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Longueur d'un arc

Intuitivement, la longueur d’une courbe ou d'un arc (portion) de courbe est la longueur de ficelle qu'il faudrait dérouler pour la parcourir complètement. Cette longueur peut être obtenue si on connaît le temps de parcours et la vitesse (On distingue :).

Pour donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) générale de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) d'un arc, il faut commencer par formaliser la notion de distance, en général dans le cadre d'un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou...). On sait alors mesurer la longueur de courbes simples : les lignes polygonales.

Les Anciens sans disposer d'un procédé de calcul explicite, se contentaient d'approcher les longueurs de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...), en considérant des lignes polygonales joignant des points de la courbe. C'est la méthode d'exhaustion, qui avait été initiée par Eudoxe de Cnide et Archimède pour les calculs d'aires.

Ces calculs approchés de longueur peuvent servir de fondement à une définition générale permettant de dépasser la vision intuitive de la longueur. La longueur de l'arc sera la borne supérieure, si elle existe, des longueurs de telles lignes polygonales.

Lorsque la courbe est paramétrée de façon suffisamment régulière, on obtient une formule explicite pour la longueur, issue du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.). On peut alors utiliser la notion d'abscisse curviligne qui est une sorte de longueur algébrique, tenant compte de l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;), et qui permet de reparamétrer la courbe de façon à s'affranchir des considérations sur la vitesse de parcours.

Présentation moderne : courbe rectifiable et longueur

Approche par la notion de vitesse

Voici une première façon d'introduire la longueur, à partir de la notion un peu floue de "longueur d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) infinitésimal". Comme historiquement le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures...) a précédé la définition précise des notions de limite et de borne supérieure, cette première définition de la longueur relève d'une tradition différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...) de la suivante et peut sembler plus parlante.

On se place pour ce calcul dans le plan euclidien, rapporté à un repère orthonormal. On envisage un arc paramétré de classe \mathcal C^1 donné par une fonction \overrightarrow{f}(t)=(x(t),y(t)) pour t variant dans un segment [a,b]. On va obtenir une formule pour la longueur en manipulant librement les notations différentielles, ce qui pourrait être rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets...) parfaitement rigoureux.

On peut parler du vecteur déplacement infinitésimal

\overrightarrow{df} = \overrightarrow{f}(t+dt)-\overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{\frac{df}{dt}}dt~

Notons sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle...) ds : c'est la longueur infinitésimale parcourue pendant l'intervalle de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dt. Alors la longueur de l'arc est obtenue en sommant ces longueurs élémentaires

L=\int ds = \int_a^b \frac{ds}{dt} dt =  \int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\| dt =  \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt~

On pourra résumer cette formule en exprimant la valeur de la longueur infinitésimale sous la forme

ds2 = dx2 + dy2

D'autres formules peuvent s'établir de la même façon (pour des courbes de l'espace euclidien à 2, 3 dimensions), avec, suivant le système de coordonnées choisi

  • ds2 = dx2 + dy2 + dz2 coordonnées cartésiennes dans l'espace
  • ds2 = dr2 + r2dθ2 coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) dans le plan
  • ds2 = dr2 + r2dθ2 + dz2 coordonnées cylindriques dans l'espace
  • ds2 = dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ coordonnées sphériques dans l'espace
  • ds^2=dx_1^2+...+dx_n^2 coordonnées cartésiennes dans l'espace euclidien à n dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...)

Pour donner à ces formules un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) rigoureux, il faudrait introduire les notions générales de forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans...) et de tenseur métrique. Pour obtenir les formules usuelles, il suffit cependant de manipuler l'interprétation en termes d'éléments de longueur infinitésimaux.

Le s qui pointe son nez (Le nez (du latin nasus) est chez l'homme la saillie médiane du visage située au-dessus de la lèvre supérieure et qui, en le surplombant, recouvre l'orifice des fosses nasales, qui constituent le segment supérieur...) dans ces formules est cependant une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection...) intéressante pour elle-même : l'abscisse curviligne, version algébrisée de la longueur.

Notions générales de courbe rectifiable et de longueur d'arc

Le paragraphe précédent masquant un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de difficultés et n'étant valable que pour des arcs dérivables (pour lesquels on peut parler de vecteur vitesse), on procède à une définition plus générale et plus géométrique.

Définitions

Une courbe est rectifiable si les lignes polygonales inscrites sur celle-ci sont de longueur uniformément bornée.

Si t \mapsto f(t) décrit la courbe (t dans [a,b]), alors une ligne polygonale P inscrite est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par ses sommets Mi = f(ti), pour n'importe quel choix t0 = a < t1 < t2 < ... < tn = b (la courbe peut-être fermée ou non). La longueur de cette ligne est

L(P) = MiMi + 1
i

La courbe est dite rectifiable si la longueur L(P) est majorée par une constante C indépendante du choix des ti.

La longueur de la courbe est alors par définition le supL(P) pris sur toutes les lignes polygonales possibles.

Remarques :

  • cette définition a un sens dès lors que l'espace est muni d'une norme
  • la notion de courbe rectifiable, de longueur sont indépendantes du choix de paramètre ;
  • la courbe donnée par la graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de x \mapsto x cos (1/x^2) n'est pas rectifiable.
  • le graphe d'une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir...) (y=f(x)) continûment dérivable définie sur un segment [a,b] est rectifiable avec la formule
L(f)=\int_a^b \sqrt{1+(f'(t))^2} dt


  • un arc paramétré par t dans [a,b] et continûment dérivable est rectifiable avec la formule
L(f)=\int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\| dt


Si l'arc était lipschitzien, il serait encore rectifiable.

Calculs de longueurs classiques

La formule de calcul de la longueur faisant intervenir une intégrale de racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette...), il est fréquent que la longueur ne puisse se calculer à l'aide de fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins connues dans le...).

Ainsi un problème en apparence aussi simple que de calculer la circonférence de l'ellipse en fonction des demi-axes conduit à des intégrales qu'on ne peut pas expliciter plus avant : on parle d'ailleurs d'intégrales elliptiques (de seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. La...) espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept flou dont il existe une...) en l'occurrence).

Courbes pour lesquelles le calcul est possible à l'aide des fonctions usuelles

  • le segment de droite
  • l'arc de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...)
  • l'arc de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès...)
  • l'arc de chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre...)
  • l'arc de cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe...), d'hypocycloïde (Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas...), d'épicycloïde (Une épicycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur, les disques ouverts ayant ces deux cercles pour frontière étant...)
  • l'arc de spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :)
  • ...

Continuité de la fonction longueur

Posons la question en termes flous : deux courbes " proches " ont-elles des longueurs voisines ?

Voici un exemple négatif. On prend le graphe de la fonction constante égale à 0 sur [0,1]. Celui-ci est de longueur 1. On fabrique facilement une suite de fonctions continues sur [0,1], rectifiables, qui converge uniformément vers f et dont la longueur ne converge pas vers 1.

Par exemple : f1 est une fonction triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) avec des pentes 1 sur [0,1/2] et -1 sur [1/2,1]. Puis f2 est une fonction formée de deux triangles, avec des pentes 1 sur [0,1/4], -1 sur [1/4,1/2], 1 sur [1/2,3/4], -1 sur [3/4,1], et ainsi de suite (4,8,16 triangles, ...). Chacune des fonctions fn a un graphe de longueur \sqrt{2}, et par ailleurs il y a bien convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet...) vers f.

Pour obtenir des résultats de continuité pour l'application " longueur ", il ne faut donc pas travailler avec la norme de la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) uniforme. Il faudrait plutôt une norme du type de celles des espaces de Sobolev.

L'histoire du calcul des longueurs d'arc

Pendant une très longue période de l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l'Amérique centrale. Dans la mesure où historiquement la recherche en mathématiques s'est concentrée dans divers...), la notion de longueur d'arc a paru parfaitement inaccessible au calcul. La possibilité de définir une telle longueur a même souvent été mise en doute, comme ce fut le cas pour les limites.

Méthode d'exhaustion

Les premiers calculs concernant les longueurs d'arc furent donc des calculs approchés, suivant la méthode d'exhaustion. Divers géomètres, avec une virtuosité de plus en plus grande, s'ingénièrent à inscrire sur les courbes remarquables des lignes polygonales, avec un découpage de plus en plus fin. Ils obtenaient ainsi une valeur approchée de plus en plus précise pour la longueur. La même méthode servait à effectuer des calculs approchés pour les aires.

Au XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et...), la méthode d'exhaustion permit la rectification, par des procédés géométriques, de plusieurs courbes transcendantes : la spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) logarithmique par Torricelli en 1645 (attribué par certains à John Wallis dans les années 1650), la cycloïde par Christopher Wren (Christopher Wren (20 octobre 1632, East Knoyle - 25 février 1723, Hampton Court) est un savant et architecte britannique du XVIIe siècle, célèbre pour son rôle dans la...) en 1658, et la caténoïde par Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659 eut lieu la rectification de la première courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe non...) non triviale, la parabole semi-cubique (ou parabole de Neile, du nom de son découvreur).

Premiers pas en calcul infinitésimal

Avant même le plein avènement du calcul infinitésimal, les premières fondations (Les fondations d'un ouvrage assurent la transmission et la répartition des charges (poids propre et surcharges climatiques et d'utilisation) de cet ouvrage sur le...) pour obtenir la formule intégrale donnant la longueur d'arc furent jetées indépendamment par Hendrik van Heuraet et Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et mathématicien français,...).

En 1659 van Heuraet publia une construction par laquelle la longueur d'arc pouvait s'interpréter comme l'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) sous une courbe - donc effectivement une intégrale - et appliqua cela au cas de la parabole. En 1660, Fermat publia une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) plus générale, englobant ce résultat, dans De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica.

Problèmes de minimum

Plus court chemin entre deux points

Il est bien connu qu'en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de...), la ligne droite est le plus court chemin entre deux points.

  • si on prend la définition générale d'arc rectifiable, la propriété est immédiate

En effet la longueur de l'arc est supérieure à celle de la ligne droite joignant origine et extrémité de l'arc (qui est une ligne polygonale particulière). Toutes les autres lignes polygonales sont d'ailleurs de plus grande longueur par l'inégalité triangulaire.

  • si on utilise comme expression de la longueur l'intégrale de la norme du vecteur dérivé :

On appelle A et B les extrémités de l'arc et on compare la longueur de l'arc avec celle de l'arc obtenu par projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale sur (A,B). Comme la projection orthogonale diminue les normes, notre arc est plus long qu'un arc tracé sur une droite et reliant A à B, lui même plus long que l'arc [A,B].

Longueur et énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.)

Dans de nombreux problèmes de minimisation, on peut essayer d'utiliser l'énergie de l'arc

E= \int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\|^2 dt~

qui a l'avantage de ne pas faire intervenir de racine carrée.

En outre énergie et longueur ne sont pas sans lien : lorsque l'arc admet une paramétrage normal (à vitesse uniforme 1), longueur et énergie sont égales. La courbe d'énergie minimale entre deux points est encore la droite, parcourue à vitesse uniforme.

Cette énergie représente une "énergie élastique (L'énergie élastique est l'énergie représentant la déformation élastique d'un objet solide ou d'un fluide (pression d'un gaz ou d'un liquide).) de déformation". On la fait intervenir par exemple dans l'inégalité isopérimétrique ou la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) de géodésiques.

Autres problèmes de minimisation

  • Inégalité isopérimétrique : le cercle est la courbe fermée de plus petite longueur enserrant un domaine d'aire donnée.
  • les splines minimisent l'énergie entre deux points avec vecteurs vitesses initiales donnés.
  • la recherche de plus courts chemins dans un espace courbe, ou géodésiques, fait intervenir un cadre beaucoup plus général : la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) riemannienne. On donne ci-dessous l'expression de la longueur dans ce cadre.
  • la brachistochrone minimise le temps de parcours entre deux points, pour des particules soumises à une accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur...) constante (pesanteur). Ceci permet de faire un parallèle entre présence de ce champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'accélération et recherche de plus court chemin dansun espace courbe (cf relativité générale).

Les deux derniers problèmes demandent de faire appel aux techniques du calcul des variations.

Généralisation : longueur d'un arc dans une variété riemannienne

Supposons que M est une variété riemannienne et que γ: [a, b] → M est une courbe continuement dérivable sur M, alors on peut définir la longueur et l'énergie de cette courbe par :

L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;dt\qquad  E(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|^2\;dt

\|\gamma'(t)\| est la norme de γ'(t) induite par le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui...) pris sur l'espace tangent en γ(t).

La recherche de plus courts chemins, qu'il faut envisager sous deux aspects : local et global, relève alors du calcul de géodésiques.

Définition

La longueur de la représentation graphique d'une fonction pourrait s'apparenter au périmètre (Le périmètre (du grec ancien : perimetros, mesure du tour) désigne la longueur totale du contour d'une surface. Le périmètre désigne aussi la ligne de forme...) d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) géometrique tel qu'un cercle, un triangle. Ici on pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) le concept plus loin en généralisant à toutes les fonctions.

La longueur de la représentation graphique de \displaystyle f(x) sur \displaystyle [ a ; b ] ( \displaystyle a<b et a,b \in \R ) est :

\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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