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Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.

Énoncé

Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction de \R dans \R, continue sur un intervalle I.

Alors pour tous réels a et b de I, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Cas particulier : si f(a) ≤ 0 et f(b) ≥ 0, il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = 0 (car 0 est compris entre f(a) et f(b)).

Remarques

  • La propriété de la valeur intermédiaire correspond à une notion intuitive: il est possible de dessiner le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de la fonction d'un seul trait de crayon. Ou dit autrement, il n'est pas nécessaire de soulever son crayon pour dessiner le graphe de la fonction.
  • Cette remarque amène à se poser la question : n'y a-t-il pas équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x,...)? La réponse est malheureusement négative. Un contre exemple nous est donné par la fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une...) réelle f\, définie par f(x)=sin(\frac{1}{x})\, si x\ne 0 et f(0)=0\,. Cette fonction n'est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propriété de la valeur intermédiaire pour chaque couple de points dans \R.
  • Ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) est essentiel à l'élaboration de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) de l'analyse élémentaire, il permet la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) du théorème de la bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel...) et la construction de nombreuses fonctions élémentaires comme la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.).
  • Ce théorème est faux sur le corps des nombres rationnels. Il faut nécessairement utiliser les propriété du corps des nombres réels. Par exemple, la fonction f (x) = x2 - 2 de Q dans Q est continue sur [ 0 ; 2], et vérifie f (0) = - 2, f (2) = 2. Cependant, il n'y a pas de nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .) x tel que f (x) = 0.
  • Ce théorème met en valeur une propriété topologique des nombres réels. Il se démontre simplement à l'aide de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) ou de manière plus délicate si l'on procède manuellement.
  • Lorsque l'on cherche à démontrer qu'il existe une solution unique, on regarde si de plus f est strictement monotone. Il est aussi possible d'utiliser le théorème de la bijection.

Applications

  • On utilise souvent ce théorème pour montrer que deux fonctions continues sur un même intervalle et dont la différence change de signe aux bornes de cet intervalle prennent la même valeur en au moins un point (Graphie) de cet intervalle.
Exemple : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) [a ;b] de \R, telles que g(a) - f(a) et g(b) - f(b) soient de signes contraires. Il existe au moins un réel c compris entre a et b et tel que f(c) = g(c).
En effet, posons φ = f - g. La fonction φ est continue, et 0 est compris entre φ(a) et φ(b). Il existe donc au moins un réel c compris entre a et b et tel que φ(c) = 0, soit encore f(c) = g(c).
Dans le cas particulier où g est l'identité sur l'intervalle [a;b] et où f(a) > a et f(b) < b, on obtient un théorème de point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.) (Brouwer en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) 1).
  • Pour tout polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une...) P à coefficients réels et de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) impair, il existe au moins une racine réelle, c'est-à-dire un réel c tel que P(c) = 0.
En effet, on peut supposer (sans perte de généralité) que le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) du terme de plus haut degré de P est égal à 1. Alors, comme le degré de P est impair, P(x) tend vers -∞ quand x tend vers -∞, et P(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞. On en déduit qu'il existe a réel tel que P(a) ≤ 0, et qu'il existe b réel tel que P(b) ≥ 0. Comme P est continu, il existe au moins un réel c compris entre a et b et tel que P(c) = 0.

Note historique

Il n'est pas nécessaire qu'une fonction soit continue pour que la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires (Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.) soit vraie. En 1875, Gaston Darboux a montré que cette conclusion était vérifiée par les fonctions dérivées, qu'elles soient continues ou non (voir Théorème de Darboux (analyse) ).

Résolution et démonstration

Le théorème des valeurs intermédiaires fait partie des théorèmes dits d'existence. A la question " Existe-t-il un réel c tel que f(c) = k?  ", le théorème répond " OUI, il en existe ". Il fait naître alors nécessairement la question suivante " Quel est ce réel c ? "

En général, un théorème d'existence ne donne aucun moyen de trouver l'un des éléments dont il affirme l'existence. C'est le cas de la première démonstration, plus courte et plus simple mais qui s'appuie sur une théorie plus difficile, la topologie. Ce n'est pas le cas pour la deuxième démonstration qui fournit un algorithme de résolution appelé méthode de dichotomie.

Démonstration avec la topologie

Les connexes de \mathbb{R} sont les intervalles. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) de départ est donc un connexe. L'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe. Donc l'image par f de \left[ a,b \right]\, est un intervalle, ce qui démontre le théorème.

Démonstration sans théorème topologique

Le principe consiste à couper l'intervalle de départ en deux et à conserver l'intervalle où l'on sait que se trouve une solution. On recommence ensuite en coupant en deux l'intervalle conservé, etc. On obtient ainsi des intervalles emboîtés de plus en plus petits dans lesquels on est sûr de trouver une solution. On finit alors par trouver un encadrement " assez fin " de la solution.

On suppose donc que

  • la fonction f est continue sur l'intervalle [a , b]
  • f(a) < k < f(b) (une démonstration analogue peut se faire pour f(a) > k > f(b)).

La continuité de la fonction f va permettre d'utiliser la propriété suivante :

si (un) est une suite à valeurs dans [a ; b] convergeant vers L, alors f(un) converge vers f(L).

La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles In = [an ; bn] tels que pour tout n :

  • In+1 soit inclus dans In
  • la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) de In+1 soit la moitié de celle de In
  • f(an) < k < f(bn).

On procède de la manière suivante :

  • on pose initialement I0 = [a ;b]
  • quand à un rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le...) n, l'intervalle In est construit, on note mn son milieu et
    • si f(mn) < k , on prend pour In+1 l'intervalle [mn ; bn] et on pose an + 1 = mn et bn + 1 = bn.
    • si f(mn) > k , on prend pour In+1 l'intervalle [an ; mn]et on pose an + 1 = an et bn + 1 = mn..
    • si f(mn) = k , on s'arrête.

Deux cas se présentent :

  • ou bien la suite est finie et il existe n tel que f(mn) = k ; le problème est alors résolu, et on peut prendre : c = mn
  • ou bien la suite est infinie.
Dans ce cas, les suites (an) et (bn) sont adjacentes : en effet, la première est croissante (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) large), la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle...) est décroissante, et la différence entre les deux suites est égale à la longueur de In,soit \frac{b-a}{2^n} qui tend vers 0.
Ces deux suites convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) donc vers une même limite c. Comme f est continue, les suites (f(an)) et (f(bn)) convergent vers f(c).
Comme, d'autre part, f(an) < k pour tout n, on obtient f(c) ≤ k par passage à la limite.
Comme, enfin, f(bn) > k pour tout n, on obtient f(c) ≥ k par passage à la limite.
Il en résulte que f(c) = k.

Autres algorithmes

La dichotomie est un algorithme simple pour déterminer une valeur de c, mais n'est pas le plus performant: la précision n'augmente que d'un facteur 2 à chaque itération. On a donc cherché d'autres algorithmes permettant une convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) plus rapide. La méthode de Newton ou méthode des tangentes en est un d'une bonne efficacité.

  • Article détaillé : Algorithme de recherche d'un zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture...) d'une fonction

Unicité de la solution

La méthode de dichotomie permet seulement de trouver l'une des solutions ; le fait d'éliminer tout un intervalle à chaque étape risque d'éliminer d'autres solutions.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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