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Construction à la règle et au compas

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point (Graphie) donné. La géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de...) est donc la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...) des droites et des cercles, donc de la règle et du compas . L'intuition d'Euclide était que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) pouvait être construit à l'aide de ces deux instruments.

Cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) va d'une part remettre en question la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un nombre : les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs puisque la diagonale d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle...) de côté 1 est constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).), mais correspond au nombre √2 qui n'est pas rationnel, d'autre part engager la communauté mathématique dans la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) de résolutions impossibles, comme la quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...), la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un...). La recherche des nombres constructibles et des polygones constructibles débouchera, après le développement de l'algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la...) et de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) de Galois, sur le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.) de Gauss-Wantzel sur les polygones constructibles et sur le théorème de Wantzel (Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière suivante) pour les nombres constructibles.

Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (Lorenzo Mascheroni (13 mai 1750 à Bergame – 14 juillet 1800 à Paris) est un géomètre italien. Il étudie la poésie et le grec à Castagna puis à...) (1797) prouveront que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul.

La règle et le compas en architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.)

Architectes médiévaux - Dictionnaire raisonné de l'architecture française (Viollet-le-Duc)
Architectes médiévaux - Dictionnaire raisonné de l'architecture française (Viollet-le-Duc)

Les liens qui unissent les constructions à la règle et au compas avec l'architecture sont très étroits :

La géométrie offre plusieurs ressources à l'architecte : elle le familiarise avec la régle et le compas, qui lui servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) surtout à déterminer l'emplacement des édifices. (Vitruve)

Au Moyen-Âge, le maître architecte (L'architecte est le professionnel du bâtiment dont la fonction est de concevoir et de diriger la réalisation d'une œuvre...) est celui qui possède le savoir de la géométrie, il discute sur un pied d'égalité avec les dirigeants religieux. Dans une société où peu savent lire, le plan, construit à la règle et au compas, est le seul moyen de communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter-...) simple entre l'architecte et les ouvriers. Se pose cependant le problème de l'échelle puisque les unités de longueurs ne sont pas complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité...) normalisées. Sur le terrain s'active alors, avec son compas, le parlier ou maître de chantier qui fait le lien entre l'architecte et les ouvriers. Ceux-ci utilisent pour leur construction, un compas et une règle mais aussi, quand la taille des mesures est trop importante, le cordeau (Le cordeau est un outil de jardin ou du bâtiment.) qui remplace indifféremment la règle (trait tiré au cordeau) et le compas. Associés à l'équerre, la règle et le compas deviennent alors le symbole de l'Architecte, maître architecte des cathédrales ou Architecte du monde (Le mot monde peut désigner :). Ainsi les retrouve-t-on dans l'emblème de la franc-maçonnerie.

La règle et le compas en art

Le rôle de la construction à la règle et au compas dans les œuvres artistiques dépend beaucoup de l'époque et des courants artistiques.

Dans les icônes byzantines, la règle et le compas définissent le canon de la représentation. La tête des saints, par exemple, est construite sur la base de trois cercles concentriques : un pour le visage, l'autre pour les contour de la tête et le troisième pour l'auréole (Dans les représentations religieuses, une auréole est une forme le plus fréquemment circulaire, mais parfois c'est un carré ou losange. Le carré était destiné aux representations de personnes encore vivantes alors que le cercle était destiné...). La règle et le compas jouent le même rôle de canon dans la construction des mandalas dans le bouddhisme tibétain : construits initialement à l'aide d'une règle et d'un compas, ils sont ensuite réalisés en sable (Le sable, ou arène, est une roche sédimentaire meuble, constituée de petites particules provenant de la désagrégation d'autres roches...) de couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).).

Lettre O - Francesco Torniello
Lettre O - Francesco Torniello

À la Renaissance, l'Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement l'Europe. L'extension de l'espace considéré...) redécouvre les Éléments d'Euclide (traduction de 1482). Les artistes italiens voient alors dans les constructions à la règle et au compas une source d'harmonie. Léonard de Vinci inscrit son Homme de Vitruve (Vitruve (Marcus Vitruvius Pollio) est un architecte romain qui vécut au Ier siècle av. J.-C. (on ne connaît pas avec précision la période à laquelle il aurait vécu, on...) dans un cercle et un carré. Albrecht Dürer, auteur du livre Instructions pour la mesure à la règle et au compas, construit son Adam et Ève à l'aide de cercles et de droites. En typographie également, les artistes essaient de trouver une codification harmonieuse des lettres romanes. Felice Feliciano (1460) semble être le premier à construire des lettres à la règle et au compas. Francesco Torniello, Luca Pacioli (Luca Bartolomes Pacioli , dit Luca di Borgo (1445 à Borgo Sansepolcro en Toscane - 1514 ou 1517 à Rome), est un moine mathématicien italien.) et Albrecht Dürer lui emboîtent le pas. Ce mouvement perdure jusqu'en 1764, date à laquelle Fournier, dans son Manuel de typographie, s'inscrit en faux contre l'idée que l'harmonie des lettres est due à leur construction rigoureuse. La beauté des lettres ne provient que de la qualité artistique de leur dessinateur (Un dessinateur est une personne pratiquant le dessin. Le dessin résultant du travail d'un dessinateur peut être : artistique, statique, ou une base de travail pour d'autres...).

La développement de la perspective demande une préparation géométrique de l'œuvre, mais les cercles et les droites ne sont alors qu'une grille ( Un grille-pain est un petit appareil électroménager. Une grille écran est un élément du tube de télévision. Une grille d'arrêt est un...) qui permet à l'artiste (Est communément appelée artiste toute personne exerçant l'un des métiers ou activités suivantes :) de placer les formes au gré de son imagination et de sa sensibilté.

Vers 1900, naît un mouvement d’un genre nouveau avec Pablo Picasso et Georges Braque : le cubisme. Les formes sont fragmentées et s’inscrivent dans des configurations géométriques. Les artistes pensent que la beauté peut jaillir de la forme géométrique pure. Wassily Kandinsky, fondateur du Blaue Reiter et initiateur de l'art abstrait, crée en 1923 une œuvre purement géométrique Cercles dans un cercle. Victor Vasarely, un des maîtres de l’art abstrait géométrique et père du Op Art, généralise l'utilisation du compas et de la règle dans des tableaux qui recèlent des figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie identitaire.) en donnant souvent une impression de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.).

La règle et le compas en géométrie

Quelques constructions à la règle et au compas

Parallèle et perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à...)

Parallèle : Il est possible de tracer la parallèle à la droite (AB) passant par le point C.

Construire le quatrième point d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) ABCX en traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA et un arc de cercle de centre A et de rayon BC.

Perpendiculaire : De même, il est possible de tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C.

Construire le symétrique du point C par rapport à la droite (AB). C'est le point d'intersection du cercle centre A et de rayon AC avec le cercle de centre B et de rayon BC.

Médiatrice d'un segment

La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment.

La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I.

  • Théorème : La médiatrice d'un segment est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des points qui sont à égale distance de ses extrémités.
  • Théorème réciproque : L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est la médiatrice de ce segment.

Ceci se voit aisément en remarquant que si l'on considère un point M de la médiatrice, les segments [AM] et [BM] sont symétriques par rapport à la médiatrice. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal...) dans les triangles rectangles AMI et IMB et montrer l'égalité de leurs hypoténuses.

Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite.

Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou...) supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images...) deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice.

Bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.) d'un angle

Il conviendrait, plus correctement, de parler de bissectrice d'un secteur angulaire. Il s'agit de l'axe de symétrie de ce secteur.

  1. Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
  2. Pointer successivement le compas aux points d'intersection et tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
  3. Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles. La bissectrice apparaît.

Il est donc possible de couper un angle en deux parts égales. Il n'est malheureusement pas possible de découper, à la règle et au compas, un angle en trois part égales. C'est le problème de la trisection de l'angle.

Géométrie du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...)

Le triangle est une figure emblématique de la géométrie euclidienne. Tous ses éléments remarquables : bissectrices, médiatrices, hauteurs, médianes, cercle d'Euler et droite d'Euler sont constructibles à la règle et au compas.

Polygones réguliers

Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et dont tous les côtés sont égaux. Il est aisé de construire à la règle et au compas le triangle, le carré et l'hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés sont de même mesure. Les hexagones...). Avec plus de difficultés, on peut construire le pentagone. On peut assez facilement doubler le nombre de côtés d'un polygone constructible en traçant des bissectrices et construire, par exemple, des polygônes à 2 \times 4 = 8, à 2 \times 5 = 10 et à 2 \times 6 = 12 côtés. Il est à noter que même s'il est théoriquement possible de tracer des polygones à 4 \times 5 = 20, à 8 \times 5 = 40 et à 16 \times 5 = 80 côtés, leur réalisation est difficile en pratique.

Restent parmi les polygônes à moins de 10 côtés, l'heptagone (7 côtés) et l'ennéagone (9 côtés) qui ne sont pas constructibles ; Il faudra attendre Gauss, puis Wantzel pour faire l'inventaire de tous les polygônes constructibles.

Construction du pentagone régulier :

Construction de l'hexagone régulier :

La construction d'un hexagone se fait simplement à l'aide de trois cercles de même rayon. Elle utilise la propriété du triangle équilatéral qui possède trois angles de 60° et le fait que les angles au centre d'un hexagone valent 60°.

Nombres constructibles

Pour Euclide, un nombre constructible (Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.) est un nombre associé à une longueur constructible. De nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le...), un nombre constructible est un nombre obtenu comme coordonnée d'un point constructible à partir d'un quadrillage. On sait maintenant que l'ensemble des nombres constructibles contient l'ensemble des nombres rationnels, mais est strictement inclus dans l'ensemble des nombres algébriques. On sait en particulier que π, nombre transcendant, n'est pas constructible (quadrature du cercle) et que \sqrt(lien) 2 ne l'est pas (duplication du cube)

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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