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Vecteur
Deux vecteurs u, v et le vecteur somme
Deux vecteurs u, v et le vecteur somme

En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des opérations simples.

À l’origine, un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de...). À deux points, Euclide faisait seulement correspondre leur distance. Or un couple de points porte une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un...) d'information bien plus grande. Ils définissent aussi une direction et un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi...). Le vecteur synthétise l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de ces informations.

La notion de vecteur peut être définie en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) 2 (vecteur du plan), 3 (vecteur de l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En...) usuel). Elle se généralise à des espaces de dimension n, ou à des espaces de dimension infinie. C'est sur cette notion, devenue abstraite et introduite par un système d'axiomes, que se fonde la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des...).

Le vecteur est, en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...), ce qui permet de modéliser des grandeurs qui ne peuvent être complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité d'informations...) définies par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) seul ou une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si ces quantités sont représentées par des...) seule. Par exemple, pour préciser une vitesse (On distingue :), une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...), un champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des particules chargées...), il faut aussi connaître la direction et le sens. Les vecteurs s’opposent aux grandeurs scalaires qu’on peut décrire par un simple nombre, comme la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse...), la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de...), la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...), etc.

Approche élémentaire

Exemples de vecteurs règle du parallélogramme : u + v opposé d'un vecteur : -u dilatation d'un vecteur : 2u Le vecteur  n'a pas la même direction
Exemples de vecteurs
règle du parallélogramme : u + v
opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un...) d'un vecteur : -u
dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante...) d'un vecteur : 2u
Le vecteur \vec{AB} n'a pas la même direction

En première approche, on peut considérer un vecteur du plan comme un segment orienté, comme représenté à droite. On peut lui donner un nom \vec{u} ou l'appeler par les points qui le délimitent, en commençant par l'origine : \vec{AB}. On lui attribue trois caractéristiques :

  • une direction : orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la...) de la droite
  • une longueur : longueur du segment
  • un sens : un des deux sens opposés

On peut additionner les vecteurs selon la règle du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) indiquée à droite, en parcourant le premier vecteur, puis le deuxième (éventuellement translaté pour que son origine corresponde à l'arrivée du premier) ; de même que multiplier le vecteur par un nombre réel, le multiplier par un nombre positif change uniquement sa longueur, alors que le multiplier par un nombre négatif change sa longueur et son sens. Il existe un vecteur particulier, le vecteur nul, dont la longueur est nulle.

On utilise souvent la notion de vecteurs colinéaires, c'est-à-dire que les deux (ou plus) vecteurs \vec{u} et \vec{v} ont des directions parallèles, ce qui se traduit par la relation \vec{u} = k \vec{v}. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Voici un exemple d'utilisation de vecteurs colinéaires :

Dans la figure ci-dessous, on a \vec{AP} = 1/2 \vec{AC}, \vec{AQ} = 1/3 \vec{AB} et R symétrique de B par rapport à C.
Il s'agit de montrer que les points P, Q et R sont alignés.

Image:Exercise on vectors.png Il suffit de montrer que les vecteurs \vec{PQ} et \vec{PR} sont colinéaires, et comme ils ont un point (Graphie) commun P, les trois points seront alignés.

On a \vec{PQ} = 1/2 \vec{AC} - 1/3 \vec{AB}
et \vec{PR} = \vec{PC} + \vec{CR} = 1/2 \vec{AC} + \vec{CR} = 1/2 \vec{AC} + \vec{AC} - \vec{AB} = 3/2 \vec{AC} - \vec{AB}
D'où \vec{PR} = 3 \vec{PQ} et les vecteurs sont colinéaires. On a aussi QP = 1/4 QR (en longueur).

Le vecteur en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) euclidienne

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace basée sur les axiomes d'Euclide, ou, pour une fondation parfaitement rigoureuse, sur les axiomes de Hilbert. Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) des vecteurs

Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur.
Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur.

On peut se représenter un vecteur comme un segment orienté (une " flèche ") dont l’emplacement dans le plan n’a pas d’importance, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. On peut donc le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.

Pour être plus précis, on définit au préalable les bipoints comme des couples de points du plan ou de l'espace. L’ordre des points a donc une importance : le premier est appelé origine du bipoint. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents lorsque ABDC est un parallélogramme. La relation d'équipollence constitue une relation d'équivalence sur les bipoints.

À un bipoint (A,B) est associé sa classe d'équivalence, c'est-à-dire l'ensemble de tous les bipoints qui lui sont équipollents. Cet ensemble est appelé le vecteur , et le bipoint (A,B) en est un représentant. Réciproquement, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Il existe en fait un unique représentant d'origine donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...).

Ainsi deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Tous les bipoints constitués de la répétition d'un même point : (A,A), sont équipollents entre eux. Le vecteur nul est le vecteur dont tous les représentants sont de type (A,A). Il est noté

\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.

Les vecteurs sont souvent notés par une lettre surmontée d'une flèche, par exemple \vec{u} ; dans certains ouvrages, on note les vecteurs en caractère gras, par exemple u.

Calculs de longueurs et d'angles

La longueur d'un bipoint (A,B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d'un vecteur u ont donc la même longueur, qui est appelée norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...) du vecteur u et notée en général ||\vec{u}|| (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle, ||\vec{0}|| = 0.

L’angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) que forment deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} est noté (\widehat{\vec{u},\vec{v}}). Il est défini comme l'angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si (A,B) est un représentant de \vec{u} et (A,C) un représentant de \vec{v}, alors

(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \widehat{BAC}

Dans le plan orienté, il est possible de définir la notion d'angle orienté de deux vecteurs. Ce n'est pas le cas dans l'espace.

Opérations sur les vecteurs

On définit en particulier des constructions géométriques particulières, c’est-à-dire la construction d’un vecteur à partir de deux vecteurs, ou bien d’un vecteur et d’un scalaire ; ces constructions ayant des propriétés similaires aux opérations sur les nombres (commutativité, distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite), présence d’un élément neutre ou absorbant), elle sont de fait appelées et notées de la même manière. On parle ainsi de somme de vecteurs, du produit d’un vecteur par un nombre, de produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur...) ou vectoriel de deux vecteurs...

Par ailleurs, on peut étendre les transformations géométriques classiques : rotation, projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.), homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que...)... aux vecteurs. En effet elles transforment deux bipoints équipollents en deux bipoints équipollents, ce qui permet de définir une transformation vectorielle associée de façon naturelle. De façon générale, toutes les transformations géométriques qui sont compatibles avec la notion de vecteur portent le nom de transformations affines.

Coordonnées et vecteurs colonnes

On définit en général une base dans le plan ou dans l’espace, qui permet de définir le vecteur par ses composantes (l’équivalent des coordonnées pour les points dans un plan ou un espace muni d’un repère). On utilise en général deux notations différentes :

\vec{u} = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix} \ {\rm ou\ bien} \ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

Les composantes représentent la mesure algébrique des projections du vecteur sur les trois axes de la base. Le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) des composantes d’un vecteur dans une base est appelé vecteur-colonne. Il caractérise complètement le vecteur géométrique. Tous les calculs vectoriels peuvent s'effectuer en composantes.

La considération des vecteurs colonnes permet d'identifier le plan euclidien à l'ensemble {\mathbb R}^2 des couples de réels, l'espace euclidien à l'ensemble {\mathbb R}^3 des triplets de réels, munis des lois du calcul vectoriel. La parenté des formules obtenues en dimension deux ou trois pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) à considérer des espaces de dimension plus grande, où les vecteurs sont représentés par des vecteurs colonnes de taille n.

Le vecteur en algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de...) linéaire

Définition générale

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de...) du calcul vectoriel aux matrices colonnes de taille n est en fait insuffisante. La définition générale des vecteurs en mathématiques se fait par l'introduction du concept d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...). Un vecteur est simplement un " élément d’un espace vectoriel ".

La définition de cette structure mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) se fait par un système d'axiomes. Elle demande de préciser au préalable le corps (commutatif) de référence, dont les éléments seront appelés scalaires. Les exemples les plus simples utilisent le corps des réels ou celui des complexes.

L'espace vectoriel est alors un ensemble, muni de deux lois seulement : l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs,...) des vecteurs et le produit d'un vecteur par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.). On demande que ces dernières vérifient les mêmes propriétés algébriques que celles qu'on a pour les vecteurs de la géométrie euclidienne.

De très nombreux exemples d'ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C’est le cas par exemple des espaces de polynômes, de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, de matrices... Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire.

La notion de dimension fournit le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finie n, il est possible, moyennant le choix d'une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taille n. Il existe également des espaces vectoriels de dimension infinie.

Réintroduction des concepts de la géométrie euclidienne

La structure d'espace vectoriel donne un sens à certaines opérations sur les vecteurs mais ne définit ni la notion d'angle, ni celle de norme (ou longueur). De fait, plusieurs définitions concurrentes des mesures de norme et d'angle sont possibles sur un même espace vectoriel. Le choix d'un produit scalaire sur l'espace vectoriel (sur le corps des réels ou des complexes) lui confère une structure supplémentaire et permet de définir la norme d'un vecteur ou l'angle de deux vecteurs non nuls.

Il est possible de généraliser la notion de points et l'association entre bipoints et vecteurs grâce à la structure d'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient...). L'ordre d'introduction est alors inversé par rapport à la géométrie euclidienne " traditionnelle " : il convient de se donner au préalable un espace vectoriel V sur un corps K. Les points sont définis formellement : ce sont les éléments d'un ensemble E, tels qu'à tout couple de points on peut associer un vecteur V, avec certaines conditions de compatibilité.

La géométrie euclidienne apparaît alors comme l'étude d'un espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) associé à un espace vectoriel de dimension 2 ou 3 sur le corps des réels, muni d'un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.

Emploi des vecteurs en mathématiques

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui étudie systématiquement les espaces vectoriels, leurs éléments les vecteurs, les transformations correspondantes appelées applications linéaires. Elle permet notamment la résolution d'une classe d'équations appelées équations linéaires et peut se traiter en dimension finie à partir du calcul matriciel.

L'algèbre linéaire sert également de modèle pour envisager des problèmes et équations plus complexes. Ainsi l'étude locale d'une application, ou d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...), peut se faire par un processus de réduction au modèle linéaire, appelé linéarisation. L'exemple le plus remarquable est sans doute l'utilisation des vecteurs dans le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.), où la notion de vecteur apparait comme prérequis pour introduire des variations au premier ordre des paramètres, au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En...) d'une valeur donné.

Usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) en physique

Les grandeurs vectorielles s'opposent aux grandeurs scalaires. Elles sont caractérisées par trois ou quatre propriétés :

  • leur norme (ou longueur), qui est un scalaire ;
  • leur direction ;
  • leur sens ;
  • et, éventuellement, leur origine, ou point d'application.

Quand une origine est mentionnée, l'objet mathématique correspondant est en fait un bipoint et non pas, à proprement parler un vecteur. On parle d'ailleurs parfois de vecteur lié dans ce cas.

Vecteur, pseudo-vecteur et tenseur

En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres...) classique, l'espace est modélisé comme un espace vectoriel euclidien de dimension 3. Le mot vecteur est donc réservé, par défaut, aux éléments de cet espace. D'autres espaces vectoriels remarquables peuvent être construits à partir de celui-ci en utilisant l'opération de produit tensoriel : ce sont les espaces de tenseurs.

Le vecteur de l'espace physique est un cas particulier de tenseur : c’est un tenseur d’ordre 1.

Pour des raisons historiques qui datent du XIXe siècle (les quaternions de Hamilton, en 1843), l’habitude s’est prise chez les physiciens d’appeler aussi " vecteurs " des êtres de rotation, tenseurs antisymétriques d’ordre 2. Tels sont notamment les champs magnétiques H et B, le moment magnétique (En magnétostatique, soit une distribution de courants permanents à support compact de volume V.), le moment d’un couple de forces, la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.), la vitesse aréolaire, le moment angulaire (En physique, le moment angulaire ou moment cinétique est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Comme le moment angulaire dépend du choix de l'origine (ainsi...) (appelé généralement en français " moment cinétique "). Or ces grandeurs tensorielles du second ordre ont un comportement opposé à celui des vrais vecteurs dans toutes les symétries, et leur comportement dimensionnel dans les changements de base est lui aussi incompatible. Voir l’article de Pierre Curie (Pierre Curie (15 mai 1859 à Paris - 19 avril 1906 à Paris) est un physicien autodidacte français. Il est principalement connu pour ses travaux en radioactivité et en piézoélectricité. Lui et son épouse, Marie Curie, pionniers...) (1894) à ce sujet, Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d’un champ électrique et d’un champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en tout point...), résumée dans Journal de Physique, 3e série, t.III, 1894, p.393. Réimpression dans Œuvres de Pierre Curie, pp. 118-141, Éditions des Archives Contemporaines, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au...) 1984.

La mécanique a mis longtemps à faire la part entre les propriétés des forces, et celles des solides indéformables auxquelles ces forces étaient tacitement appliquées. De là découlent de nombreuses définitions successives et incompatibles - certains vieux manuels changeaient de définition et d’acception toutes les trois pages - : " vecteurs glissants ", " vecteurs liés ", torseurs, etc. Ces trois dernières acceptions sont liées aux solides indéformables, et désignent des descripteurs mécaniques qui sont autre chose que des vecteurs : ils contiennent aussi une droite d’application ou un point d’application, ou une droite d’application plus un couple non coplanaire (Étymologiquement, plusieurs objets sont coplanaires si et seulement s'ils sont situés dans un même plan. En géométrie, on distinguera les points coplanaires et les vecteurs coplanaires.) à la droite.

Usage en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines telles...)

Les codages d'éléments graphiques sont soit définits "points par points" (bitmap) , soit vectoriellement (codage mathématique des éléments graphiques dans un espace).

Tout espace vectoriel de dimension finie a une base. Le nombre n de vecteurs constituant la base est appelé dimension de l’espace. Dans cette base, les vecteurs peuvent être représentés chacun par un n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second élément, ..., le nème. Les éléments...) de nombres souvent appelé vecteur-colonne (voir plus haut). De là, l’habitude a été prise en informatique d’appeler vecteur tout tableau de nombres à une dimension, puis tout tableau à une dimension. Le concept mathématique correspondant serait donc plutôt celui de n-uplet.

Étymologie

Le mot vient de l’indo-européen *VAG, ou *VAGH, qui désignait le chariot (Un chariot est un plateau équipé de roues (en général quatre) destiné au transport de charges. Un chariot est souvent muni de ridelles servant à maintenir la charge.), et qui a laissé quelques centaines de descendants dans les langues indo-européennes. En latin, vector désigne le conducteur d’un chariot. Le réemploi de ce mot en mathématiques date de 1837, à l’initiative de William Hamilton.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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