Ouvert (topologie) - Définition

En topologie, un ouvert est un ensemble qui fait partie d'une topologie donnée.

Définition

Soit (E,T) un espace topologique, où E est un ensemble et T un ensemble de sous-ensembles de E. Par définition, un ensemble X est un ouvert sur (E,T) si X est un élément de T.

Cette définition est la plus générale possible et pose les ouverts comme les éléments fondamentaux d'une topologie.

Propriétés

Par définition même d'un espace topologique (E,T), les ouverts satisfont les propriétés suivantes :

• E et l'ensemble vide sont des ouverts.
• Toute union d'ouverts (finie ou infinie) est un ouvert.
• Toute intersection de deux ouverts est un ouvert. Par extension, l'intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert (ce n'est pas forcément le cas avec un nombre infini d'ouverts).

Tout sous-ensemble S d'un espace topologique E contient au moins un ouvert (éventuellement vide) ; le plus grand de ces ouverts est appelé l'intérieur de S et peut être construit en considérant l'union de tous les ouverts inclus dans S.

Soit deux espaces topologiques E et F. Une fonction f de E vers F est continue si l'image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E.

Cas particuliers

Espaces métriques

Définitions

Soit (E,d) un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre x et de rayon r est l'ensemble des points de E dont la distance à x est strictement inférieure à r :

.

Un sous-ensemble S de cet espace est ouvert si, pour tout point x de S, il existe une boule centrée sur x et incluse dans S :

est un ouvert de E si 0 / B(x,r) \subset S" />.

De façon équivalente, S est ouvert si et seulement si tout point de x possède un voisinage inclus dans S.

Schématiquement, cela signifie que S est un ouvert de E si pour chacun de ses points x, il contient également les points suffisamment proches de x.

Cette définition généralise le cas des espaces euclidiens, un espace euclidien muni d'une distance euclidienne étant un espace métrique.

Exemples

• et E sont des ouverts.
• Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de " boule ouverte " est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
• Soit I un intervalle de l'ensemble des nombres réels. On a alors : I est une partie ouverte de R si et seulement si I est un " intervalle ouvert ", au sens de la définition habituelle de cette notion. Le nom " d'intervalle ouvert " est donc cohérent avec la définition d'ouvert.