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Géométrie
Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.
Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.

Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) classique) dans l’espace. Cette acceptation, valable durant l'Antiquité et le Moyen Âge, ne l'est plus aujourd’hui. Du fait de la diversification des domaines mathématiques, il est devenu difficile de donner une définition exacte de la géométrie. Aujourd'hui, la géométrie se divise en de nombreuses branches :

  • Géométrie euclidienne : extension de la géométrie classique issue de l'étude grecque ;
  • Géométrie différentielle : extension de l'étude des surfaces faisant fortement appel à l'analyse ;
  • Géométrie algébrique : extension de l'étude des quadriques faisant fortement appel à l'algèbre ;
  • Géométrie non commutative : extension de l'étude des algèbres d'opérateurs faisant fortement appel à l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...);
  • Géométrie descriptive : ...théorisée par Gaspard Monge. En particulier on étudie des projections orthogonales sur le plan (axonométries droites).

Selon Eric Temple Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935. Après avoir construit des avions de...), la géométrie est « une maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille, voire de plusieurs, sans être considérée comme un immeuble collectif.) riche de choses intéressantes et à moitié oubliées qu'une génération entière n'a pas le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'apprécier, plus riche que toute autre division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...) des mathématiques »[1].

Histoire de la géométrie

Origine probable

L'origine de la géométrie, comme l'origine de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce...), est sujette à discussion suivant son acception. Traditionnellement, les premiers travaux de géométrie remontent à la Grèce antique. En effet, les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à...) sont incontestablement la première formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés...) axiomatique de la géométrie.

Des questions de géométrie, motivées par la topographie et les besoins de l'agriculture, ont cependant précédé la civilisation grecque. Ainsi, les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation (L’irrigation est l'opération consistant à apporter artificiellement de l’eau à des végétaux...) témoignent-ils d'une connaissance du moins empirique des figures planes et des solides. La tablette pré-babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) d'un carré.

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore. La découverte de la tablette de Plimpton 322 tend à montrer que le théorème de Pythagore était vraisemblablement connu de la civilisation sumérienne 1000 ans avant Pythagore.

Héritage grec

Thalès de Milet et Pythagore sont connus pour être parmi les premiers à développer un raisonnement hypothético-déductif et s'interroger sur la valeur des raisonnements[réf. nécessaire]. On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de...) isocèle, l'étude des angles inscrits et le théorème de Thalès. On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème dit de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.

Platon introduit les cinq solides dits platoniciens : le tétraèdre, le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des...), l'octaèdre, l'isocaèdre et le dodécaèdre. Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Euxode. Euclide résume dans ses Eléments de manière précise et rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie. Mais ce traité ne comprend pas le calcul des aires et des volumes.

Les questions de constructions à la règle et au compas se posèrent ; en particulier, les problèmes de la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), de la quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...), et de la duplication du cube. Ce dernier incite Ménechme à introduire les coniques.

Apport des arabes

Outre la traduction des textes grecs à travers laquelle l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire comme une des...) reconstruit l'héritage grec, les mathématiciens de langue arabe ont fortement développé la trigonométrie. On leur attribue les fonctions trigonométriques introduites par Nasir Al-Din Al-Tusi, la formule d'Al Kashi, des approximations poussées de Pi, etc.

Les mathématiciens de langue arabe ont été les premiers à appliquer une approche algébrique pour paramétrer les courbes, et à résoudre des problèmes de géométrie en faisant appel à l'algèbre polynomiale. Ils sont ainsi considérés parfois comme les précurseurs de la géométrie algébrique.

Géométrie analytique

Géométrie non euclidienne

Jusqu'au XVIIIe siècle n'était étudiée qu'une géométrie, fondée sur les axiomes d'Euclide, et qui était considérée comme la géométrie véritable de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de...). La découverte de géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevsky, Bolyai modifia complètement cette appréhension de l'espace absolu.

Différents types de géométries prirent alors leur autonomie : géométrie hyperbolique, géométrie elliptique, chacune s'appuyant sur un modèle différent d'espace. Plus important encore que les modèles permettant la réalisation concrète d'une géométrie, est le jeu d'axiomes auquel on peut la ramener.

Programme d'Erlangen

La géométrie au XXe siècle

Grands débats concernant la géométrie

La vérité de la géométrie euclidienne

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type « jusqu'à quelle pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) mon réservoir va-t-il résister » ; on peut donc réduire le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique, c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux et répartition des forces dans un assemblage).

La géométrie peut être considérée comme une théorie physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces...) et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de...). Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides.

Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...), mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des expériences plus précises pourraient en montrer la fausseté.

La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde (Le mot monde peut désigner :) réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit.

La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel (Un monde virtuel est un monde créé artificiellement par un logiciel informatique et pouvant héberger une communauté d'utilisateurs présents sous forme d'avatars ayant la capacité de s'y déplacer et...), idéal, possible (voir Théorie des modèles et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).

Controverse des géométries analytique et synthétique

Au début du XIXe siècle, quelques géomètres comme Gergonne ont exprimé une inquiétude, celle de voir disparaître la géométrie « pure », appelée aussi géométrie synthétique au profit de la géométrie analytique. Le reproche était que la géométrie analytique permet certes de démontrer une propriété à l'aide d'opérations sur les nombres dans un système de coordonnées, mais sans comprendre fondamentalement pourquoi cette propriété est vraie géométriquement. Une excellente illustration de cette controverse réside dans le problème des 3 cercles : « étant donnés 3 cercles du plan, construire les 8 cercles qui leur sont tangents ». Les partisans de la géométrie dite synthétique, à l'aide d'une démonstration élégante reposant uniquement sur des concepts de similitude et polarité, y voyaient l'emblème de leur supériorité sur les analytiques. Dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un...) secondaire en France (et aussi dans d'autres pays), la géométrie synthétique a eu tendance à être supplantée par la géométrie analytique dans les années 1960-70, lors de la période dite des mathématiques modernes, avant d'effectuer un retour en tant que base de l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences,...) du raisonnement.

Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne...) ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance moyenne séparant la Terre de la Lune est de 384 400 km (soit un...), du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est...) et de leurs distances respectives à la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la...) fait appel au théorème de Thalès[réf. nécessaire]. Dans les premiers modèles du système solaire, à chaque planète était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et l’intégration d’une grande...) de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec...) a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de...) (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus spécifiquement à la création d'images à vocation perspectiviste...).

La trigonométrie euclidienne intervient en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) pour traiter par exemple de la diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène peut être...) de la lumière. Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime (La navigation maritime concerne toute les activités humaines de circulation sur les mers et océans. On parle de navigation hauturière lorsque...) aux étoiles (avec les sextants), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur un support...), navigation (La navigation est la science et l'ensemble des techniques qui permettent de :) aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIXe siècle trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de petites îles grecques...) le formalisme idéal pour formuler les lois de la relativité générale. La géométrie différentielle trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes ou des membranes.

La géométrie non commutative, inventée par Alain Connes (Alain Connes est un mathématicien français, né le 1er avril 1947 à Draguignan (Var).), tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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