En géométrie affine, le parallélisme est une propriété relative aux droites, aux plans ou plus généralement aux sous-espaces affines. La notion de parallélisme a été initialement formulée par Euclide dans ses éléments, mais sa présentation a évolué dans le temps, passant d'une définition axiomatique à une simple définition.
La notion de parallélisme existe déjà dans les éléments d'Euclide. Il est important de souligner que, pour Euclide, une droite s'apparente plutôt à un ségment.
Le postulat 5 Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits permet de prouver
En résumé, en acceptant de considérer des droites confondues comme parallèles, on peut voir que la relation de parallélisme est alors
Ce qui permet de dire que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont les directions des droites.
Une droite est définie par un point et un vecteur directeur. Deux droites sont dites parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il apparait alors que deux droites confondues sont parallèles selon cette définition alors qu'elles ne l'étaient pas selon la définition d'Euclide. Deux droites distinctes parallèles sont alors appelées strictement parallèles.
Dans un espace affine, deux plans sont définis par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.
Deux plans sont parallèles si et seulement si les quatre vecteurs directeurs sont coplanaires. Dans un espace de dimension trois, deux plans sont ou bien parallèles (sans points commun ou confondus) ou bien sécants suivant une droite.
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si les trois vecteurs directeurs (les deux du plan et celui de la droite) sont coplanaires. Dans un espace de dimension 3, étant donnés une droite et un plan, ou bien la droite est parallèle au plan, ou bien la droite et le plan sont sécants suivant un point.
Un espace affine de dimension p est défini à l'aide d'un point et d'un sous-espace vectoriel de dimension p appelé direction de l'espace affine. Deux sous-espace affine de dimension p sont parallèles si et seulement si ils ont le même sous-espace vectoriel comme direction. Deux sous-espace affines parallèles sont disjoints ou confondus.
La relation de parallélisme reste une relation d'équivalence sur l'ensemble des sous-espaces affines de dimension p