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Isométrie

En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.

Si cette isométrie conserve aussi les angles orientés, alors ils s'agit d'un déplacement. Si elle inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel...) les angles orientés, il s'agit d'un antidéplacement (En géométrie, un antidéplacement est une isométrie qui conserve les distances et qui renverse l'orientation : en dimension un antidéplacement inverse les angles orientés.).

Le terme isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) est parfois un peu vague (Une vague est un mouvement oscillatoire de la surface d'un océan, d'une mer ou d'un lac. Les vagues sont générées par le vent et ont une amplitude crête-à-crête allant de quelques centimètres à 34 m (112 pieds),...). Usuellement, il renvoie aux isométries affines, c’est-à-dire aux transformations bijectives d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles...) euclidien dans un autre qui conseve les distances. On généralise au tranformations bijectives d'un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) dans un autre qui conserve les distances. Dans un cadre linéaire, on parle parfois d'isométrie vectorielle, c’est-à-dire d'automorphisme qui conserve le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle...), mais il est plus prudent dans ce cadre de parler d'automorphisme orthogonal.

Isométries planes remarquables

On désigne par \mathcal{P} le plan (i.e., plus précisément, un plan affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) réel euclidien orienté). Les applications suivantes sont des isométries de \mathcal{P}:

  • Étant donné un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition...) \vec{u} l'application qui, à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) A, associe le point A' tel que \vec{AA'}=\vec{u}: c'est la translation de vecteur \vec{u}. Sa réciproque est la translation de vecteur -\vec{u}. Elle n'a aucun point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.), sauf si \vec{u}=\vec{0}, auquel cas c'est l'identité. Les translations sont des déplacements.
  • Étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) une droite Δ l'application qui, à tout point A, associe le point A' tel que \vec{AA'}=2\vec{AH}, où H est le projeté orthogonal de A sur Δ: c'est la réflexion d'axe Δ. On peut la définir autrement: A' = A si A \in \Delta et, si A \notin \Delta, A' est tel que Δ est la médiatrice de [AA']. Les réflexions sont involutives et sont des antidéplacements.
  • Étant donné un point A de \mathcal{P} et un réel θ l'application qui fixe A et, à un point B distinct de A, associe l'unique point B' tel que AB = AB' et une mesure de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) orienté (\vec{AB}, \vec{AB'}) est θ: c'est la rotation de centre A et d'angle θ. La réciproque de la rotation de centre A et d'angle θ est la rotation de centre A et d'angle − θ. Enfin, les rotations sont des déplacements.

Classification des isométries planes ayant un point fixe

  • Une isométrie du plan ayant trois points fixes non alignés est l'identité.
  • Une isométrie du plan autre que l'identité ayant au moins deux points fixes A et B est la réflexion par rapport à la droite (AB).
  • Une isométrie du plan ayant un unique point fixe A est une rotation de centre A.


Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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