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Coordonnées polaires

Les systèmes de coordonnées polaires dans \R^2 et \R^3 sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.

En mécanique classique, elles interviennent naturellement dans tous les problèmes présentant une symétrie de rotation en l'origine, à l'instar du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) gravitationnel d'une boule de densité volumique massique uniforme.

Coordonnées circulaires (coordonnées polaires dans le plan)

Les coordonnées polaires d'un point (Graphie) M du plan vectoriel orienté \R^2 (d'origine O) sont la donnée conjointe de :

  • la distance à l'origine r = OM
  • et un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) θ = (OA,OM)A est un point arbitraire différent de O.

Remarque : il n'y a pas unicité dans la définition des coordonnées polaires : on dispose d'une certaine liberté quant au choix de la coordonnée angulaire θ. Entre autres choses :

  • On peut rajouter à θ un multiple entier de 2π
  • On peut remplacer r par -r en rajoutant π.

Si on veut un choix univoque de r et θ (ce qui n'est pas toujours judicieux), il faut abandonner le point 0. Pour les autres points, on peut imposer r>0 et θ appartenant à ]-π,π] par exemple.

Relations avec les coordonnées cartésiennes

Désignons par (x,y) les coordonnées cartésiennes du point M et par (r,θ) ses coordonnées polaires. Le passage d'un système de coordonnées à l'autre est donné par les formules suivantes :

\begin{cases} x = r \cdot \cos \theta\\y = r \cdot \sin \theta\end{cases}
\begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\\theta = 2\arctan \left ( \frac{\frac y r}{1+\frac x r} \right )\end{cases}

Une autre formule possible (qui revient à séparer des cas, et qui pose encore des problèmes pour les cas limites)

\begin{cases}r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right ) + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname{sgn} (y)\end{cases}

u0 est la fonction de Heaviside (En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction...) qui vaut 0 si x est strictement négatif et 1 si x est positif (ou nul), et sgn(y) est le signe de y (-1 si y est négatif, +1 si y est positif).

Difféomorphisme, revêtement

L'application (r,\theta)\mapsto (r\cos \theta,r\sin \theta) est un difféomorphisme local.

Le revêtement universel de \R^2\smallsetminus\{0\} est \R^2.

Formulaire physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...)

v=(\dot{r},r\dot{\theta})

a=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2,2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})

Coordonnées cylindriques

Dans l'espace à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...), un point M est repéré par

  • la distance r de l'origine à sa projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une...) sur Oxy ;
  • l'angle θ que fait la projection du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) \overrightarrow {OM} sur le plan Oxy par rapport à Ox ;
  • la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) h du point par rapport au plan Oxy.

Relations avec les coordonnées cartésiennes

Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :

\begin{cases}x = r \cdot \cos\theta\\ y = r \cdot \sin\theta\\ z = h\end{cases}

soit en différentiant

\begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r \cdot \sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r \cdot \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}h \end{bmatrix}

Dans l'autre sens :

\begin{cases}r = \sqrt{x^2 + y^2}\\\theta = \arctan \frac{y}{x} + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname{sgn} y \\ h = z\end{cases}

et en différentiant :

\begin{bmatrix} \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & 0 \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{bmatrix}

Coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques d'un point M de l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou...) R3 sont la donnée conjointe de :

  • la distance r = OM à l'origine du repère ;
  • deux angles, θ et φ, permettant de repérer le point M sur la sphère de centre O et de rayon r.

Il existe plusieurs façons de définir ces angles. La définition développée ci après prend θ azimutal (ou longitudinal) et φ colatitudinal. Pour des applications en physique, il est plutôt d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de prendre φ azimutal, et θ colatitudinal. Ainsi :

  • l'angle θ est celui que fait la projection du vecteur \overrightarrow {OM} sur le plan Oxy par rapport à Ox ;
  • l'angle φ est celui que fait le vecteur \overrightarrow {OM} par rapport à Oz.

Remarque: On peut également prendre pour défintion de l'angle φ celui que fait le vecteur \overrightarrow {OM} par rapport à Ox, Ce qui changerait toutes les relations qui vont suivre.

Relations avec les coordonnées cartésiennes

Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :

\begin{cases}x = r \cdot \sin\varphi \cdot \cos\theta \\ y = r \cdot \sin\varphi \cdot \sin\theta \\ z = r \cdot \cos\varphi\end{cases}

si l'on différentie, on obtient

\begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin \varphi \cdot \cos\theta & -r \cdot \sin \varphi \cdot \sin\theta & r \cdot \cos\varphi \cdot \cos\theta \\ \sin\varphi \cdot \sin\theta & r \cdot \sin\varphi \cdot \cos\theta & r \cdot \cos\varphi \cdot \sin\theta \\ \cos\varphi & 0 & -r \cdot \sin\varphi \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\varphi \end{bmatrix}

Dans l'autre sens :

\begin{cases}r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta = \arctan \frac{y}{x} + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname{sgn} (y) \\ \varphi = \arccos \frac{z}{r} = \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{cases}

et en différentiant :

\begin{bmatrix} \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}\varphi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{x}{r} & \frac{y}{r} & \frac{z}{r} \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0 \\ \frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \\ \mathrm{d}z \end{bmatrix}

Relations avec les coordonnées cylindriques

Le passage des coordonnées cylindriques (rcyl,h) aux coordonnées sphériques (ρ,θsph,φ) se fait par :

\begin{cases}\rho = \sqrt{r^2+h^2}\\ \varphi = \arctan \frac{h}{r} + \pi \cdot u_0(-r) \cdot \operatorname{sgn} h \\ \theta_{sph} = \theta_{cyl}\end{cases}

soit en dérivant :

\begin{bmatrix} \mathrm{d}\rho \\ \mathrm{d}\varphi \\ \mathrm{d}\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\ \frac{-h}{r^2+h^2} & 0 &\frac{r}{r^2+h^2} \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}h \end{bmatrix}

(on a θ = θcyl = θsph)

Le passage des coordonnées sphériques (ρ,θsph,φ) aux coordonnées cylindriques (rcyl,h) se fait par :

\begin{cases}r = \rho \cdot \sin\varphi \\ \theta_{cyl} = \theta_{sph} \\ h = \rho \cdot \cos\varphi\end{cases}

soit en dérivant :

\begin{bmatrix} \mathrm{d}r \\ \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\varphi & \rho \cdot \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \cos\varphi & -\rho \cdot \sin \varphi & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathrm{d}\rho \\ \mathrm{d}\varphi \\ \mathrm{d}\theta \end{bmatrix}

(même remarque que ci-dessus).

Généralisation des coordonnées sphériques : angles d'Euler

Si l'on ne s'intéresse qu'à l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) dans l'espace, on n'utilise pas ρ, par contre, il faut définir un troisième angle ω qui est la rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit...) de l'axe OM. Cette généralisation des coordonnées sphériques (θ,φ,ω) est en fait une définition des angles d'Euler, mais avec des rotations différentes des rotations habituelles :

  • rotation d'un angle θ autour de Oz, Oxyz devient Ouvz ;
  • rotation d'un angle φ autour de Ov, Ouvz devient Ox'vw ;
  • rotation d'un angle ω autour de Ox' , Ox'vw devient Ox'y'z' .

Cette définition n'est pas utilisée, mais elle est présentée ici à titre pédagogique : elle permet de comprendre simplement la notion d'orientation et d'angle d'Euler lorsque l'on a compris celle de coordonnées sphériques.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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