Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (toujours en minuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) et son diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...). Il est appelé aussi constante d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien :...).
Une valeur approchée en est
π est un nombre irrationnel (Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne...), c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers[1]. En fait, ce nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) est transcendant[2]. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.
La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) dont la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) est rigoureusement égale à la surface d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) donné.[3]
La lettre grecque "π" est la première des mots grecs περιφ?ρεια (périphérie) et περ?μετρος (périmètre, c'est à dire circonférence).
Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...).
La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six...) inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs connues de π : π = 3 + 1 / 8 (soit 3,125).
Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) d'un calcul qui implique que π est évalué à (16 / 9)2 (soit 3,160...).
Les formules intéressantes incluant sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:
Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères.
Forme géométrique | Formule |
---|---|
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d | |
Aire d'un disque de rayon r | |
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b | |
Volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) d'une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) de rayon r | |
Aire surfacique d'une sphère de rayon r | |
Volume d'un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée...) de hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) h et de rayon r | |
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r | |
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r | |
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r |
La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à radians.
La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) pour que deux entiers naturels soient premiers entre eux est , au sens où si l'on tire au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...) deux entiers naturels compris entre 1 et N (où N est un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) non nul fixé) selon la loi uniforme, cette probabilité tend vers lorsque N tend vers l'infini.
Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre π ne possède pas de développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des...) fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une valeur approchée avec cent décimales est [4]
Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...), soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.
Au XXe siècle av. J.-C. les Babyloniens utilisaient l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) 25 / 8 et les Égyptiens ( (16 / 9)2 = 3,16049...) qui était une assez bonne approximation. On ne dispose du témoignage d'une meilleure approximation qu'au IIIe siècle av. J.-C. vers 250 av. J.-C. avec le traité d'Archimède sur la mesure du cercle. Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites polygones, dont le nombre de côtés double à chaque itération, Archimède obtint : 223 / 71 < π < 22 / 7 (3,1408... < π < 3,1428...), soit, dit de façon très anachronique, une précision de 2.10-3 et 2 décimales exactes.
En Perse en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen (Ludolph van Ceulen, ou Coelen, né à Hildesheim, le 28 janvier 1540, mort à...) calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.
Ensuite, grâce au développement de l'analyse au XVIIe siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton (Isaac Newton (4 janvier 1643 G – 31 mars 1727 G, ou 25 décembre...) calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (L'heure est une unité de mesure :) (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).
Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) slovène Jurij Vega (Vega est un lanceur de l'Agence spatiale européenne (ESA) réalisé en collaboration...) calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.
Le mathématicien William Shanks passa 20 ans de sa vie (La vie est le nom donné :) à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. À l'occasion de l'exposition universelle de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région...) de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte (Le Palais de la découverte est un musée et centre culturel scientifique parisien. Il est...). L'erreur ne fut détectée qu'en 1945.
Le calcul des décimales de Pi s'emballa au XXe siècle avec l'apparition de l'informatique : 2 037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié...). En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues.
La formule utilisée par John Machin, similaire à des formules encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :
Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...) dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque...), avec
Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.
Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.
On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (Le projet Gutenberg est une bibliothèque de versions électroniques libres (parfois...) (voir liens externes).
Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir...) centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...), soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :
Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.
D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'ordinateurs connectés sur le réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des...) Internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services...).
En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, a découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):
Cette formule permet de calculer facilement la ne décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation (Le mot implantation peut avoir plusieurs significations :) dans de nombreux langages de programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent...). Grâce à une formule dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) de la formule BBP (La formule BBP (ou Bailey-Borwein-Plouffe) permet de calculer l'énième chiffre après...), le 4 000 000 000 000 000e chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) de π en base 2 a été obtenu en 2001.
Un an plus tard, Simon Plouffe met au point (Graphie) un algorithme permettant le calcul de la ne décimale de π, mais cette fois-ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html). Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.
D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont:
Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème :
Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre "0" dont le codage (De façon générale un codage permet de passer d'une représentation des...) correspond à un mot de 10 lettres.
En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de pi en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.
Une question ouverte importante est de savoir si π est un nombre normal (En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel qui a ses chiffres...), c'est-à-dire si n'importe quelle succession de n chiffres apparaît dans la valeur décimale de π avec la même probabilité qu'une autre succession de n chiffres, comme on s'y attendrait pour une suite infinie et complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) aléatoire de chiffres. Cela devrait en vérité être vérifié dans n'importe quelle base et non seulement en base 10. Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires entraîne la normalité en base 2 de π.
Dans le même esprit, on ne sait pas si π est un nombre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), c'est-à-dire un nombre dont on peut retrouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) finie peu importe la probabilité d'apparition de celle-ci[5].
On ne sait même pas quels sont les chiffres du développement décimal dont le nombre d'apparitions est infini[réf. nécessaire].
En géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au...), la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π[réf. nécessaire] : c'est une constante mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), pas une valeur physique.