.

Le terme d'asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de...) est utilisé en mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce...) pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple,...) à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif d'étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.), un point (Graphie) ... dont une courbe plus complexe peut se rapprocher. C'est aussi devenu un nom féminin synonyme de droite asymptote.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développé dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude...), il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...) (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :), graphique de température (La température d'un système est une fonction croissante du degré d'agitation thermique des particules, c'est-à-dire de...), oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit...) d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile...) est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c’est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques lui offrent.

Le projet (Un projet est - dans un contexte professionnel - une aventure temporaire entreprise dans le but de créer un produit ou...) d'une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les...) uniforme n'étant pas raisonnable, cet article détaillera plusieurs situations.

Courbe d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de...) y = f(x)

Sur le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) 1/x, les axes x et y sont des asymptotes.

Sur le graphe (1/x)+x, l'axe des y et la droite x=y sont toutes les deux des asymptotes.

Les asymptotes sont à rechercher lorsque x ou f(x) tend vers l'infini.

Droite asymptote

Asymptote « verticale »

La droite d'équation x = a est une asymptote « verticale » à la courbe représentative de la fonction f (en a⁺) si quel que soit x>a, .
La droite d'équation x = a est asymptote « verticale » à la courbe représentative de la fonction f (en a^-) si quel que soit x.

On trouvera des asymptotes verticales en particulier lorsque la fonction f se présente sous forme d'un quotient dont le dénominateur, mais pas le numérateur, s'annule en a.

Exemples : fonction homographique (On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif dans lui-même définie par), logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un...) népérien, fonction tangente

Asymptote « horizontale »

La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x), si .

Exemples : fonction homographique, exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en...). tangente hyperbolique

Asymptote « oblique »

La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver à l'aide des remarques suivantes :

.

Lorsque la limite existe et est égale à a et la n'existe pas, on dit que la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y = ax.

Exemples : fonction rationnelle (En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un corps K. En...),

Le point de vue projectif

Les trois situations précédentes n'en forment qu'une en géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et...), une asymptote étant une tangente à l'infini.

Courbe asymptote

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe d'équation y = f(x) en si . Les asympotes « horizontales » ou « obliques » sont alors des cas particuliers de courbes asympotes de ce type.

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe en si

Exemple : Une courbe d'équation admet une parabole asymptote d'équation y = ax² + bx + c et une hyperbole asymptote d'équation . La figure constitue un trident de Newton.

Courbe paramétrée

On cherche les asymptotes aux branches infinies de la courbe d'équation (x = x(t) ; y = y(t) ), c’est-à-dire en t₀ (réel ou infini) tel que où M(t) est le point de coordonnées (x(t) ; y(t))

Droite asymptote horizontale

La courbe admet la droite pour asymptote en t₀ si : et

Exemple à trouver

Droite asymptote verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.)

La courbe admet la droite pour asymptote en t₀ si : et

Exemple à trouver

Autre asympote

Si et

Nous cherchons donc à étudier (si elle existe), la limite l de quand t tend vers t₀.

Si l est ou , l'asymptote est verticale.

Si l est réelle, l'asymptote est la droite d'équation y = lx

Exemple à trouver

Méthode de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...)

Méthode à proposer Exemple à trouver

Courbe d'équation polaire

On cherche les asympotes à la courbe d'équation r = ρ(θ) lorsque r ou θ tend vers l'infini

Droite asymptote

À faire

Cercle asympote

À faire

Point asymptote

À faire