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Parabole

La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées.

Mathématiques

Section conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes...)

Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses...) est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône.

La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône
La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône

Directrice, foyer et excentricité

Soient D une droite et F un point (Graphie) n'appartenant pas à D, et soit P le plan contenant la droite D et le point F). On appelle parabole de droite directrice D et de foyer F l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des points M du plan P vérifiant :

\frac{d(M,F)}{d(M,D)} = 1

d(M,F) mesure la distance du point M au point F et d(M,D) mesure la distance du point M à la droite D. C'est donc une conique dont l'excentricité e vaut 1

Équations

À partir du foyer et de la directrice

Si la parabole est donnée par son foyer F et sa directrice \mathcal D, on appelle O le projeté orthogonal de F sur \mathcal D, on appelle p (paramètre de la parabole) la distance OF et on appelle S le milieu de [FO]. Alors, dans le repère orthonormé (S,\vec i, \vec j)\vec j a même direction et sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) que \overrightarrow{OF}, l'équation de la parabole est :

y = \frac{x^2}{2p}

À partir de la fonction du second degré

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) représentative d'une fonction polynôme du second degré d'équation

y = ax2 + bx + c

a, b et c sont des constantes réelles (a non nul) est une parabole. Dans le cas a = 1, b = 0, et c = 0 on obtient une expression simple pour une parabole: y = x2.

Le sommet S d'une parabole est le point de coordonnées \left(- \tfrac{b}{2a}; -\tfrac{b^2 - 4ac}{4a}\right). Son axe de symétrie est l'axe (S\vec j). Dans le repère (S,\vec i, \vec j), son équation est

Y = aX2

Son foyer est le point F\left(0;\tfrac{1}{4a}\right) et sa directrice est la droite \mathcal D d'équation Y = - \frac{1}{4a}

À partir de l'équation générale

Soit l'équation Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, dans un repère orthonormal. Si B2AC = 0 alors cette équation est celle d'une parabole ou de deux droites parallèles.

Soit l'équation Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, dans un repère orthonormal. Si AC = 0 avec AE ou DC non nul alors cette équation est celle d'une parabole.

Enfin, dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) repère orthonormal, l'équation d'une parabole est de la forme

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 avec B2AC = 0.

Paramétrisation

Dans le repère (O, \vec i, \vec j) où O est le point situé au milieu du segment constitué du foyer F et de sa projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane...) H sur la directrice et où \vec i est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) unitaire orienté de O vers F, on peut envisager plusieurs paramétrisations de la parabole :

  1. Une paramétrisation cartésienne par l'ordonnée : \overrightarrow{OP}(y)=\frac{y^2}{2p}\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}.
  2. La paramétrisation : \begin{cases} x=\frac 12 pt^2\\ y=pt \end{cases}, pour tout t\in\R

Cette paramétrisation est régulière (i.e. le vecteur dérivé ne s'annule pas). Le vecteur (t,1) dirige alors la tangente au point de paramètre t.

Quelques propriétés géométriques de la parabole

Cordes parallèles

Toutes les cordes parallèles ont leur milieu situé sur une droite perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) à la directrice. La tangente parallèle à cette direction a son point de contact sur cette droite. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent sur cette droite.

Propriété relative à l'orthoptique

En se dépaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.
En se dépaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) sous un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit.

Soient M et M' les points d'intersection d'une droite quelconque passant par le foyer de la parabole avec la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par M et M' se coupent sur la directrice en formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est...) un angle droit entre elles. De plus, en appelant H et H' les projetés respectifs de M et M' sur la directrice et O le point d'intersection des deux tangentes et de la directrice, on a que O et le milieu de [HH'].

En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

Applications

On utilise les parabole pour concentrer des ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.), ou des rayons en un point, le foyer de la parabole. Les paraboles sont également utilisées pour concentrer les rayons solaires en un point. Par exemple, on peut faire passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) dans un tuyau qui passe par le foyer d'un concentrateur (En général, un concentrateur (en anglais, hub - cette traduction est souvent utilisée en français, mais c'est un anglicisme) est le nœud central d'un réseau informatique. Il s'agit d'un...) solaire, cette eau monte alors très vite en température, voire même se vaporise. Qui dit vaporisation, dit augmentation de pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.). On peut ensuite utiliser cette pression pour faire tourner un alternateur pour produire de l'électricité.

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...)

trajectoire parabolique
trajectoire parabolique (Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.)

La parabole est la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) décrite par un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) que l'on lance si on peut négliger la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des...), le frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...) (vent, ralentissement (Le signal de ralentissement (de type SNCF) annonce une aiguille (ou plusieurs) en position déviée qui ne peut être franchie à la vitesse normale de la ligne.) de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.).

A noter également que l'énergie mécanique pour un objet décrivant une parabole est toujours nulle.

Ondes hertziennes

Par métonymie, une parabole désigne une antenne (En radioélectricité, une antenne est un dispositif permettant de rayonner (émetteur) ou de capter (récepteur) les ondes électromagnétiques.) parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) nommée paraboloïde de révolution.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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