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B-spline

En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines non-négatives à support compact minimal. Les splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Étant donné m+1 nœuds ti dans [0,1] avec

t_0 < t_1 < \ldots < t_m

une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales...) spline (Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, une spline est une fonction définie par morceaux par des polynômes.) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n est une courbe paramétrique

\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{R}^2

composée de fonctions B-splines de degré n

\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1].

Les Pi sont appelés points de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.).

Les m+1 fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence

b_{j,0}(t) := \left\{\begin{matrix}  1 & \mathrm{si} \quad t_j \leqslant t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{sinon}  \end{matrix} \right.
b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).

Quand les nœuds sont équidistants, les B-splines sont dites uniformes.

Propriétés

La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.

La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe (En mathématiques, l'enveloppe convexe d'un objet ou d'un ensemble d'objets est l'ensemble convexe de taille minimale qui contient ces objets. L'enveloppe...) des points de contrôle.

Une B-spline (En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines non-négatives à support compact minimal. Les splines sont la généralisation des courbes de Bézier,...) de degré n

bi,n(t)

est non nulle dans l'intervalle [ti, ti+n+1] :

b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix}  >0 & \mathrm{si} \quad t_{i} \leqslant t < t_{i+n+1} \\ 0 & \mathrm{sinon}  \end{matrix} \right.

En d'autres termes, déplacer un point (Graphie) de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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