parle d'ailleurs parfois de vecteur lié dans ce cas.

Vecteur, pseudo-vecteur et tenseur (Tenseur)

En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique, l'espace est modélisé comme un espace vectoriel euclidien de dimension 3. Le mot vecteur est donc réservé, par défaut, aux éléments de cet espace. D'autres espaces vectoriels remarquables peuvent être construits à partir de celui-ci en utilisant l'opération de produit tensoriel : ce sont les espaces de tenseurs.

Le vecteur de l'espace physique est un cas particulier de tenseur : c’est un tenseur d’ordre 1.

Pour des raisons historiques qui datent du XIXe siècle (les quaternions de Hamilton, en 1843), l’habitude s’est prise chez les physiciens d’appeler aussi " vecteurs " des êtres de rotation, tenseurs antisymétriques d’ordre 2. Tels sont notamment les champs magnétiques H et B, le moment magnétique (En physique, le moment magnétique est une grandeur vectorielle qui permet de mesurer...), le moment d’un couple de forces, la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée...), la vitesse aréolaire, le moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un...) (appelé généralement en français " moment cinétique "). Or ces grandeurs tensorielles du second ordre ont un comportement opposé à celui des vrais vecteurs dans toutes les symétries, et leur comportement dimensionnel dans les changements de base est lui aussi incompatible. Voir l’article de Pierre Curie (Pierre Curie (15 mai 1859 à Paris - 19 avril 1906 à Paris) est un physicien autodidacte...) (1894) à ce sujet, Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d’un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) électrique et d’un champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux...), résumée dans Journal de Physique, 3e série, t.III, 1894, p.393. Réimpression dans Œuvres de Pierre Curie, pp. 118-141, Éditions des Archives Contemporaines, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région...) 1984.

La mécanique a mis longtemps à faire la part entre les propriétés des forces, et celles des solides indéformables auxquelles ces forces étaient tacitement appliquées. De là découlent de nombreuses définitions successives et incompatibles - certains vieux manuels changeaient de définition et d’acception toutes les trois pages - : " vecteurs glissants ", " vecteurs liés ", torseurs, etc. Ces trois dernières acceptions sont liées aux solides indéformables, et désignent des descripteurs mécaniques qui sont autre chose que des vecteurs : ils contiennent aussi une droite d’application ou un point d’application, ou une droite d’application plus un couple non coplanaire (Étymologiquement, plusieurs objets sont coplanaires si et seulement s'ils sont situés dans un...) à la droite.

Usage en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...)

Les codages d'éléments graphiques sont soit définits "points par points" (bitmap) , soit vectoriellement (codage mathématique des éléments graphiques dans un espace).

Tout espace vectoriel de dimension finie a une base. Le nombre n de vecteurs constituant la base est appelé dimension de l’espace. Dans cette base, les vecteurs peuvent être représentés chacun par un n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n...) de nombres souvent appelé vecteur-colonne (voir plus haut). De là, l’habitude a été prise en informatique d’appeler vecteur tout tableau de nombres à une dimension, puis tout tableau à une dimension. Le concept mathématique correspondant serait donc plutôt celui de n-uplet.

Étymologie

Le mot vient de l’indo-européen *VAG, ou *VAGH, qui désignait le chariot (Un chariot est un plateau équipé de quatre roues, et sert au transport de charges. Par...), et qui a laissé quelques centaines de descendants dans les langues indo-européennes. En latin, vector désigne le conducteur d’un chariot. Le réemploi de ce mot en mathématiques date de 1837, à l’initiative de William Hamilton.

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