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Losange

Dans un espace affine normé, un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.

Propriétés

Pour tout quadrilatère d'un plan affine euclidien (espace affine euclidien de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) 2) les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. Le quadrilatère est un losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.).
  2. Le quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme...).
  3. Le quadrilatère est un parallélogramme et ses diagonales sont perpendiculaires.

Ces équivalences sont cependant en défaut dans le cas d'un losange aplati (le point (Graphie) 3 n'a alors pas de sens) :

Losange aplati ABCD

Preuve

Soit ABCD un quadrilatère. Soit I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].

Comme A \neq C on peut parler de la médiatrice dAC de [AC]. Comme B \neq D on peut parler de la médiatrice dBD de [BD].

Montrons (1) implique (2) :

On suppose que ABCD est un losange.

Comme c'est un parallélogramme, on a AB = CD, BC = AD et comme c'est un losange, on a AB = CB. Par transitivité, AB = BC = CD = DA.

Montrons (2) implique (3) :

On suppose que AB = BC = CD = DA.

De AB = BC et CD = DA, on conclut (DB) = dAC. Ainsi (DB) est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la...) à (AC) et I appartient à (DB) et (AC).

De BC = CD, on conclut que C \in d_{BD}.

On a (DB)\perp(AC) et (d_{BD})\perp(BD) donc (d_{BD})\parallel(AC). Comme dBD et (AC) ont le point C en commun, on conclut que dBD = (AC) et donc que J appartient à (AC) et (BD).

Comme (AC) et (BD) sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc I = J. ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.

Montrons (3) implique (1) :

On suppose que (AC) et (BD) sont perpendiculaires et que ABCD est un parallélogramme. Comme (AC) est perpendiculaire à (BD) et passe par J, on conclut que (AC) = dBD et donc que CB = CD.

Remarque

La définition du losange comme étant un parallélogramme impose qu'un losange est une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux...). Il existe des quadrilatères (avec quatre sommets bien distincts) ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. Il suffit de se placer dans un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais...) euclidien de dimension 3 et de faire subir à un côté d'un "vrai losange" une rotation suivant l'une des ses diagonales.

Aire

Si a et b sont les longueurs des diagonales, alors l'aire du losange est :
A=\frac{a \times b}{2}
en effet, les diagonales définissent quatre triangles rectangles qu'il suffit de réagencer pour avoir un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) dont les côtés sont a/2 et b (par exemple) ; on applique alors la formule donnant l'aire du rectangle.

Rhomboèdre

Un rhomboèdre est un polyèdre dont les six faces sont des losanges.

Anecdote

« Le Losange » ou « la marque au losange » sont des expressions régulièrement utilisées pour désigner la marque automobile (Une automobile, ou voiture, est un véhicule terrestre se propulsant lui-même à l'aide d'un moteur. Ce véhicule est...) Renault, par analogie à la forme de son logo.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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