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Perspective isométrique
Plan d'une fortification en perspective isométrique
Plan d'une fortification en perspective isométrique

La perspective isométrique est une méthode de représentation en perspective dans laquelle les trois directions de l'espace sont représentées avec la même importance, d'où le terme.

C'est un cas particulier de perspective axonométrique.

Principe

cube vu en perspective isométrique
cube (En géométrie élémentaire, un cube est un prisme dont les côtés sont tous égaux. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un...) vu en perspective isométrique (La perspective isométrique est une méthode de représentation en perspective dans laquelle les trois directions de l'espace sont représentées avec la même importance, d'où le terme.)

En géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.), on définit un repère orthonormé.

La perspective isométrique correspond à une vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) selon la droite de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) directeur (1, 1, 1) dans ce repère. Ainsi, un cube dont les arrêtes suivent les axes du repère se voit selon sa grande diagonale, comme un hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés...).

Les axes se projettent donc sur un plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum...) à cette grande diagonale. Les longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) subissent une réduction (la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la...) est une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.), le facteur de réduction est le même pour toutes les longueurs sur un axe donné).

C'est une perspective qui est facile à exécuter dans le cas de forme simples. C'est une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais...) de la vue " réelle ", qui est satisfaisante tant que la profondeur reste faible : en particulier elle ne prend pas en compte la réduction de taille avec l'éloignement.

Règles de base pour dessiner en perspective isométrique

Les mesures

Placement d'un point sur la perspective isométrique
Placement d'un point (Graphie) sur la perspective isométrique

On parle de perspective isométrique car les distances sont reportées de la même manière sur les trois axes. On applique à toutes les longueurs qui sont colinéraires à un axe un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base...) réducteur de 0,82.

Dans le cas de la représentation d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...), on définit d'abord une face de l'objet que l'on considère comme la face avant, et l'on y place un repère ; dans ce plan, on n'a donc que deux axes visibles, le troisième est perpendiculaire au dessin. L'origine du repère est en général placé dans un coin.

On réalise ensuite deux vues (au moins) qui sont les projections orthogonales de l'objet sur la face avant et sur une face perpendiculaire (face de gauche, de droite, du dessus ou du dessous). Ensuite, il suffit de mesurer les coordonnées des points dans ce repère à partir des deux figures, et de reporter ces coordonnées sur les axes de la perspective isométrique en appliquant ce coefficient de 0,82.

Les angles

Les angles entre les axes (x, y et z) sont tous égaux (120°).

Les cercles

Cercles sur un cube vus en perspective isométrique
Cercles sur un cube vus en perspective isométrique

Les cercles sont des formes importantes dans le dessin technique ; ceci est une conséquence des procédées de fabrications des pièces (usinage) : perçage, fraisage (Le Fraisage est un procédé d'usinage par enlèvement de matière. Il se caractérise par le recours à une machine-outil : la fraiseuse. L'outil classiquement utilisé est la fraise.), tournage… Ils sont aussi importants en génie civil (Le Génie civil représente l'ensemble des techniques concernant les constructions civiles. Les ingénieurs civils s’occupent de la conception, de la réalisation, de l’exploitation et de la réhabilitation...) (débouchées de tuyaux, arc en plein-cintre, giratoires…). Lorsque l'on génère la perspective isométrique par odinateur, celui-ci peut calculer la transformation du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...). Mais ceci devient compliqué lorsque l'on dessine à la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné à saisir et manipuler des...).

Remarquons dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) qu'un cercle est toujours inscrit dans un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) auquel il est 4 fois tangent, au milieu des côtés. En vue de face, on contraint donc le cercle dans un carré.

En perspective isométrique, ce carré devient un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.). Les tangences restent les mêmes (milieu des côtés), mais le cercle devient une ellipse.

La projection oblique fait varier le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère.) du cercle entre 1 (grand diamètre de l'ellipse, donc diamètre horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la...) du cercle de départ projeté en vraie grandeur) et 0,58 (son petit diamètre, vu sous sa plus importante réduction dans la direction de la plus grande pente).

Des trace-ellipses normalisés permettent de tracer des ellipses respectant ces proportions pour plusieurs tailles de grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de cette conique. Le demi-grand axe est la moitié du grand axe.).

Défauts et limites de la perspective isométrique

Illustration de l'erreur induite par la perspective
Illustration de l'erreur induite par la perspective
Illustration de l'erreur induite par la perspective
Illustration de l'erreur induite par la perspective

Comme toutes les projections et toutes les perspectives, la perte de la troisième dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en...) des erreurs possibles d'interprétation. Ceci a été abondamment utilisé par l'artiste (Est communément appelée artiste toute personne exerçant l'un des métiers ou activités suivantes :) M. C. Escher pour créer des situations impossibles.

En l'occurrence, un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de...) de 1 cm sur l'axe z se traduit graphiquement de la même manière qu'un déplacement de 1 cm selon l'axe des x et des y, soit un déplacement de √2 ≈ 1,41 selon la " diagonale " de (x, y).

Utilisations de la perspective isométrique

Utilisation en dessin technique

les figures de gauche représentent les vues en géométrie descriptive ; la figure de droite représente une perspective isométrique avec une coupe
les figures de gauche représentent les vues en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) descriptive ; la figure de droite représente une perspective isométrique avec une coupe

En dessin industriel, on représente une pièce sous différents angles de vue, perpendiculairement à des axes. Ces axes sont " naturels " : une pièce ayant une fonction mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...) (liaison et mouvement avec d'autres pièces), elle présente des contraintes de forme et d'usinage qui font qu'elle a en général un axe de symétrie ou des faces planes. Ces axes ou les arrêtes de ces faces permettent de définir un repère orthogonal (que l'on choisit orthonormé).

On peut donc facilement exécuter une perspective isométrique d'une pièce à partir des vues en géométrie descriptive utilisées habituellement.

La perspective isométrique permet au lecteur de se représenter facilement la forme de la pièce, mais ne permet pas de transmettre des informations utiles à la conception et à la réalisation de la pièce.

Utilisation en architecture (L’architecture, terme issu du latin architectura, mot tiré du grec αρχιτεκτων (« maître-maçon ») de αρχι...)

Eugène Viollet-le-Duc (Eugène Emmanuel Viollet-le-Duc (Paris, 27 janvier 1814 - Lausanne (Suisse), 17 septembre 1879) est un architecte français, connu surtout pour ses restaurations de constructions...) l'a utilisée dans plusieurs de ses tableaux de châteaux (et de leurs bâtiments annexes) pour éviter d'accentuer l'importance de certains de ces éléments et de la position de l'observateur (le cavalier de la perspective cavalière dans l'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...) des fortifications).

Utilisation dans les jeux vidéo (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la restitution d'images animées, accompagnées ou non de son, sur un support adapté à...)

Un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de jeux vidéo mettant en œuvre des personnages utilisent une vue objective en perspective isométrique ; on parle souvent, dans ce domaine, de " perspective 3/4 ". D'un point de vue pratique, cela permet de déplacer les éléments graphiques (sprites) sans en changer la taille, ce qui était indispensable lorsque les ordinateurs étaient peu puissants, et présente toujours un grand intérêt pour les consoles de poche.

Cela pose cependant quelques problèmes de confusion (du fait de l'applatissement de l'image, la profondeur est rendue par un déplacement dans le plan).

En raison de la pixellisation, certain jeux, avant l'utilisation des algorithmes anticrénelage, faisaient progresser les axes selon un rapport de 2:1, ils étaient donc inclinés d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) de 26,6° (arctan 0,5) au lieu de 30°. Ce n'était donc pas de la perspective isométrique à proprement parler, mais une perspective dimétrique (un autre type de perspective axonométrique), mais le terme " isométrique " est cependant utilisé par abus de langage.

Approche mathématique

La perspective isométrique est en fait une projection sur un plan selon un axe orthogonal à ce plan : une projection orthogonale. C'est une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition...). une perspective est une mise en plan dans différentes vues dans l'espace. Une isométrie se perçoit 120°.

Facteur de report sur les axes

Illustration de la projection de l'axe des z sur le plan
Illustration de la projection de l'axe des z sur le plan

On peut calculer le facteur de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) sur les axes simplement grâce à la trigonométrie :

  • considérons l'arrête du cube qui va de l'origine au point (0,0,1) ; elle fait un angle α avec le plan de projection, le projeté a donc une longueur de cos α ;
  • α est aussi l'angle entre la normale au plan de projection passant par l'origine et par le point (1,1,1), et la bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.) des axes x et y qui passe par (1,1,0) ;
  • dans le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) formé par les points (0,0,0), (1,1,0) et (1,1,1) est un triangle rectangle ; le segment [(0,0,0),(1,1,0)] a pour longueur √2 (diagonale du carré), le segment [(1,1,0),(1,1,1)] a pour longueur 1, et l'hypothénuse [(0,0,0),(1,1,1)] a pour longueur √3

On a donc

\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82.

On en déduit que α ≈ 35,26 °.

On peut aussi utiliser le produit scalaire :

  • le vecteur unitaire porté par la grande diagonale est (1/√3, 1/√3, 1/√3) ;
  • l'arrête [(0,0,0),(0,0,1)] se projette sur la grande diagonale en un segment de longueur k1, et sur le plan normal à cette grande diagonale en un segment de longueur k2
  • k1 est le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire)....) de \vec{a} et de \vec{b}, et peut se calculer avec les coordonnées : k_1 = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}
  • le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé...) nous indique que k12 + k22 = 1 (longueur de l'arrête du cube).

On a donc :

k_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82.

Les longueurs des segments sur les axes du repère se projettent donc avec un facteur de 0,82.

On arrive également à cette conclusion en utilisant la formule générale des projections orthogonales, voir Perspective axonométrique > Perspective isométrique.

Par ailleurs, si l'on considère le cercle unité du plan (x,y), le rayon se projetant selon la ligne de plus grande pente est la première bissectrice du plan, avec un facteur de projection valant sin α = k1 = 1/√3 ≈ 0,58, ce qui correspond au petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre ses foyers et perpendiculairement à la ligne qui lie ceux-ci.) de l'ellipse.

Transformation des coordonnées

Projection de la base orthonormée de l'espace
Projection de la base orthonormée de l'espace

La transformation des coordonnées cartésienne est utilisée pour calculer les vues à partir des coordonnées des points, par exemple dans le cas de jeux vidéo ou de logiciels de représentation graphique 3D.

Supposons l'espace muni d'une base orthonormée directe (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}). La projection P se fait selon le vecteur \vec{u} de composantes (1,1,1), c'est-à-dire le vecteur \vec{u} = \vec{e_1}  + \vec{e_2} + \vec{e_3}, selon le plan représenté par ce même vecteur.

Comme toute application linéaire, elle peut être représentée par la transformation des vecteurs de la base, puisqu'un vecteur \vec{v} = v_1 \cdot \vec{e_1}  + v_2 \cdot \vec{e_2} + v_3 \cdot \vec{e_3} quelconque se transforme selon

P(\vec{v}) = P(v_1 \cdot \vec{e_1}  + v_2 \cdot\vec{e_2} + v_3\cdot\vec{e_3})
P(\vec{v}) = v_1 \cdot P(\vec{e_1})  + v_2 \cdot P(\vec{e_2}) + v_3\cdot P(\vec{e_3})

Soit \vec{e'_n} = P(\vec{e_n}). Appelons (\vec{i},\vec{j}) la base orthonormée directe dans le plan de projection. On choisit arbitrairement que \vec{e'_1} fait un angle de -π/6 avec \vec{i}.

L'application des calculs pour les projections orthogonales au cas particulier de la perspective isométrique nous donne (voir Perspective axonométrique > Perspective isométrique) :

  • \vec{e'_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j} ; k_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}
  • \vec{e'_2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j} ; k2 = [http: / / www.remplacez.url / parl'URLouadressedulien.htmlRemplacezcettementionparletitredulien]k1
  • \vec{e'_3} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \vec{j} ; k3 = k1

La matrice de la projection MP est donc

M_P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} & \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \end{pmatrix}

Considérons un point (x, y, z) de l'espace qui se projette en (x', y'). Sa projection sera donc

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = M_P \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} (x-y)  \\ \sqrt{\frac{2}{3}} z - \frac{1}{\sqrt{6}} (x + y) \\ \end{pmatrix}

Voir aussi Projection (géométrie) > Projection sur un plan parallèlement à une droite en géométrie analytique.

Transformation d'un cercle d'un plan contenant deux axes

Considérons le cercle trigonométrique (Pour la définition de cercle unité vous pouvez consulter le dictionnaire cercle unité.) du plan (\vec{e_1},\vec{e_3}). Les coordonnées paramétriques de ses points sont :

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \\\end{pmatrix}

Les coordonnées des points projetés dans la base (\vec{i},\vec{j}) sont donc

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \theta - \sin \theta)  \\ - \frac{1}{\sqrt{6}}(\cos \theta + \sin \theta) \\ \end{pmatrix}

La distance à l'origine est r = \sqrt{x'^2 + y'^2}, soit

r^2 = \frac{2}{3} \left ( 1 - \sin \theta  \cdot \cos \theta \right ) = \frac{2}{3} \left ( 1 - \frac{1}{2}\cdot \sin 2\theta \right )

(formule de De Moivre) ; ceci fournit au passage une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) paramétrique de l'ellipse. Cette distance varie donc entre 1 et \sqrt{1/3} \simeq 0,58. On retrouve les rapports du grand axe et du petit axe de l'ellipse.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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