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Géométrie
Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.
Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts.

Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) classique) dans l’espace. Cette acceptation, valable durant l'Antiquité et le Moyen Âge, ne l'est plus aujourd’hui. Du fait de la diversification des domaines mathématiques, il est devenu difficile de donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) exacte de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...). Aujourd'hui, la géométrie se divise en de nombreuses branches :

  • Géométrie euclidienne : extension de la géométrie classique issue de l'étude grecque ;
  • Géométrie différentielle : extension de l'étude des surfaces faisant fortement appel à l'analyse ;
  • Géométrie algébrique : extension de l'étude des quadriques faisant fortement appel à l'algèbre ;
  • Géométrie non commutative : extension de l'étude des algèbres d'opérateurs faisant fortement appel à l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a...);
  • Géométrie descriptive : ...théorisée par Gaspard Monge. En particulier on étudie des projections orthogonales sur le plan (axonométries droites).

Selon Eric Temple Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935. Après avoir construit des avions de combat durant la Seconde Guerre mondiale, mais aussi...), la géométrie est " une maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille, voire de plusieurs, sans être considérée...) riche de choses intéressantes et à moitié oubliées qu'une génération entière n'a pas le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'apprécier, plus riche que toute autre division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce...) des mathématiques "[1].

Histoire de la géométrie

Origine probable

L'origine de la géométrie, comme l'origine de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour...), est sujette à discussion suivant son acception. Traditionnellement, les premiers travaux de géométrie remontent à la Grèce antique. En effet, les Éléments d'Euclide sont incontestablement la première formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant...) axiomatique de la géométrie.

Des questions de géométrie, motivées par la topographie et les besoins de l'agriculture, ont cependant précédé la civilisation grecque. Ainsi, les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation (L’irrigation est l'opération consistant à apporter artificiellement de l’eau à des végétaux cultivés pour en augmenter la production, et permettre leur développement normal en cas de déficit d'eau induit...) témoignent-ils d'une connaissance du moins empirique des figures planes et des solides. La tablette pré-babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de la diagonale d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...).

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à...). La découverte de la tablette de Plimpton 322 tend à montrer que le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Pythagore était vraisemblablement connu de la civilisation sumérienne 1000 ans avant Pythagore.

Héritage grec

Thalès de Milet et Pythagore sont connus pour être parmi les premiers à développer un raisonnement hypothético-déductif et s'interroger sur la valeur des raisonnements[réf. nécessaire]. On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) isocèle, l'étude des angles inscrits et le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles...). On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème dit de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.

Platon introduit les cinq solides dits platoniciens : le tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.), le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de...), l'octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six...), l'isocaèdre et le dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.). Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Euxode. Euclide résume dans ses Eléments de manière précise et rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie. Mais ce traité ne comprend pas le calcul des aires et des volumes.

Les questions de constructions à la règle et au compas se posèrent ; en particulier, les problèmes de la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), de la quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....), et de la duplication du cube. Ce dernier incite Ménechme à introduire les coniques.

Apport des arabes

Outre la traduction des textes grecs à travers laquelle l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire comme...) reconstruit l'héritage grec, les mathématiciens de langue arabe ont fortement développé la trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron,...). On leur attribue les fonctions trigonométriques introduites par Nasir Al-Din Al-Tusi, la formule d'Al Kashi, des approximations poussées de Pi, etc.

Les mathématiciens de langue arabe ont été les premiers à appliquer une approche algébrique pour paramétrer les courbes, et à résoudre des problèmes de géométrie en faisant appel à l'algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).) polynomiale. Ils sont ainsi considérés parfois comme les précurseurs de la géométrie algébrique.

Géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.)

Géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.)

Jusqu'au XVIIIe siècle n'était étudiée qu'une géométrie, fondée sur les axiomes d'Euclide, et qui était considérée comme la géométrie véritable de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...). La découverte de géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevsky, Bolyai modifia complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à...) cette appréhension de l'espace absolu.

Différents types de géométries prirent alors leur autonomie : géométrie hyperbolique, géométrie elliptique, chacune s'appuyant sur un modèle différent d'espace. Plus important encore que les modèles permettant la réalisation concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche d’origine végétale (fleurs,...) d'une géométrie, est le jeu d'axiomes auquel on peut la ramener.

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La géométrie au XXe siècle

Grands débats concernant la géométrie

La vérité de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de...)

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type " jusqu'à quelle pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) mon réservoir va-t-il résister " ; on peut donc réduire le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...), c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) et répartition des forces dans un assemblage).

La géométrie peut être considérée comme une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan...) des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme...) et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la pression.) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant différents phénomènes...). Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides.

Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique...), mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des expériences plus précises pourraient en montrer la fausseté.

La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde (Le mot monde peut désigner :) réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit.

La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel, idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde...), possible (voir Théorie des modèles (La théorie des modèles est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement valide si on peut définir un univers dans lequel elle...) et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).

Controverse des géométries analytique et synthétique

Au début du XIXe siècle, quelques géomètres comme Gergonne ont exprimé une inquiétude, celle de voir disparaître la géométrie " pure ", appelée aussi géométrie synthétique au profit de la géométrie analytique. Le reproche était que la géométrie analytique permet certes de démontrer une propriété à l'aide d'opérations sur les nombres dans un système de coordonnées, mais sans comprendre fondamentalement pourquoi cette propriété est vraie géométriquement. Une excellente illustration de cette controverse réside dans le problème des 3 cercles : " étant donnés 3 cercles du plan, construire les 8 cercles qui leur sont tangents ". Les partisans de la géométrie dite synthétique, à l'aide d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) élégante reposant uniquement sur des concepts de similitude et polarité, y voyaient l'emblème de leur supériorité sur les analytiques. Dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un...) secondaire en France (et aussi dans d'autres pays), la géométrie synthétique a eu tendance à être supplantée par la géométrie analytique dans les années 1960-70, lors de la période dite des mathématiques modernes, avant d'effectuer un retour en tant que base de l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de valeurs culturelles, par l'observation, l'imitation, l'essai,...) du raisonnement.

Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être...) ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance moyenne séparant la Terre de la Lune est de 384 400 km (soit un...), du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une...) et de leurs distances respectives à la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par...) fait appel au théorème de Thalès[réf. nécessaire]. Dans les premiers modèles du système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de...), à chaque planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en...) était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la responsabilité de la construction et au contrôle des équipements d'une installation technique ou industrielle.) dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui...) tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et...) de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport...) a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits...) (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie (L'infographie (aussi appelée faussement image de synthèse, terme qui se rapporte plus spécifiquement à la création d'images à vocation perspectiviste irréalisables hors de l'informatique) est l'art de...).

La trigonométrie euclidienne intervient en optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) pour traiter par exemple de la diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène peut être interprété par la diffusion d'une...) de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement...). Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime (La navigation maritime concerne toute les activités humaines de circulation sur les mers et océans. On parle de navigation hauturière lorsque le navire navigue en haute mer (hors de vue de terre) et de navigation côtière (ou...) aux étoiles (avec les sextants), cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur...), navigation aérienne (La navigation aérienne est l'ensemble des techniques permettant à un pilote d'aéronef de maitriser ses déplacements. En général, cette route débute et se termine sur un aérodrome.) (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIXe siècle trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un...) le formalisme idéal pour formuler les lois de la relativité générale (La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Dans ce cadre, la présence d'une masse déforme localement l’espace-temps. Le...). La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base...) trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la physique théorique : fournir une description de la gravité quantique c'est-à-dire l'unification de la mécanique quantique...) ou des membranes.

La géométrie non commutative (La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre...), inventée par Alain Connes (Alain Connes est un mathématicien français, né le 1er avril 1947 à Draguignan (Var).), tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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