Géométrie - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs est disponible ici.
Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.
Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.

Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) classique) dans l’espace. Cette acceptation, valable durant l'Antiquité et le Moyen Âge, ne l'est plus aujourd’hui. Du fait de la diversification des domaines mathématiques, il est devenu difficile de donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) exacte de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...). Aujourd'hui, la géométrie se divise en de nombreuses branches :

  • Géométrie euclidienne : extension de la géométrie classique issue de l'étude grecque ;
  • Géométrie différentielle : extension de l'étude des surfaces faisant fortement appel à l'analyse ;
  • Géométrie algébrique : extension de l'étude des quadriques faisant fortement appel à l'algèbre ;
  • Géométrie non commutative : extension de l'étude des algèbres d'opérateurs faisant fortement appel à l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....);
  • Géométrie descriptive : ...théorisée par Gaspard Monge (Gaspard Monge, comte de Péluse, né le 9 mai 1746 à Beaune et mort le...). En particulier on étudie des projections orthogonales sur le plan (axonométries droites).

Selon Eric Temple Bell (Eric Temple Bell (né le 7 février 1883 à Peterhead, Écosse - mort le 21...), la géométrie est " une maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille,...) riche de choses intéressantes et à moitié oubliées qu'une génération entière n'a pas le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) d'apprécier, plus riche que toute autre division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) des mathématiques "[1].

Histoire de la géométrie (L' histoire de la géométrie (géométrie: du grec...)

Origine probable

L'origine de la géométrie, comme l'origine de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...), est sujette à discussion suivant son acception. Traditionnellement, les premiers travaux de géométrie remontent à la Grèce antique. En effet, les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) sont incontestablement la première formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) axiomatique de la géométrie.

Des questions de géométrie, motivées par la topographie (La topographie est l'art de la mesure puis de la représentation sur un plan ou une carte des...) et les besoins de l'agriculture, ont cependant précédé la civilisation grecque. Ainsi, les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation (L’irrigation est l'opération consistant à apporter artificiellement de l’eau à des...) témoignent-ils d'une connaissance du moins empirique des figures planes et des solides. La tablette pré-babylonienne YBC 7289 (La tablette d'argile YBC 7289 (abréviation de Yale Babylonian Collection, no 7289) est...) datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...).

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...). La découverte de la tablette de Plimpton 322 (Parmi les quelques 500 000 tablettes d’argile babyloniennes mises au jour depuis le...) tend à montrer que le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας /...) était vraisemblablement connu de la civilisation sumérienne 1000 ans avant Pythagore.

Héritage grec

Thalès de Milet et Pythagore sont connus pour être parmi les premiers à développer un raisonnement hypothético-déductif et s'interroger sur la valeur des raisonnements[réf. nécessaire]. On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) isocèle, l'étude des angles inscrits et le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème...). On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème dit de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.

Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn),...) introduit les cinq solides dits platoniciens : le tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la...), le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....), l'octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces....), l'isocaèdre et le dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait...). Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Euxode. Euclide résume dans ses Eléments de manière précise et rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie. Mais ce traité ne comprend pas le calcul des aires et des volumes.

Les questions de constructions à la règle et au compas se posèrent ; en particulier, les problèmes de la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...), de la quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...), et de la duplication du cube. Ce dernier incite Ménechme à introduire les coniques.

Apport des arabes

Outre la traduction des textes grecs à travers laquelle l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...) reconstruit l'héritage grec, les mathématiciens de langue arabe ont fortement développé la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...). On leur attribue les fonctions trigonométriques introduites par Nasir Al-Din Al-Tusi, la formule d'Al Kashi, des approximations poussées de Pi, etc.

Les mathématiciens de langue arabe ont été les premiers à appliquer une approche algébrique pour paramétrer les courbes, et à résoudre des problèmes de géométrie en faisant appel à l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) polynomiale. Ils sont ainsi considérés parfois comme les précurseurs de la géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...).

Géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les...)

Géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au...)

Jusqu'au XVIIIe siècle n'était étudiée qu'une géométrie, fondée sur les axiomes d'Euclide, et qui était considérée comme la géométrie véritable de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...). La découverte de géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevsky, Bolyai modifia complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) cette appréhension de l'espace absolu.

Différents types de géométries prirent alors leur autonomie : géométrie hyperbolique (En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie...), géométrie elliptique, chacune s'appuyant sur un modèle différent d'espace. Plus important encore que les modèles permettant la réalisation concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une...) d'une géométrie, est le jeu d'axiomes auquel on peut la ramener.

Programme d'Erlangen

La géométrie au XXe siècle

Grands débats concernant la géométrie

La vérité de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...)

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type " jusqu'à quelle pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) mon réservoir va-t-il résister " ; on peut donc réduire le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...), c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux (La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière...) et répartition des forces dans un assemblage).

La géométrie peut être considérée comme une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes...) des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres...) et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation thermique (La dilatation thermique est l'expansion à pression constante du volume d'un corps...). Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...), les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides.

Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...), mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des expériences plus précises pourraient en montrer la fausseté.

La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde (Le mot monde peut désigner :) réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit.

La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel (Un monde virtuel est un monde créé artificiellement par un logiciel informatique et...), idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....), possible (voir Théorie des modèles (La théorie des modèles est une branche de la logique mathématique. Son principe de...) et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).

Controverse des géométries analytique et synthétique

Au début du XIXe siècle, quelques géomètres comme Gergonne ont exprimé une inquiétude, celle de voir disparaître la géométrie " pure ", appelée aussi géométrie synthétique au profit de la géométrie analytique. Le reproche était que la géométrie analytique permet certes de démontrer une propriété à l'aide d'opérations sur les nombres dans un système de coordonnées, mais sans comprendre fondamentalement pourquoi cette propriété est vraie géométriquement. Une excellente illustration de cette controverse réside dans le problème des 3 cercles : " étant donnés 3 cercles du plan, construire les 8 cercles qui leur sont tangents ". Les partisans de la géométrie dite synthétique, à l'aide d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) élégante reposant uniquement sur des concepts de similitude et polarité, y voyaient l'emblème de leur supériorité sur les analytiques. Dans l'enseignement secondaire (L'enseignement secondaire couvre les degrés scolaires qui se situent entre la fin de...) en France (et aussi dans d'autres pays), la géométrie synthétique a eu tendance à être supplantée par la géométrie analytique dans les années 1960-70, lors de la période dite des mathématiques modernes, avant d'effectuer un retour en tant que base de l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus...) du raisonnement.

Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...) ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du...), du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile...) et de leurs distances respectives à la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) fait appel au théorème de Thalès[réf. nécessaire]. Dans les premiers modèles du système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le...), à chaque planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de...) était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps...) elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la...) dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a...) de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...) (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus...).

La trigonométrie euclidienne intervient en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...) pour traiter par exemple de la diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est...) de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...). Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime (La navigation maritime concerne toute les activités humaines de circulation sur les mers et...) aux étoiles (avec les sextants), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le...), navigation aérienne (La navigation aérienne est l'ensemble des techniques permettant à un pilote...) (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIXe siècle trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι...) le formalisme idéal pour formuler les lois de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...). La géométrie différentielle (En mathématique, la géométrie différentielle est l'application des outils du...) trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions...) ou des membranes.

La géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie...), inventée par Alain Connes (Alain Connes est un mathématicien français, né le 1er avril 1947 à...), tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Page générée en 0.101 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise