Dérivation itérée - Définition

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Soit \ f une fonction de \mathbb Rvers \mathbb R définie sur un intervalle \ I de \mathbb R (non réduit à un point).

Dérivée première sur un intervalle

Lorsque la dérivée f \,'(x_0) existe pour tout \ x_0 \in \, I, on dit que \ f est " dérivable sur \ I ".
On définit dans ce cas la fonction f\,' : I \to \mathbb{R},\, x \mapsto f\,'(x).

Cette fonction \ f \,' s'appelle la " fonction dérivée de \ f sur \ I " ou " fonction dérivée première de \ f sur \ I " et se note également \ f^{(1)}.

Dérivée seconde sur un intervalle

Lorsque \ f est dérivable sur \ I et que la fonction \ f \,' est elle-même dérivable sur \ I, sa fonction dérivée sur \ I, \ \left ( \, f \,' \, \right )', s'appelle la fonction " dérivée seconde de \ f sur \ I " et se note \ f \,'' ou \ f^{(2)}. On dit alors que \ f est " dérivable deux fois sur \ I ".

Dérivée ne sur un intervalle

On définit par récurrence (sous réserve d'existence) les " dérivées successives de ƒ sur I " par l’égalité

f^{(n+1)}=\ \left ( \, f^{(n)} \, \right )'.

La fonction ƒ(n) (où n ≥ 1) est appelée fonction " dérivée ne (ou d'ordre n) de ƒ sur I ".

Lorsqu'elle existe, on dit que ƒ est " dérivable n fois sur I ". Dans ce cas, toutes les dérivées successives de ƒ ayant un ordre strictement inférieur à n sont continues sur I, puisqu'elles y sont dérivables ; mais ƒ(n) n'est pas nécessairement continue sur I : c'est ce qui motive la définition donnée infra des fonctions de classe Cn.

Nota

On convient de définir la fonction dérivée d'ordre 0 de ƒ en posant ƒ(0) = ƒ.

Classe Cn

Soit n un entier naturel non nul. On dit que la fonction \ f est de classe \ \mathrm{C}^n (ou n fois continûment dérivable) sur \ I si elle est n fois dérivable sur \ I et si la fonction \ f^{(n)} est continue sur \ I.

Conformément à la convention indiquée supra, la fonction \ f est dite de classe \ \mathrm{C}^0 sur \ I si elle est continue sur \ I.

La fonction \ f est dite de classe \ \mathrm{C}^\infty (ou indéfiniment dérivable) sur \ I si pour tout \ n \in \mathbb{N}^\star, elle est dérivable n fois sur \ I.
Cela revient à dire que pour tout \ n \in \mathbb{N}^\star, \ f est de classe \ \mathrm{C}^n sur \ I.

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