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Géométrie euclidienne
Euclide
Euclide

La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...), d'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) y sont exposées de façon axiomatisée. La conception de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) est alors intimement liée à la vision de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien,...) ambiant au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) classique du terme.

Les conceptions géométriques subissent, à partir des travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux :

  1. Pour vérifier les critères de rigueur logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première...) actuels, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) axiomatique subit de profonds changements, l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) reste néanmoins le même.
  2. Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'élaboration d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) plus puissante, un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. L'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En physique, l'espace où...) est maintenant défini comme un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) ou affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) réel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) finie muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur...).
  3. Enfin, la structure géométrique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est maintenant établi qu'il existe d'autres géométries cohérentes.

Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande...) toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas...) étant l'exception la plus notoire.

L’approche euclidienne de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir...) de l’espace

La géométrie euclidienne au sens des antiques traite du plan et de l'espace. Les objets considérés sont les points, les segments, les droites, les demi-droites, et leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude de figures et la mesure.

Les outils de la géométrie d'Euclide

La construction d'Euclide se fonde sur cinq postulats[1]:

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...) peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents
  5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

Les raisonnements sur les figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie...) portent sur leurs intersections, et leurs dimensions : sur l'incidence et la mesure. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), certaines transformations des figures sont utiles ; les plus pertinentes sont les similitudes c'est-à-dire les transformations qui conservent les rapports des distances. Les similitudes les plus simples sont les rotations, les symétries, les translations, qui conservent les distances, ainsi que les homothéties. À partir de ces quelques objets de base, toutes les similitudes peuvent être construites par composition, .

La construction d'Euclide permet le développement de la notion de mesure de longueur, d'aire, de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.). Il existe de nombreuses aires de surfaces usuelles calculables par les techniques des Eléments. Une méthode, la méthode d'exhaustion qui préfigure l'intégration, permet d'aller plus loin. Archimède (287-212 av. J.C.), par exemple réalise la quadrature de la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont...). Une limite de la notion de mesure vient de ce que les nombres considérés sont seulement les nombres constructibles.

Les deux théorèmes fondamentaux sont le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres...) et celui de Thalès. Un peu d'analyse permet d'aller plus loin avec la trigonométrie (La trigonométrie (du grec ancien τρ?γωνος / trígonos, « triangulaire », et μ?τρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des...). C'est le premier exemple de construction d'un pont entre la géométrie euclidienne pure et une autre branche mathématique, pour enrichir la palette (La Palette est un café-restaurant situé dans le 6e arrondissement de Paris, au croisement de la rue de Seine et de la rue Jacques-Callot. Ses propriétaires...) d'outils disponibles.

Un succès euclidien : la règle et le compas

Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, un polygone régulier de 17 cotés
Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, un polygone régulier de 17 cotés

Un objectif de la géométrie euclidienne est la construction de figures à la règle et au compas. L'étude du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...) relève de ce domaine, la richesse des résultats obtenus est illustrée par la liste des éléments remarquables d'un triangle. Une famille de figures emblématiques est celle de certains polygones réguliers (voir l'article Partage d'une tarte). Ils ne sont cependant pas tous constructibles. Les techniques de construction s'appliquent non seulement au plan, mais aussi à l'espace comme le montre l'étude sur les polyèdres.

Une spécificité de la géométrie euclidienne réside dans le fait qu'elle n'utilise initialement que peu ou pas du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de théorèmes complexes et puissants d'algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de...) ou d'analyse. C'est une mathématique autonome et indépendante, où les preuves proviennent essentiellement de raisonnements purement géométriques. Cependant, pour les cas complexes, comme la construction de la figure ci-contre, d'autres outils, par exemple les polynômes, se révèleront indispensables (cf Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) de Gauss-Wantzel). Les trois grand problèmes de l'antiquité, à savoir la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq...), à l'aide seulement de la règle et du compas, ne seront d'ailleurs montrés impossibles qu'avec l'apport d'autres branches des mathématiques.

La géométrie euclidienne aura de nombreuses applications. La Renaissance utilise largement les techniques des Éléments. L'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.), la peinture à travers la perspective[2] regorgent d'exemples de cette nature. L'art des entrelacs[3] de Léonard de Vinci (1452-1519) est un autre cas d'utilisation. Ces mathématiques servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) aussi à la mesure, à la fois pour les arpenteurs et dans un objectif scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.). Le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est...) permet à Ératosthène (276–194 av. J.-C.) de mesurer la circonférence de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des...). Cette technique, dite de triangulation (En topologie, une triangulation d'un espace topologique X est un complexe simplicial K homéomorphe à X, et un homéomorphisme h:K→X. Dans les termes de Layman, si X est un...) permet aussi aux marins de connaître leur position.

Application et nouveaux outils : espace euclidien et physique

Système solaire (échelle non réelle).
Système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de lui...) (échelle non réelle).

A partir du XVIe siècle les mathématiques s'éloignent de plus en plus de la géométrie du triangle. La géométrie euclidienne garde son utilité car elle modèlise toujours avec pertinence le monde (Le mot monde peut désigner :) physique ambiant.

Cependant, l'approche purement antique devient trop restrictive. Elle n'offre pas un cadre suffisant pour le développement des mathématiques. Pour aller plus loin, comme par exemple pour l'étude des coniques[4] de Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.) (1623-1662) ou la naissance du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:)[5], l'introduction d'un repère est obligatoire. Avec le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) l'algèbre et l'analyse deviennent prédominantes : de nouveaux outils, éloignés des outils hérités d'Euclide, sont créés ; en ce qui concerne la modélisation de l'espace physique, ils sont néanmoins toujours utilisés dans le cadre d'une géométrie euclidienne peu formalisée, et ce avec un large succès. Toutes les théories datant d'avant le XXe siècle se contentent en fait de ce cadre. Encore maintenant, et dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de...) très général, la géométrie usuelle de la physique reste euclidienne. Elle permet des résultats spectaculaires, comme la mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein, elle est souvent qualifiée de mécanique classique.).

Ce n'est qu'en 1915, qu'une autre géométrie, celle de la relativité générale (La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Dans ce cadre, la présence d'une masse déforme localement l’espace-temps. Le...), explique mieux un phénomène, celui de l'avance du périhélie (Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché du Soleil (grec : helios) autour duquel il...) de Mercure. La géométrie euclidienne reste maintenant valable à trois exceptions près:

  • les distances astronomiques, dans le cadre de la relativité générale
  • les vitesses proches de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement...), avec la géométrie de la relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel, ni les interactions d'origine...),
  • les dimensions inférieures à la taille des particules, dans le cadre de certaines théories contemporaines comme les supercordes.

Il faut toutefois à nouveau noter que, si la modélisation de la géométrie de l'espace reste souvent la même que celle de l'Antiquité (aux exceptions déjà citées près), la formalisation change radicalement. D'autres mathématiques que celle du triangle sont utilisées.

Le modèle linéaire de la géométrie

La conception de l'espace par les mathématiciens n'est historiquement pas figée ; les évolutions se font pour plusieurs raisons : le besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires et les...) de mieux fonder la théorie géométrique, d'une part en comblant certains déficits de rigueur du texte d'Euclide, d'autre part en liant la théorie à d'autres branches des mathématiques ; mais aussi la nécessité de pouvoir utiliser l'important corpus de résultats géométriques dans d'autres espaces, physiques aussi bien que mathématiques, que l'espace physique ambiant ou le plan usuel.

Ces deux derniers objectifs sont en fait atteints grace à une branche particulière des mathématiques : l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des...).

Motivation : la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons,...) du solide

Un solide possède 6 degrés de liberté
Un solide possède 6 degrés de liberté

La mécanique du solide apporte un point de vue nouveau sur la géométrie euclidienne. Si notre espace décrit la position du centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de tous les plans qui divisent le corps en deux parties de poids...), le solide peut encore tourner autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) de ce centre. Il dispose encore trois degrés de liberté supplémentaires. Il est alors nécessaire de considérer un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) six, pour rendre compte de la position exacte du solide.

Il en est de même pour la vitesse (On distingue :). Elle est décrite par le mouvement de son centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.), représenté classiquement par un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) dans l'espace et par une rotation, que l'on peut représenter par un vecteur perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et...) au plan de rotation et dont la longueur est proportionnelle à la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.). Mathématiquement, le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des vitesses est dit équiprojectif et se représente par un torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il subit de la part d'un environnement extérieur.). L'espace est encore de dimension six.

Cette démarche consistant à définir un espace abstrait, qui ne représente plus directement notre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), mais un espace spécifique au problème étudié, est féconde. Elle permet d'utiliser les outils de la géométrie euclidienne dans des contextes variés. Cette géométrie est remarquablement adaptée pour la représentation d'un champ équiprojectif.

La mécanique statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) est un autre exemple, un objet est considéré comme l'assemblage d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) de solides soumis à des contraintes qui les lient entre eux. La dimension est alors égale à six fois le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de solides composant l'objet. Cette démarche est surtout développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme...) durant le XXe siècle. En effet, la dimension croit rapidement et une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de calcul accessible uniquement depuis l'arrivée des ordinateurs est nécessaire pour rendre l'approche opérationnelle.

Motivation : la statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de...)

Exemple de représentation euclidienne d'un dépouillement.
Exemple de représentation euclidienne d'un dépouillement.

Le dépouillement des sondages utilise aussi les propriétes de la géométrie euclidienne. Elle permet, grâce à la notion de distance, une modélisation pertinente, et, grâce aux outils de l'algèbre linéaire, une algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus...) puissante pour les calculs.

Si les critères, représentés par des questions d'un sondage ( Un sondage peut désigner une technique d'exploration locale d'un milieu particulier. Un sondage peut également être une méthode statistique d'analyse d'une population humaine ou non humaine à partir d'un...) peuvent être ramenés à des grandeurs mesurables, alors chaque sondé apparaît comme un point d'un espace dont la dimension est égale au nombre de critères. Cette géométrie est essentielle en statistique :

  • Elle réduit la dimension de l'espace à travers le choix d'axes (appelé ici composantes) particulièrement révélateurs et en nombre réduits. L'analyse du sondage devient réalisable dans un espace plus petit, dépolluée du bruit non significatif, et graphiquement représentable pour une compréhension intuitive du dépouillement.
  • Elle mesure les corrélations entre les différentes questions. La figure illustre ici deux critères, chacun représenté par un axe. Pour cet exemple, quand le critère de l'axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la droite » ou vice versa.) prend des valeurs positives, alors le critère de l'axe vectical prend des valeurs négatives. Les deux critères sont dits anticorrélés.

La démarche consistant à analyser des données à travers une géométrie euclidienne est utilisée dans de nombreuses sciences humaines. Elle permet l'analyse des comportements même lorsque ceux-ci ne suivent pas des lois rigides.

Modèle linéaire de la géométrie: les espaces euclidiens

La notion d'espace vectoriel fournit une première structure purement algébrique dans laquelle le langage géométrique peut s'exprimer. La notion de coordonnée introduite au ? siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être...) devient centrale, et le plan, par exemple, est modélisé par un espace vectoriel de dimension deux, qui s'identifie essentiellement à l'ensemble de tous les couples de coordonnées (x1,x2), où x1,x2 sont des nombres réels ; un point est alors simplement un tel couple, et une droite l'ensemble des couples de la forme x1x2), où (x1,x2) est un couple fixé, et λ varie parmi tous les nombres ; la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) se fait facilement à l'espace de dimension 3 en considérant des triplets de coordonnées (x1,x2,x3), mais aussi aux espaces de dimension n en considérant l'ensemble de tous les n-uplets de nombres (x_1,\dots,x_n). Les propriétés d'incidence ne sont toutefois pas celles attendues ; notamment, toutes les droites se rencontrent en un point origine : le n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second...) (0,\dots,0). En fait, les droites ont le comportement attendu seulement au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions...) de l'origine. Il faut ensuite pouvoir transférer cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus...) locale à tous les autres points de l'espace. Cela se fait par translation, plus précisément en faisant agir l'espace vectoriel sur lui-même par translation. La situation locale est alors la même au voisinage de tous les points, on obtient ainsi la notion d'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle...), qui permet de rendre compte pleinement des propriétés d'incidence : par exemple, dans un espace affine réel de dimension 2, les droites vérifient le cinquième postulat d'Euclide.

Cependant, avec simplement la notion d'espace affine, seules les propriétés d'incidence sont modélisées, une grande partie de la géométrie euclidienne classique n'est pas atteinte : il manque essentiellement une notion de mesure. Un outil linéaire permet de combler cette lacune ; c'est le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un...). Un espace affine réel muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien, toutes les notions géométriques classiques sont définies dans un tel espace, et leurs propriétés issues de l'algèbre vérifient tous les axiomes euclidiens : les théorèmes géométriques issus du corpus classiques, portant sur n'importe quels objets vérifiant ces axiomes, deviennent donc en particulier des théorèmes pour les points, droites, cercles, tels que définis dans un espace euclidien.

Version géométrique du théorème de Pythagore, le théorème fondamental des espaces euclidiens.
Version géométrique du théorème de Pythagore, le théorème fondamental des espaces euclidiens.

Enfin, comme on l'a vu, les espaces affines euclidiens ne sont pas limités aux dimensions 2 ou 3 ; ils permettent donc de rendre compte des différents problèmes physiques et statistiques évoqués plus haut, et qui mettaient en jeu un plus grand nombre de variables, avec une utilisation d'un langage géométrique, et beaucoup de théorèmes d'incidence et de mesure se généralisent presque automatiquement, notamment le théorème de Pythagore. Il traite d'un triangle, il est maintenant modélisé par deux vecteurs x et y. Les propriétés du produit scalaire assurent l'égalité suivante:

(x-y|x-y)=(x|x)+(y|y)-2(x|y)\;

Il suffit de remarquer que (x|y) est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux pour affirmer le théorème de Phytagore et sa réciproque. Des démonstrations équivalentes dans la formalisation antique sont données dans l'article associé. Elles sont plus longues, particulièrement à cause de la réciproque, qui fait appel au théorème d'Al-Kashi.

Le passage à un degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) d'abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la pensée une ou plusieurs qualités d'un objet concret pour en former une représentation intellectuelle, et le...) supérieur offre un formalisme plus puissant, donnant accès à de nouveaux théorèmes et simplifiant les démonstrations ; l'intuition géométrique habituelle des dimensions 2 ou 3 est parfois défiée par ces dimensions supérieures, est parfois toujours efficace. Les gains sont suffisants pour que les analyses sophistiquées soient généralement exprimées à l'aide du produit scalaire.

Historique de l'approche linéaire

Arthur Cayley
Arthur Cayley

La notion d'espace vectoriel apparaît petit à petit. René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ».) (1601-1665) utilisent le principe de coordonnées comme un outil pour résoudre avec une approche algèbrique des problèmes géométriques. La notion de repère orthonormal est utilisée en 1636[6]. Bernard Bolzano (1781-1848) développe une première conception géométrique[7] où les points, les droites et les plans sont définis uniquement par des opérations algèbriques, c’est-à-dire l'addition et la multiplication par un nombre. Cette approche permet de généraliser la géométrie à d'autres dimensions que celles des plans et des volumes. Arthur Cayley (1821-1895) est un acteur (Un acteur est un artiste qui incarne un personnage dans un film, dans une pièce de théâtre, à la télévision, à la radio, ou même dans des spectacles de rue. En plus de l'interprétation proprement dite, un acteur (ou « interprète »)...) majeur dans la formalisation des espaces vectoriels[8].

Un contemporain William Rowan Hamilton (1805-1865) utilise un autre corps de nombres que celui des réels : les imaginaires[9]. Il montre que cette démarche est essentielle en géométrie pour la résolution de nombreux problèmes.

A la suite des travaux de Gaspard Monge (1746-1818), son élève Jean Poncelet (1788-1867) réforme la géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.)[10]. La géométrie projective, géométrie de la perspective, devient aussi modélisable par l'algèbre linéaire : un espace projectif se construit à partir d'un espace vectoriel à partir d'un processus d'identification des points suivant une règle de perspective. Les espaces projectifs sont ainsi généralisés aux dimensions quelconques. Il est aussi intéressant de noter que la géométrie projective est une géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.), dans le sens où le cinquième postulat d'Euclide y tombe en défaut ; l'algèbre linéaire fournit donc non seulement un modèle pour la géométrie euclidienne, mais aussi, par des adaptations simples, pour une géométrie non euclidienne.

Les limites d'Euclide

L'approche linéaire n'est pas une remise en question des conceptions euclidiennes. Elle permet au contraire de généraliser celles-ci, d'étendre leur portée, et de les enrichir en retour. Seulement, un autre grand mouvement historique a au contraire remis en cause ces conceptions.

Le cinquième postulat

Exemple de géométrie hyperbolique
Exemple de géométrie hyperbolique

Le XIXe siècle voit l'apparition de nombreuses nouvelles géométries. L'origine de leurs naissances résulte d'interrogations sur le cinquième postultat, que Proclus exprime de la manière suivante: Dans un plan, par un point distinct d'une droite d, il existe une unique droite parallèle à d ; ce postulat, admis par Euclide, et que l'intuition soutient, ne devrait-il pas être un théorème ? Ou, au contraire, peut-on imaginer des géométries où il tomberait en défaut ?

Un enjeu durant le XIXe siècle pour les mathématiciens, sera de parvenir à se détacher d'une intuition physique casuellement inféconde, ainsi que d'un respect inopportun des leçons des anciens, pour oser inventer de nouvelles conceptions géométriques ; celles-ci ne s'imposeront pas sans difficulté.

Dès le début du siècle Carl Friedrich Gauss (1777-1855) s'interroge sur ce postulat[11]. En 1813 il écrit : Pour la théorie des parallèles, nous ne sommes pas plus avancés qu'Euclide, c'est une honte pour les mathématiques. En 1817 il semble que Gauss ait acquis la conviction[12] de l'existence de géométries non euclidiennes. En 1832, le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et...) János Bolyai (1802-1860) rédige un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) sur le sujet[13]. L'existence d'une géométrie non euclidienne n'est pas formellement démontrée, mais une forte présomption est acquise. Le commentaire de Gauss est éloquent : Vous féliciter reviendrait à me féliciter moi-même[14]. Gauss n'a jamais publié ces résultats, probablement pour éviter une polémique. Indépendamment, Nicolaï Lobatchevsky (1792-1856) devance Bolyai sur la description d'une géométrie analogue dans le journal russe Le messager de Kazan en 1829. Deux autres publications[15] et [16] sur le sujet n'ont néanmoins pas plus d'impact sur les mathématiciens de l'époque.

Bernhard Riemann (1826-1866) établit l'existence d'une autre famille de géométries non euclidiennes pour son travail de thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du thème...) sous la direction de Gauss. L'impact reste faible, la thèse n'est publiée que deux ans après sa mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général, incluant par exemple la mort des...).

Les géométries de Lobatchevsky et Bolyai correspondent à des structure hyperboliques où il existe une infinité de parallèles passant par un même point. Cette situation est illustrée dans la figure ci-contre, les droites d1, d2 et d3 sont trois exemples de parallèles à D passant par le point M. Le cas riemannien correspond au cas elliptique où aucune parallèle n'existe.

L'unification (Le concept d'unification est une notion centrale de la logique des prédicats ainsi que d'autres systèmes de logique et est sans doute ce qui distingue le plus Prolog des autres langages de programmation.) de Klein

Université d'Erlangen
Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux États-Unis, au moment où...) d'Erlangen
Felix Klein
Felix Klein

La situation est devenue confuse, les Eléments ne sont pas en mesure de rendre compte d'une telle diversité. On compte nombre d'espaces géométriques : les espaces vectoriels euclidiens, les espaces affines euclidiens, les espaces projectifs, les géométries elliptiques et hyperboliques, plus quelques cas exotiques comme le ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.). Chaque géométrie possède des définitions différentes, plus ou moins équivalentes et aboutissant sur des séries de théorèmes plus ou moins différents selon les auteurs et les géométries. La fin de la suprématie euclidienne engendre un important désordre, qui rend la compréhension de la géométrie difficile. Un jeune professeur de 24 ans Felix Klein (1848-1925) nouvellement nommé professeur à l'université de Erlangen ordonne toutes ces géométries dans son discours inaugural[17]. Ces travaux ont cette fois un vaste retentissement sur la communauté scientifique, la suprématie euclidienne disparaît et la polémique née de la remise en cause du cinquième postulat s'éteint. Son travail implique une réforme de la formalisation des espaces euclidiens. Il utilise les travaux de James Joseph Sylvester (1814-1897) sur ce que l'on appelle maintenant les produits scalaires[18]. La géométrie euclidienne reste d'actualité au prix d'une refonte profonde de sa construction.

Dans son programme d'Erlangen, Felix Klein trouve le critère permettant de définir toutes les géométries. Les gains attendus sont au rendez-vous. Les géométries sont classifiéees, celles qui se présentent comme des cas particuliers apparaissent et les théorèmes génériques peuvent s'exprimer sur l'intégralité de leur domaine d'application ; en particulier, l'espace vérifiant l'axiomatique euclidienne est la limite qui sépare les familles de géométries hyperboliques de Bolyai et Lobatchevsky des géométries elliptiques de Riemann.

Klein définit une géométrie par l'ensemble de ses isométries c'est-à-dire les transformations laissant les distances invariantes. Cette approche caractérise parfaitement une géométrie. Cet ensemble bénéficie d'une structure nouvelle pour l'époque, celle d'un groupe particulier puisqu'il possède lui même une géométrie. Cette approche dans le cas euclidien est équivalente à celle du produit scalaire, et si elle est d'un maniement plus abstrait, elle est aussi plus générale car elle s'applique à toutes les géométries. La présentation des espaces euclidiens se limite donc à l'étude du produit scalaire, parfaitement suffisant pour décrire la géométrie dans ce cas particulier.

Euclide et la rigueur

Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore

La dernière réforme est celle de la logique. Le point de vue vectoriel de la géométrie a permis de trouver un modèle de la géométrie d'Euclide dans un autre domaine mathématique qu'on espère mieux fondé. Mais cela ne rend pas caduques certaines questions sur la construction logique intrinsèque d'Euclide. Les postulats proposés par Euclide ne suffisent en fait pas à décrire entièrement les résultats qu'il obtient ; il utilise de façon implicite des postulats non formulés. Cette lacune logique est principalement due à une carence de formalisation du texte d'Euclide : Les Elements ne satisfont pas les critères de rigueur actuels. Notons quelques lacunes.

Cas ou les nombres ne sont pas les réels
Cas ou les nombres ne sont pas les réels

Les transformations laissant invariantes les distances ne peuvent se déduire de la base axiomatique. Le cœur même du raisonnement géométrique antique n'est donc pas démontrable à partir des postulats. Le Théorème de Pythagore est un exemple illustré dans la figure de droite. La démonstration utilise le fait que les triangles IBC et AEC possèdent la même aire car l'un correspond à la rotation d'un quart de tour de l'autre. Cette assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) n'est en fait pas démontrable dans le cadre axiomatique choisi par Euclide.

La nature du corps de nombres sous-jacent n'est pas explicitable. Il n'est donc pas possible de connaître la nature des longueurs. L'article sur les nombres réels montre les conséquences facheuses de ce problème. Ainsi, comme illustré sur la figure de gauche, la rotation d'un angle de 45° de la diagonale d'un cercle de coté 1 ne possède pas, a priori son extrémité A' .

Enfin les limites recouvertes par la construction euclidienne ne sont pas explicités. Le cinquième postulat, dont le statut est entre celui d'axiome (Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie "qui est considéré comme digne ou convenable" ou "qui est considéré comme évident...) et de conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) est un exemple. L'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) de l'espace (voire article Déterminant) qui permet de parler de droite et de gauche est encore supposée exister. En revanche, aucun élément dans la base axiomatique ne permet une telle construction.

La réponse de Hilbert

David Hilbert
David Hilbert

Le mathématicien David Hilbert cherche alors à apporter une réponse par la définition d'une nouvelle axiomatique décrivant exactement l'espace euclidien. Elle doit remplir les trois critères suivants:

  • Etre minimale, aucun axiome ne doit pouvoir être retranché sans que soient alors possibles d'autres géométries que celle d'Euclide.
  • Etre complète, tous les éléments non démontrables à partir de la construction d'Euclide doivent maintenant pouvoir l'être. L'objectif est plus ambitieux, la base axiomatique doit être complète, c’est-à-dire qu'une démonstration doit pouvoir exister pour montrer la véracité ou non de toute proposition.
  • Etre intrinsèque, comme celle d'Euclide, la base axiomatique ne doit pas faire appel à d'autres notions mathématiques, comme par exemple les nombres réels.

Le fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine. Caractéristique des Angiospermes, il succède à la fleur par transformation du pistil. La paroi de l'ovaire forme le...) de son travail est l'article de 1899 qu'il appelle Fondements de la géométrie et contenant une liste de 21 axiomes. Si cette liste décrit bien la géométrie d'Euclide, deux des trois critères ne sont pas remplis. En 1902, le mathématicien Eliakim Hastings Moore (1862 1932) démontrera la redondance[19] du 21ème axiome de la liste de Hilbert. Elle est depuis minimale. La complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut...) n'est pas non plus atteinte. En fait, le mathématicien Kurt Gödel (1906-1978) démontrera[20] en 1931 que, dans un tel contexte, la complétude n'est jamais atteignable. Ainsi, il existe d'autres classes de problèmes pour lesquels la construction de Hilbert souffre des mêmes lacunes que la base axiomatique antique. L'hypothèse du continu est un exemple de nouveau champ mathématique où cette base axiomatique se révèle trop incomplète pour trancher. Et Gödel a démontré que l'ajout d'un nouvel axiome pour permettre une démonstration ne fera qu'ouvrir un nouveau champs contenant d'autres propositions indécidables.

Malgré ses limites, l'article de 1899 est d'une grande influence sur les mathématiques du XXe siècle. Au détail près du 21eme axiome qu'il est aisé de retirer, la construction de Hilbert correspond à ce que l'on peut faire de mieux en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...) de base axiomatique. Ces fondements permettent une construction aussi rigoureuse que possible de la géométrie euclidienne. Cette approche est pionnière dans le monde de la logique. En revanche, la construction de Felix Klein est plus opérationnelle et plus aisément généralisable. En géométrie, la base axiomatique de Hilbert n'est donc que peu utilisée.

Généralisations

Le concept de géométrie est maintenant appliqué à un vaste ensemble d'espaces. Si la remise en question du cinquième postulat est l'exemple historique qui donne un contenu à la notion de géométrie non euclidienne, une analyse plus précise montre l'existence de quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la...) d'autres cas non envisagés par Euclide respectant néanmoins le cinquième postulat.

Dans le cas des espaces vectoriels, le corps de nombre peut être modifié, la distance est parfois choisie de manière à posséder un nouveau groupe d'isométries, le nombre de dimensions peut devenir infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...).

Il existe en plus de nombreux cas où l'espace n'est pas vectoriel, Klein formalise des géométries non orientables, Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la...) (1845-1918) découvre un ensemble triadique dont la dimension n'est pas entière et qui maintenant est classé dans la catégorie des géométries fractales. La topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) ouvre la porte à la construction de nombreux autres cas.

C'est la raison pour laquelle le terme de géométrie non euclidienne tombe petit à petit en désuétude durant le XXe siècle. Il est maintenant entré dans l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de décrire une géométrie par les propriétés qu'elles possèdent et non pas par une, devenue très spécifique et qu'elle n'aurait pas, à savoir son caractère euclidien.

Les exemples suivants sont parmi les plus fréquemment utilisés.

Dimension infinie

Les espaces de fonctions à valeur réelles disposent d'une structure d'espace vectoriel. Il est fécond de les étudier avec des outils géométriques. Il est possible d'y associer une distance issue d'un produit scalaire si les fonctions sont de carré intégrable. Ce produit scalaire est défini de la manière suivante:

(f|g)=\int fg\;

Dans un tel espace, le théorème de Pythagore se généralise et a permis à Joseph Fourier (1768-1830) de résoudre l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !).

Cette approche, consistant à utiliser les outils de la géométrie pour résoudre des problèmes d'analyse s'appelle maintenant l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument....). De multiples distances différentes sont alors définies sur ces espaces, générant alors des géométries différentes. Elles prennent, par exemple, pour nom espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien...), espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique....), espace préhilbertien ou espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée notamment par...). L'espace de Hilbert est la généralisation la plus naturelle des géométries euclidiennes.

Remarque: L'espace donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) en exemple possède une propriété particulière. Une fonction nulle partout sauf en zéro ou elle vaut un est à une distance nulle de la fonction nulle. Deux points différents ont donc une distance nulle. Pour résoudre cette difficulté, il est possible de quotienter l'espace vectoriel par l'espace des fonctions de mesure nulle.

Espace Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.)

Les nombres réels souffrent d'une faiblesse, le corps qu'ils forment n'est pas algébriquement clos. Cela signifie qu'il existe des polynômes non constants qui n'y ont pas de racine. Cette faiblesse complexifie l'analyse des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même. L'article sur les valeurs propres explicite cette difficulté. Une solution souvent utilisée consiste à généraliser le corps de nombre et à passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) aux complexes. Cette méthode est utilisée en physique, par exemple pour l'étude des systèmes oscillants. La généralisation d'un espace euclidien aux nombres imaginaires s'appelle un espace hermitien.

Distance négative

Le cône de lumière en relativité restreinte
Le cône de lumière en relativité restreinte

La géométrie euclidienne suppose que la distance entre deux points est toujours positive. Il existe cependant des formes bilinéaires ne vérifiant pas cette hypothèse. La géométrie est alors différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...), l'ensemble des points à une distance nulle de l'origine forme un cône. La physique utilise cette géométrie.

En relativité restreinte, la partie spatiale de l’espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du temps telle qu'elle avait été définie par la théorie de la relativité restreinte d'Albert...) est euclidien, mais si on intègre le temps, il ne l'est plus. En effet, la forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions...) x2 + y2 + z2c2t2 définissant le " carré de la distance " spatio-temporelle n'est pas positive.

La figure illustre ce phénomène. Le point A représente un observateur, le plan horizontal représente les dimensions spatiales (les trois dimensions sont ici représentées par un plan pour que la figure soit représentable en dimension trois), l'axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) représente la dimension temporelle. Pour que l'observateur puisse intéragir avec le point C, il faudrait un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) à une vitesse supérieure à la lumière. Dans le cadre de cette théorie, c'est impossible. En conséquence, le point C n'est pas dans la partie accessible de l'univers pour l'observateur. Le point B en revanche, se situe dans le cone de lumière, en conséquence, une interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) entre l'observateur et le point B est possible.

Variété

Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180° : une sphère n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la géométrie euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur la surface de la Terre, la somme des angles est proche de 180°.
Sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La...), la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180° : une sphère n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la géométrie euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur la surface de la Terre, la somme des angles est proche de 180°.

Toute les géométries ne satisfont pas le cinquième postulat d'Euclide. La surface de la terre est un parfait exemple, le plus court chemin entre deux points se situe toujours sur un grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise en deux hémisphères égaux. D'une manière équivalente, un grand cercle est un cercle sur la sphère ayant le même...) sur la surface de la sphère et dont le centre est celui de la terre, ce type d'objet correspond donc à la droite pour cette géométrie. Voilà une géométrie cohérente, correspondant à un cas réel. Cependant le cinquième postulat n'est plus vérifié. Dans cet exemple, deux droites non confondues possèdent toujours une intersection contenant deux points.

L'abandon du cinquième postulat est fondamental. Il est en effet souhaitable de considérer la sphère, non pas comme un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi...) d'un espace euclidien de dimension 3 mais comme une géométrie à part entière, disposant d'une distance et d'un critère d'orthogonalité. Sans outil de cette nature, l'étude d'objet de cette nature devient plus délicate.

La solution mathématique est dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) de l'exemple illustré dans la figure. Si l'étude se résume à une zone locale, comme par exemple Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de la Seine en...), alors il est possible d'utiliser une carte plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de...). C’est-à-dire une représentation euclidienne, qui, à condition de ne pas trop s'éloigner du point d'étude, sera d'une précision aussi grande que voulue. Un plan de Paris n'est pas totalement exact car sur une sphère la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. En revanche, la dimension de Paris est suffisamment petite pour que l'erreur soit négligeable. La solution consistant à décrire un objet géométrique avec une carte associée à chaque point est celle retenue pour la description mathématique d'un tel objet.

Une géométrie de cette nature, qui ne correspond pas à un espace comme l'imaginait Euclide s'appelle une géométrie non euclidienne, on les appelle maintenant des Variétés. Le mathématicien Felix Klein a démontré que d'autres phénomèmes que la remise en question du cinquième postulat peut amener une géométrie non euclidienne.

L’astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des objets de...) à grande échelle (La grande échelle, aussi appelée échelle aérienne ou auto échelle, est un véhicule utilisé par les sapeurs-pompiers, et qui emporte une...) ne peut pas se contenter de la géométrie euclidienne. En théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ...) générale, les modèles utilisés ne sont plus euclidiens, la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) se manifestant par la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) incurvée suivie par une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à...) le long d'une géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer les distances,...) non euclidienne. Il convient donc de susbstituer à la distance euclidienne une distance définie par une forme quadratique plus générale.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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