Longueur d'un arc : définition et explications

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Mardi 21 Mai 2013

Présentation moderne : courbe rectifiable et longueur

Approche par la notion de vitesse

Voici une première façon d'introduire la longueur, à partir de la notion un peu floue de "longueur d'un vecteur (En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des opérations simples.) déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la...) infinitésimal". Comme historiquement le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:) a précédé la définition précise des notions de limite et de borne supérieure, cette première définition de la longueur relève d'une tradition différente de la suivante et peut sembler plus parlante.

On se place pour ce calcul dans le plan euclidien, rapporté à un repère orthonormal. On envisage un arc paramétré de classe $\mathcal C^1$ donné par une fonction $\overrightarrow{f}(t)=(x(t),y(t))$ pour t variant dans un segment [a,b]. On va obtenir une formule pour la longueur en manipulant librement les notations différentielles, ce qui pourrait être rendu parfaitement rigoureux.

On peut parler du vecteur déplacement infinitésimal

$\overrightarrow{df} = \overrightarrow{f}(t+dt)-\overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{\frac{df}{dt}}dt~$

Notons sa norme ds : c'est la longueur infinitésimale parcourue pendant l'intervalle de temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les éléments qui le composent bougent, se transforment et évoluent...) dt. Alors la longueur de l'arc est obtenue en sommant ces longueurs élémentaires

$L=\int ds = \int_a^b \frac{ds}{dt} dt = \int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\| dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt~$

On pourra résumer cette formule en exprimant la valeur de la longueur infinitésimale sous la forme

d s 2 = d x 2 + d y 2

D'autres formules peuvent s'établir de la même façon (pour des courbes de l'espace euclidien à 2, 3 dimensions), avec, suivant le système de coordonnées choisi

$d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2$ coordonnées cartésiennes dans l'espace
$d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2$ coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) dans le plan
$d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + d z 2$ coordonnées cylindriques dans l'espace
$d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d φ$ coordonnées sphériques dans l'espace
$ds^2=dx_1^2+...+dx_n^2$ coordonnées cartésiennes dans l'espace euclidien à n dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.)

Pour donner à ces formules un sens rigoureux, il faudrait introduire les notions générales de forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points...) et de tenseur métrique. Pour obtenir les formules usuelles, il suffit cependant de manipuler l'interprétation en termes d'éléments de longueur infinitésimaux.

Le s qui pointe son nez dans ces formules est cependant une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) intéressante pour elle-même : l'abscisse curviligne, version algébrisée de la longueur.

Notions générales de courbe rectifiable et de longueur d'arc

Le paragraphe précédent masquant un certain nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) de difficultés et n'étant valable que pour des arcs dérivables (pour lesquels on peut parler de vecteur vitesse), on procède à une définition plus générale et plus géométrique.

Définitions

Une courbe est rectifiable si les lignes polygonales inscrites sur celle-ci sont de longueur uniformément bornée.

Si $t \mapsto f(t)$ décrit la courbe (t dans [a,b]), alors une ligne polygonale $P$ inscrite est donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par ses sommets $M i = f (t i)$ , pour n'importe quel choix $t 0 = a < t 1 < t 2 < ... < t n = b$ (la courbe peut-être fermée ou non). La longueur de cette ligne est

L(P) =	∑	M_iM_{i + 1}
	i

La courbe est dite rectifiable si la longueur $L (P)$ est majorée par une constante $C$ indépendante du choix des $t i$ .

La longueur de la courbe est alors par définition le $s u p L (P)$ pris sur toutes les lignes polygonales possibles.

Remarques :

cette définition a un sens dès lors que l'espace est muni d'une norme

la notion de courbe rectifiable, de longueur sont indépendantes du choix de paramètre ;

la courbe donnée par la graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de $x \mapsto x cos (1/x^2)$ n'est pas rectifiable.

le graphe d'une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette...) (y=f(x)) continûment dérivable définie sur un segment [a,b] est rectifiable avec la formule

$L(f)=\int_a^b \sqrt{1+(f'(t))^2} dt$

Longueur d'une portion de graphe - démonstration (En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie.)

Considérons une courbe du plan ?², et supposons que la courbe soit le graphe d'une fonction continûment dérivable du segment [a, b] dans ?.

Soit σ=(a₀, …, a_n) une subdivision de [a, b]. Nous pouvons lui associer la ligne polygonale de sommets : (a_k, f(a_k)) (k = 0,…,n). Sa longueur est la somme :

$\sum_{i=1}^n\sqrt{(a_i-a_{i-1})^2+(f(a_i)-f(a_{i-1}))^2}$

D’après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) des accroissements finis, pour tout i de {1, 2, ..., n}, il existe ξ_i dans l’intervalle a_i-1, a_i[ tel que

f(a_i)-f(a_i-1)=f'(ξ_i )(a_i-a_i-1)

La longueur de la ligne polygonale s’écrit :

$\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})\sqrt{1+f^{\prime}(\xi_i)^2}$

Nous reconnaissons une somme de Riemann de la fonction $x\mapsto \sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}$ . L’intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on...) $\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}dx$ représente la longueur de la courbe.

un arc paramétré par t dans [a,b] et continûment dérivable est rectifiable avec la formule

$L(f)=\int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\| dt$

Longueur d'un arc paramétré - démonstration

Considérons une courbe paramétrée de ?³ définie par :

$t\mapsto M(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\\\end{pmatrix}$

où x, y, z sont des fonctions continûment différentiables sur un segment [a, b]. Notons $| | . | |$ la norme euclidienne de ?³. Considérons σ=(t₀, …, t_n) une subdivision de [a, b]. La somme

$\sum_{i=1}^n ||M(t_i)-M(t_{i-1})||=\sum_{i=1}^n \sqrt{(x(t_i)-x(t_{i-1}))^2+(y(t_i)-y(t_{i-1}))^2+(z(t_i)-z(t_{i-1}))^2}$

représente la longueur de la ligne polygonale dont les sommets sont les points M(t_i).

D’après le théorème des accroissements finis, pour tout i dans {1, …, n}, il existe α_i, β_i et γ_i dans ]t_i-1, t_i[ tels que :

x(t_i)- x(t_i-1)= (t_i-t_i-1) x’(α_i)

y(t_i)- y(t_i-1)= (t_i-t_i-1) y’(β _i)

z(t_i)- z(t_i-1)= (t_i-t_i-1) z’(γ _i)

La somme est égale à :

$\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\sqrt{(x^{\prime}(\alpha_i))^2+(y^{\prime}(\beta_i))^2+(z^{\prime}(\gamma_i))^2}$

En utilisant l’uniforme continuité (La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques.) sur [a, b]³, de l’application $(r, s, t)\mapsto \sqrt{x^{\prime}(r)+ y^{\prime}(s)+ z^{\prime}(t)}$ , nous démontrons que la différence entre la somme précédente et la somme suivante :

$\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\sqrt{(x^{\prime}(t_i))^2+(y^{\prime}(t_i))^2+(z^{\prime}(t_i))^2}$

tend vers 0 lorsque le pas des subdivisions tend vers 0. Cette dernière somme est une somme de Riemann de la fonction:

$t\mapsto \sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2+(z^{\prime}(t))^2}$ .

L’intégrale $\int_a^b \sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2+(z^{\prime}(t))^2}\,dt$ représente la longueur de la courbe.

Si l'arc était lipschitzien, il serait encore rectifiable.

Calculs de longueurs classiques

La formule de calcul de la longueur faisant intervenir une intégrale de racine carrée (En mathématiques, la racine carrée d’un nombre x est un nombre dont le carré (la multiplication du nombre par lui-même) vaut x. Tout nombre réel positif possède une racine carré positive unique,...), il est fréquent que la longueur ne puisse se calculer à l'aide de fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le secondaire, et sont toutes définies sur R ou un...).

Ainsi un problème en apparence aussi simple que de calculer la circonférence de l'ellipse en fonction des demi-axes conduit à des intégrales qu'on ne peut pas expliciter plus avant : on parle d'ailleurs d'intégrales elliptiques (de seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une...) espèce en l'occurrence).

Courbes pour lesquelles le calcul est possible à l'aide des fonctions usuelles

le segment de droite
l'arc de cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.)
l'arc de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses...)
l'arc de chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force...)
l'arc de cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe...), d'hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il...), d'épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour...)
l'arc de spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :)
...

Continuité de la fonction longueur

Posons la question en termes flous : deux courbes " proches " ont-elles des longueurs voisines ?

Voici un exemple négatif. On prend le graphe de la fonction constante égale à 0 sur [0,1]. Celui-ci est de longueur 1. On fabrique facilement une suite de fonctions continues sur [0,1], rectifiables, qui converge uniformément vers f et dont la longueur ne converge pas vers 1.

Par exemple : f₁ est une fonction triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points en général supposés non alignés, et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) avec des pentes 1 sur [0,1/2] et -1 sur [1/2,1]. Puis f₂ est une fonction formée de deux triangles, avec des pentes 1 sur [0,1/4], -1 sur [1/4,1/2], 1 sur [1/2,3/4], -1 sur [3/4,1], et ainsi de suite (4,8,16 triangles, ...). Chacune des fonctions f_n a un graphe de longueur $\sqrt{2}$ , et par ailleurs il y a bien convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet...) vers f.

Pour obtenir des résultats de continuité pour l'application " longueur ", il ne faut donc pas travailler avec la norme de la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) uniforme. Il faudrait plutôt une norme du type de celles des espaces de Sobolev.

L'histoire du calcul des longueurs d'arc

Pendant une très longue période de l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l'Amérique centrale. Dans la mesure...), la notion de longueur d'arc a paru parfaitement inaccessible au calcul. La possibilité de définir une telle longueur a même souvent été mise en doute, comme ce fut le cas pour les limites.

Méthode d'exhaustion

Les premiers calculs concernant les longueurs d'arc furent donc des calculs approchés, suivant la méthode d'exhaustion. Divers géomètres, avec une virtuosité de plus en plus grande, s'ingénièrent à inscrire sur les courbes remarquables des lignes polygonales, avec un découpage de plus en plus fin. Ils obtenaient ainsi une valeur approchée de plus en plus précise pour la longueur. La même méthode servait à effectuer des calculs approchés pour les aires.

Au XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33...), la méthode d'exhaustion permit la rectification, par des procédés géométriques, de plusieurs courbes transcendantes : la spirale ((voir page de discussion)) logarithmique par Torricelli en 1645 (attribué par certains à John Wallis dans les années 1650), la cycloïde par Christopher Wren (Christopher Wren (20 octobre 1632, East Knoyle - 25 février 1723, Hampton Court) est un savant et architecte britannique du XVIIe siècle, célèbre pour son rôle dans la...) en 1658, et la caténoïde par Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659 eut lieu la rectification de la première courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe non algébrique est dite...) non triviale, la parabole semi-cubique (ou parabole de Neile, du nom de son découvreur).

Premiers pas en calcul infinitésimal

Avant même le plein avènement du calcul infinitésimal, les premières fondations (Les fondations d'un ouvrage assurent la transmission et la répartition des charges (poids propre et surcharges climatiques et d'utilisation) de cet ouvrage sur le sol. Le mode de fondation sera établi...) pour obtenir la formule intégrale donnant la longueur d'arc furent jetées indépendamment par Hendrik van Heuraet et Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ».).

En 1659 van Heuraet publia une construction par laquelle la longueur d'arc pouvait s'interpréter comme l'aire sous une courbe - donc effectivement une intégrale - et appliqua cela au cas de la parabole. En 1660, Fermat publia une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) plus générale, englobant ce résultat, dans De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica.

Problèmes de minimum

Plus court chemin entre deux points

Il est bien connu qu'en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les...), la ligne droite est le plus court chemin entre deux points.

si on prend la définition générale d'arc rectifiable, la propriété est immédiate

En effet la longueur de l'arc est supérieure à celle de la ligne droite joignant origine et extrémité de l'arc (qui est une ligne polygonale particulière). Toutes les autres lignes polygonales sont d'ailleurs de plus grande longueur par l'inégalité triangulaire.

si on utilise comme expression de la longueur l'intégrale de la norme du vecteur dérivé :

On appelle A et B les extrémités de l'arc et on compare la longueur de l'arc avec celle de l'arc obtenu par projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une...) orthogonale sur (A,B). Comme la projection orthogonale diminue les normes, notre arc est plus long qu'un arc tracé sur une droite et reliant A à B, lui même plus long que l'arc [A,B].

Longueur et énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.)

Dans de nombreux problèmes de minimisation, on peut essayer d'utiliser l'énergie de l'arc

$E= \int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\|^2 dt~$

qui a l'avantage de ne pas faire intervenir de racine carrée.

En outre énergie et longueur ne sont pas sans lien : lorsque l'arc admet une paramétrage normal (à vitesse uniforme 1), longueur et énergie sont égales. La courbe d'énergie minimale entre deux points est encore la droite, parcourue à vitesse uniforme.

Cette énergie représente une "énergie élastique (L'énergie élastique est l'énergie représentant la déformation élastique d'un objet solide ou d'un fluide (pression d'un gaz ou d'un liquide).) de déformation". On la fait intervenir par exemple dans l'inégalité isopérimétrique ou la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique...) de géodésiques.

Autres problèmes de minimisation

Inégalité isopérimétrique : le cercle est la courbe fermée de plus petite longueur enserrant un domaine d'aire donnée.

les splines minimisent l'énergie entre deux points avec vecteurs vitesses initiales donnés.

la recherche de plus courts chemins dans un espace courbe, ou géodésiques, fait intervenir un cadre beaucoup plus général : la géométrie (Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace....) riemannienne. On donne ci-dessous l'expression de la longueur dans ce cadre.

la brachistochrone minimise le temps de parcours entre deux points, pour des particules soumises à une accélération (Dans la vie courante, on distingue trois événements que le physicien regroupe sous le seul concept d'accélération :) constante (pesanteur). Ceci permet de faire un parallèle entre présence de ce champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'accélération et recherche de plus court chemin dansun espace courbe (cf relativité générale).

Les deux derniers problèmes demandent de faire appel aux techniques du calcul des variations.

Généralisation : longueur d'un arc dans une variété riemannienne

Supposons que M est une variété riemannienne et que γ: [a, b] → M est une courbe continuement dérivable sur M, alors on peut définir la longueur et l'énergie de cette courbe par :

$L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;dt\qquad E(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|^2\;dt$

où $\|\gamma'(t)\|$ est la norme de γ'(t) induite par le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle...) pris sur l'espace tangent en γ(t).

La recherche de plus courts chemins, qu'il faut envisager sous deux aspects : local et global, relève alors du calcul de géodésiques.

Définition

La longueur de la représentation graphique d'une fonction pourrait s'apparenter au périmètre (Le périmètre (du grec ancien : perimetros, mesure du tour) désigne la longueur totale du contour d'une surface. Le périmètre désigne aussi la ligne de forme quelconque qui ferme...) d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) géometrique tel qu'un cercle, un triangle. Ici on pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) le concept plus loin en généralisant à toutes les fonctions.

La longueur de la représentation graphique de $\displaystyle f(x)$ sur $\displaystyle [ a ; b ]$ ( $\displaystyle a<b$ et $a,b \in \R$ ) est :

$\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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