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Homothétie

Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.

Le terme, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé des deux éléments d'origine grecque, le préfixe homo- pour " semblable " et thesis pour " position ". Il traduit la correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) entre deux figures de même forme et de même orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;). Ainsi, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques.

Dans la suite nous traitons des homothéties du plan, mais les propriétés énoncées restent vraies dans l'espace.

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) du point (Graphie)

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soient O un point du plan P et k un réel non nul, on appelle homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur...) de centre O et de rapport k la transformation qui à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point M associe le point M' défini par :

(lien)\qquad \overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}

Valeurs particulières de k

pour k = 1
Chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identique.
pour k = -1
L'homothétie de rapport -1 est la symétrie centrale de centre O.

Propriétés

Propriété vectorielle

Si par l'homothétie h de centre O et de rapport k, A a pour image A ' et B a pour image B ' alors :

(lien)\qquad \vec{A'B'} = k \vec{AB}. Cette propriété rappelle le fameux théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés dans des droites sécantes, aux...).

Elle permet de construire l'image de tout point connaissant le centre O de l'homothétie et l'image A' d'un point A.


L'image du point B est le point d'intersection de la droite (OB) et de la droite parallèle à (AB) passant par A'.

Cette égalité caractérise les homothéties : soit f une transformation. On appelle M' l'image de M. S'il existe un réel k, différent de 1, tel que, pour tout point A et tout point B, \overrightarrow{A'B'} = k\overrightarrow{AB}, alors f est une homothétie, son rapport est k et son centre est le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) des points (A, k) et (A', -1)


Homothétie et trapèze

Si ABCD est un trapèze tel que \overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB} avec k différent de 1, il existe deux homothéties transformant [AB] en [CD]. Une de centre O' intersection des diagonales et de rapport -k et l'autre, de centre O intersection des droites (AD) et (BC) et de rapport k.

Image:Homothetie et trapeze.png

Invariance

  • L'homothétie conserve les angles orientés. En particulier elle conserve aussi le parallélisme et l'orthogonalité.
  • L'image d'une droite est une droite.
  • L'image d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) est un cercle.
  • Une homothétie de rapport k, \left| k \right|\ne 1, n'est pas une isométrie : elle modifie les distances dans le rapport |k| et les aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) dans le rapport k².
  • Si, en général, les homothéties ne conservent pas les distances, elles conservent les proportions. Ce sont donc des similitudes. Comme, de plus, elles conservent les angles orientés, elles font partie des similitudes directes.

Composition

La composée de deux homothéties de centre O et de rapports k et k' est une homothétie de centre O et de rapport kk'. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des homothéties de centre O est donc un groupe commutatif isomorphe à R*.

La composée hO' o hO de deux homothéties de centres différents O et O' et de rapports k et k' est

  • une translation de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) (1-k') \overrightarrow{OO'} si le produit kk' =1

  • une homothétie de rapport kk' et de centre O" barycentre des points (O , kk'- k') et (O' , k'-1) si kk' est différent de 1.

La composée t o h d'une homothétie de centre O et de rapport k et d'une translation de vecteur \vec{u} est aussi une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre des points (O, k) et (O', -1) où O' est le point tel que \overrightarrow{OO' }= \vec{u}. Enfin la composée h o t est une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre de (O' , k) et (O , -1) où O' est le point tel que \overrightarrow{O'O }= \vec{u}.

Ces propriétés font de l'ensemble des homothéties-translations est un groupe non commutatif.

Géométrie vectorielle (Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.)

Dans un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) V sur un corps K, on appelle homothétie de rapport k (k non nul) , l'application qui, à tout vecteur \vec{v}, associe le vecteur k\vec{v}.

C'est un cas particulier d'application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire...). Dans une homothétie, il n'existe qu'une seule valeur propre : k et tous les vecteurs sont des vecteurs propres. La matrice d'une homothétie dans un espace vectoriel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) n est k*In où In est la matrice Identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0...).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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