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Quadrilatère

En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.

Quelques quadrilatères particuliers :

  • Trapèze
  • Parallélogramme
  • Losange
  • Rectangle
  • Carré
  • Cerf-volant

image:geometrie_quadrilataire.png
Exemple de quadrilatère quelconque

Typologie des quadrilatères

Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus ( trapèzes, parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.), rectangle, losange (Dans un espace affine normé, un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.), carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...), ... )

Classement par convexité

Un quadrilatère peut être :

  • convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont...), si tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) segment joignant deux points du quadrilatère reste toujours à l'intérieur du quadrilatère;
  • concave, si ce n'est pas le cas, mais que les côtés ne se croisent pas; on dit souvent " non-convexe " au lieu de " concave ";
  • croisé, si deux de ses côtés se croisent.

La plupart des quadrilatères particuliers sont convexes. En pratique, un quadrilatère convexe est un quadrilatère dont on peut faire le tour avec une ficelle tendue sans quitter les côtés ( dans l'image ci-dessus, le pointillé sur le second quadrilatère représente la ficelle ).

La première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de leurs sommets ne suffit pas à les définir.

En effet, considérons quatre points A, B, C et D ( non alignés pour éviter certains problèmes ). Ces quatre points peuvent être les extrémités de 6 segments distincts, AB, AC, AD, BC, BD et CD. Ces segments peuvent être assemblés pour former trois quadrilatères distincts ( et trois seulement ) :

  • AB + BC + CD + DA
  • AB + BD + DC + CA
  • AC + CB + BD + DA

Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales.

Deux situations doivent être distinguées :

  • si l'un des points est à l'intérieur du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) formé par les trois autres points :
les trois quadrilatères obtenus sont concaves ;
  • sinon, on obtient un quadrilatère convexe et deux croisés.

Donc, si la donnée de quatre points ne suffit pas à définir un quadrilatère quelconque, elle suffit par contre à définir un quadrilatère convexe.

Autres classements

Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple

  • les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires

L'aire de tous ces quadrilatères est D*d/2. Cette catégorie ne présente pas de régularité d'aspect. Seul le dernier dessin évoque un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il...) régulier - un cerf-volant (Le cerf-volant est un engin volant plus lourd que l'air, c'est-à-dire un aérodyne, sans pilote ni passager, et manœuvré ou simplement rattaché au sol à l'aide d'un ou plusieurs fils. Il est généralement fabriqué avec de la toile et...), voire un losange.
  • les quadrilatères dont les côtés sont égaux deux à deux.

On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Si les côtés égaux sont consécutifs, on retombe sur le cerf-volant. Si le quadrilatère n'est pas convexe, on peut obtenir un quadrilatère croisé.
  • les quadrilatères dont les côtés sont parallèles

on retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères  : les trapèzes et les parallélogrammes
  • enfin, les parallélogrammes particuliers nous redonnent les classes des rectangles (parallèlogrammes à angles droits), des losanges(parallèlogrammes à côtés adjacents égaux) et des carrés (à la fois rectangles et losanges)

Propriétés générales des quadrilatères

La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé.

L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés...) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) qu'elles forment.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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