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Moyenne

Il y a plusieurs façon de calculer une moyenne d'un ensemble de nombres. Celle qu'il convient de retenir dépend de la grandeur physique que représentent ces nombres. Lorsque, dans le langage courant, on parle de moyenne, on évoque en fait la moyenne arithmétique (La moyenne arithmétique d'une série statistique est la moyenne ordinaire, c'est-à-dire le rapport de la somme d’une distribution d’un caractère...).

Que représente la moyenne ?

La moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) est la valeur unique que devraient avoir tous les individus d'une population (ou d'un échantillon) pour que leur total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des...) soit inchangé. Dans la plupart des cas, le total formé par les individus d'une population est la somme de leurs valeurs. La moyenne est alors la moyenne arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes....). Mais si le total représenté par une population ou un échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou d'une solution. Le mot est utilisé dans différents domaines :) n'est pas la somme de leurs valeurs, la moyenne pertinente ne sera plus la moyenne arithmétique. Si, par exemple, le total d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) d'individus est calculé par l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que...) de la somme des inverses (cas des vitesses d'un ensemble de fractions d'un trajet, par exemple), on doit calculer leur moyenne harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations du...). Si, par exemple, le total d'un ensemble d'individus est le produit de leurs valeurs, il convient de calculer leur moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs...). On rencontre, en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...), de multiples moyennes : La capacité moyenne d'un ensemble de condensateurs en série est la moyenne harmonique de leurs capacités.

La moyenne ne peut donc se concevoir que pour une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut...) quantitative. On ne peut pas faire le total des valeurs d'une variable qualitative. Quand la variable est ordinale, on lui préférera la médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :).

La moyenne est beaucoup utilisée en évaluation scolaire. Dans de nombreux systèmes scolaires, une partie de l'évaluation des élèves débouche sur une note chiffrée, par exemple

  • en France : de 0 à 10 ou de 0 à 20 (0 étant la plus mauvaise note, 10 ou 20 la meilleure) ;
  • en Allemagne : de 6 à 1 (6 étant la plus mauvaise note, 1 la meilleure);
  • au Canada : on utilise les pourcentages (%) de 0 à 100 % (100 étant la meilleure note et 0 la plus mauvaise).

On peut alors calculer la moyenne des notes d'une classe dans une matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...), ou la moyenne des notes d'un élève dans une matière. Ces moyennes ont des sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) différents :

  • la moyenne de la classe est censée représenter un " niveau global ", si tant est que cela ait un sens ;
  • dans le cas d'un examen de grande ampleur, comme par exemple le Baccalauréat (Le baccalauréat (altération du bas-latin bachalariatus, désignant un rang de débutant d'abord dans la chevalerie, et puis dans la...), où de nombreux élèves passent la même épreuve mais sont corrigés par différents professeurs, la différence des moyennes entre les groupes peut indiquer une différence de correction selon le professeur (certains étant plus sévères, d'autres plus tolérants), et l'on peut par exemple effectuer une correction de notes, une " mise en adéquation ", afin que les groupes aient tous la même moyenne ; par exemple, si m1, m2… sont les moyennes des groupes et M la moyenne globale, alors les notes du groupe i seront multipliées par M/mi ;
  • dans le cas d'un élève : la moyenne des notes sur une matière permet de niveler les résultats ; ainsi, si les résultats sont fluctuants, les faiblesses d'un moment sont rattrapées par les réussites d'un autre moment ;
  • la moyenne des notes d'un élève dans plusieurs matières est une autre manière de niveler les résultats, non plus dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) mais selon la matière : les points forts rattrapent les points faibles ; la moyenne est alors un critère de sélection, sachant que ce que l'on demande d'un élève, ce n'est pas qu'il soit bon partout, mais qu'il ait des qualités permettant de rattraper ses défauts ; lorsque certaines matières sont plus importantes que d'autres, on applique des coefficients de pondération (cf. infra).

Dans ces exemples, la moyenne est un lissage des valeurs. On peut bien sûr se demander si la moyenne est un critère pertinent de sélection (voir Évaluation sommative) ; en général, ce n'est pas le seul critère qui entre en compte, à l'exception de certains examens et concours.

En physique, la moyenne correspond à la notion de barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond). Lorsque l'on veut décrire le comportement de plusieurs objets, il est parfois possible de les remplacer par un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par...) fictif dont les propriétés (par exemple la position dans l'espace) sont la moyenne des propriétés des différents objets.

Lorsque les valeurs sont aléatoires, la moyenne est appelée " espérance ". Si l'on peut déterminer une loi statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble...) de cette variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne...), l'espérance est en général un des paramètres fondamentaux de cette loi.

De manière générale, la moyenne n'est pas forcément une manière pertinente de représenter les données. On peut, par exemple, lui préférer la valeur médiane qui est la valeur à laquelle 50% des valeurs observées sont inférieures. La médiane n'est pas (sauf exception ou hasard) équivalente à la moyenne arithmétique de l'ensemble. En supposant que l'on ait, au préalable, rangé les valeurs observées de sorte qu'elles se trouvent indexées suivant l'ordre des valeurs croissantes (x_1,\  x_2,\  x_3,\ \ldots,\  x_i,\  x_{i+1}\ \ldots) :

  • pour un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) pair 2n de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, soit (xn + xn + 1) / 2, ou toute autre valeur strictement comprise entre xn et xn + 1
  • pour un nombre impair 2n+1 de valeurs, la médiane est unique et égale à xn + 1.

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la moyenne ordinaire, c'est-à-dire la somme des valeurs numériques (de la liste) divisée par le nombre de ces valeurs numériques. Exemple: la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) moyenne des toits d'une rue (La rue est un espace de circulation dans la ville qui dessert les logements et les lieux d'activité économique. Elle met en relation et structure...).

\bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i}

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique est définie de la manière suivante :

\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}

Il existe une relation entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique,donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un...) par l'inégalité suivante:

\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\ge\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}.

On peut illustrer la moyenne géométrique avec les deux cas suivants :

  1. Si l'inflation d'un pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²),...) est de 5% la première année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) et de 15% la suivante, l'augmentation moyenne des prix se calcule grâce à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs 1,05 et 1,15 soit une augmentation moyenne de 9,88% et non grâce à la moyenne arithmétique 10% (réponse intuitive).
  2. Le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) (c'est-à-dire le rectangle moyen à deux cotés égaux) qui a même surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet...) (le total considéré ici) qu'un rectangle de cotés 3 et 7 a pour coté la moyenne géométrique des deux cotés du rectangle \sqrt(lien){3.7} = 4,5826. (voir le même exemple mais en moyenne quadratique).

Il existe une moyenne géométrique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données,

X = { x1, x2, ..., xn}

ainsi que les poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) correspondants,

W = { w1, w2, ..., wn}

la moyenne géométrique pondérée est calculée comme étant:

\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)

Moyenne harmonique

La moyenne harmonique est définie de la manière suivante :

\bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}

Si un train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons (pour transporter des...) fait un trajet aller-retour entre 2 villes à la vitesse (On distingue :) constante v1 pour l'aller et à la vitesse constante v2 au retour, la vitesse moyenne du trajet total n'est pas la moyenne arithmétique des 2 vitesses, mais bien leur moyenne harmonique.

Il existe une moyenne harmonique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données,

X = { x1, x2, ..., xn}

ainsi que les poids correspondants,

W = { w1, w2, ..., wn}

la moyenne harmonique pondérée est calculée comme étant:

\bar{x} = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}

Moyenne quadratique

La moyenne quadratique est définie de la manière suivante :

\bar{x} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}}

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a même diagonale (le total considéré ici) que ce rectangle, a pour côté la moyenne quadratique de 3 et 7, c'est-à-dire 5,3852.

Moyenne glissante

La moyenne glissante est une notion statistique, où la moyenne au lieu d'être calculée sur n valeurs fixes, est calculée sur n valeurs consécutives " glissantes ".

Ce type de calcul est aussi utilisé en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de...) pour minimiser la taille mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) nécessaire au stockage des valeurs intermédiaires. Différentes formules de moyennes glissantes existent, par exemple pour une moyenne glissante de période n :

\bar{x}_0 = x_0 (une moyenne glissante de période 0 ne prend qu'un terme)
\bar{x}_n = \frac{\bar{x}_{n-1} \cdot (n-1) + x_n}{n} (formule de récurrence)

Cas général

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) (et donc le calcul) des moyennes précédentes peut être synthétisée et généralisée à l'aide de la formule unique suivante :

\bar{x}(m) = \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^m}}

où l'on retrouve :

  • pour m = 1, la moyenne arithmétique
  • pour m = 2, la moyenne quadratique
  • pour m = -1, la moyenne harmonique
  • lorsque m → 0, la limite de \bar{x}(m) est la moyenne géométrique
  • lorsque m → +∞, la limite de \bar{x}(m) est le maximum de la série.

On peut faire le constat suivant, pouvant parfois aider dans le choix d'une moyenne :

  • pour m = 1, toutes les valeurs de la série ont la même importance
  • pour m > 1, les grandes valeurs sont privilégiées : plus l'on s'éloigne de 1 et plus l'on s'approche du maximum de la série
  • pour m < 1, les faibles valeurs sont privilégiées.

Comparaison

Si a et b sont deux réels positifs tels que a < b, alors on a :

a < Mharmonique(a,b) < Mgeometrique(a,b) < Marithmetique(a,b) < Mquadratique(a,b) < b

Pour démontrer ces comparaisons et les généraliser, on fait appel à la notion de fonction convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou...).

Moyenne pondérée (On nomme moyenne pondérée la moyenne d'un certain nombre de valeurs affectées de coefficients.)

La moyenne pondérée est utilisée, en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) pour localiser le barycentre d'un polygone, en physique pour déterminer le centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) ou en statistique et probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :

\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}

Dans le cas général le poids wi représente l'influence de l'élément xi par rapport aux autres.

A noter qu'il s'agit ici de la moyenne pondérée arithmétique. Il existe aussi des versions pondérées des autres moyennes, comme la moyenne géométrique pondérée et la moyenne harmonique pondérée.

Valeur moyenne d'une fonction

Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment [a, b] non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et non trivial (ie b > a), la valeur moyenne de ƒ sur [a, b] est le réel m défini par :

m = \frac{1}{b-a} \times \int_{a}^{b} f(x)\, dx

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...) de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant...) en série de Fourier (En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.) d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la...), pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

On peut aussi, par analogie avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter " à chacune des valeurs prises par la fonction " un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonction poids

w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb R^{+*}

(w pour l'initiale de weight, poids en anglais) :

m_w = \frac{\int_{a}^{b} f(x) \cdot w(x)\, dx}{\int_{a}^{b} w(x)\, dx}.

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (ie aucune de ses bornes n'est infinie) où la fonction ƒ×w est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :

{2\over \pi}\,\int_{[0,1[}{T_n(x) \cdot T_p(x)\over\sqrt{1-x^2}}\,dx

où la fonction Tn×Tp est continue sur le fermé [0,1] et où la fonction poids est

w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb R^{+*},\;x\mapsto {1\over\sqrt{1-x^2}}

est intégrable sur [0,1[, et dont l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à...) vaut \pi\over 2.

Nota : Lorsque la fonction est périodique de période T, elle a la même valeur moyenne sur toute période [a, a + T]. Cette valeur commune est appelée valeur moyenne de la fonction. Ainsi la fonction cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles...) est de moyenne nulle, son carré de moyenne 1/2.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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