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Médiane

Utilisation du terme

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Mathématiques

Le terme de médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :), du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne)...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage...)

  • En géométrie, les médianes d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) sont les segments de droites joignant les sommets aux milieux des côtés opposés.
    • La médiane issue du sommet A d'un triangle ABC est le segment [AM] où M désigne le milieu du segment [BC]. Par extension mais aussi de manière plus rigoureuse, le nom de médiane s'applique à la droite (AM).
    • Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point (Graphie) d'intersection est le centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.). Il est situé aux \frac 2 3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
    • Le centre de gravité G vérifie la relation vectorielle : \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \,
    • Dans un triangle une médiane sépare le triangle en deux triangles d'aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) égales.
  • Dans un triangle isocèle la médiane relative à la base est axe de symétrie du triangle et les deux autres médianes sont de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) égale.
    • Réciproquement si dans un triangle deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.
Médiane AM
  • Le dessin ci-contre montre que la médiane issue du sommet de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit dans un triangle rectangle mesure la moitié de l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine carrée de la somme des carrés des...).
    • Réciproquement si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.
  • Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de la médiane
    • Forme vectorielle du " théorème de la médiane " dans le triangle ABC où M est le milieu de [BC] : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AM}.
    • Le " deuxième théorème de la médiane " affirme que AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AM^2 quelle que soit la forme du triangle. Il fut énoncé par Apollonius de Perga (Apollonius de Perga ou Perge (v. 262 – v. 190 av. J.-C.) était un géomètre grec et un astronome, célèbre pour ses écrits sur les sections coniques. Ce fut Apollonius qui donna à l'ellipse, à la parabole, et à l'hyperbole...).
  • Voir aussi l'article Triangle
  • En géométrie toujours, les médianes du quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.) sont les segments reliant les milieux des côtés opposés.
Médianes d'un quadrilatère

Les médianes sont les diagonales du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) de Varignon, elles se coupent en leurs milieux.

    • L'associativité des barycentres peut aussi justifier que le milieu des médianes est le centre de gravité du quadrilatère
      (voir : barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond)).

Géométrie, dans l'espace

  • En géométrie, dans l'espace cette fois-ci, on appelle médianes d'un tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) les segments ayant pour extrémités un sommet du tétraèdre et le centre de gravité de la face opposée à ce sommet. Il y a donc 4 médianes dans un tétraèdre, elles se coupent en un point qui est l'isobarycentre du tétraèdre.
    • Dans un tétraèdre régulier (toutes les faces sont des triangles équilatéraux), les médianes sont aussi les hauteurs (on dira que ce tétraèdre est orthencentrique... car, contrairement aux triangles, les hauteurs d'un tétraèdre ne sont pas forcément concourantes !). La molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui peut exister à l'état libre, et qui représente la plus petite quantité de matière...) de méthane (Le méthane est un hydrocarbure de formule brute CH4. C'est le plus simple composé de la famille des alcanes. C'est un gaz que l'on trouve à l'état naturel et qui est...) CH4 illustre ce cas : les sommets sont occupés par des atomes d'hydrogène ; l'atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner...) de carbone (Le carbone est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole C, de numéro atomique 6 et de masse atomique 12,0107.) se situe au point de rencontre des médianes !

Statistiques

  • En Statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de...), la médiane est la valeur qui permet de partager une série numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) en deux parties de même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'éléments.
    • C'est l'une des caractéristiques d'une série numérique, qu'il convient de bien distinguer de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) même si ces deux valeurs sont voisines dans le cas d'une distribution équilibrée (voir l'article Critères de position). La médiane entre 2 points est son milieu. Le salaire médian désigne ainsi le palier divisant la société en deux parties égales: 50% de la population gagne moins que le salaire médian et l'autre moitié de la population gagne plus.

Voir Médiane (mathématiques élémentaires)

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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