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Pi
π
Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.
Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (toujours en minuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) et son diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment....). Il est appelé aussi constante d'Archimède.

Une valeur approchée en est \pi \approx 3{,}14159265359.

π est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers[1]. En fait, ce nombre est transcendant[2]. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...) non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un...) dont la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) est rigoureusement égale à la surface d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) donné.[3]

Histoire

La lettre grecque "π" est la première des mots grecs περιφ?ρεια (périphérie) et περ?μετρος (périmètre, c'est à dire circonférence).

Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...).

La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés sont de même...) inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs connues de π : π = 3 + 1 / 8 (soit 3,125).

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) d'un calcul qui implique que π est évalué à (16 / 9)2 (soit 3,160...).

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant \pi\, sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères.

Forme géométrique Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d C = 2 \pi r = \pi d \,\!
Aire d'un disque de rayon r A = \pi r^2 \,\!
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b A = \pi a b \,\!
Volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) d'une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un...) de rayon r V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!
Aire surfacique d'une sphère de rayon r A = 4 \pi r^2 \,\!
Volume d'un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe...) de hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) h et de rayon r V = \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
\pi\, se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) 180° (en degrés) est égale à \pi\, radians.

Analyse

  • \pi = \lim_{n \to \infty} (n\sin(\pi/n)) = \lim_{n \to \infty} (n\tan(\pi/n)).
Les deux suites de termes sn=n.sin(π/n), et tn=n.tan(π/n), n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique (Pour la définition de cercle unité vous pouvez consulter le dictionnaire cercle unité.) pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l'indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite d'expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.). Ainsi on peut s'inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) par récurrence des suites extraites de termes s2m et t2m, ou encore s3.2m et t3.2m, par exemple à l'aide des identités trigonométriques usuelles:
\begin{array}{lll} t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\ s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,. \end{array}
En utilisant les identités trigonométriques, 2.sin(x/2) = √(2-2cos(x)) et 2.cos(x/2) = √(2+2cos(x)) (x ∈ [0,π]), on peut exprimer s2k+1 et s3.2k (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.
  • π peut alors s'exprimer sous la forme d'une itération infinie de racines carrées :
\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ), où k est le nombre de racines carrées emboitées
ou encore :
\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right ).
  • Une autre expression de s2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √(2+√…)), conduit au produit infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) suivant (formule de François Viète, 1593).
\frac{\pi}2= \frac{2}{\sqrt2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots
  • \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \frac{\pi}{4} (formule de Leibniz)
  • \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2} (produit de Wallis)
  • \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
  • \zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de \pi^{2n}\, pour un entier positif n
  • \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi} (fonction gamma d'Euler)
  • \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
  • n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (formule de factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs...) de Stirling)
  • e^{i \pi} + 1 = 0\; (identité d'Euler, aussi appelée " la formule la plus remarquable au monde " par Richard Feynman)
  • π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}
= {1 + {1^{2}\over 2               + {3^{2}\over 2               + {5^{2}\over 2               + {7^{2}\over 2               + {9^{2}\over 2               + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}} (William Brouncker)
\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}
(il y a d'autres représentations sur (lien))
  • \sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2\varphi\, est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).
  • \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}\, (aire d'un quart de cercle unitaire)

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des nombres

  • La fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de...) d'apparition de paires d'entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d'entiers comprises entre 0 et N tend vers \frac{6}{\pi^2}\, quand N tend vers l'infini.
  • Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de l'ordre, tend vers \frac{\pi}{4}\, quand N tend vers l'infini.

Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques,...) pour que deux entiers naturels soient premiers entre eux est \frac{6}{\pi^2}\,, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) où si l'on tire au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) deux entiers naturels compris entre 1 et N (où N est un entier naturel non nul fixé) selon la loi uniforme, cette probabilité tend vers \frac{6}{\pi^2}\, lorsque N tend vers l'infini.

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}
presque partout sur [0, 1] où les xi sont des itérés du plan logistique (La logistique est l'activité qui a pour objet de gérer les flux physiques d'une organisation, mettant ainsi à disposition des ressources correspondant aux besoins, aux conditions économiques et pour une...) pour r = 4.

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...)

\Delta x \Delta p  \ge \frac{h}{4\pi} (principe d'incertitude d'Heisenberg)
R_{\mu\nu} - {g_{\mu\nu} R \over 2} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} (équation du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'Einstein de la relativité générale)

Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre π ne possède pas de développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque les nombres sont des...) fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une valeur approchée avec cent décimales est [4]

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...

Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits...), soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Historique du calcul de Pi

Au XXe siècle av. J.-C. les Babyloniens utilisaient l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) 25 / 8 et les Égyptiens ( (16 / 9)2 = 3,16049...) qui était une assez bonne approximation. On ne dispose du témoignage d'une meilleure approximation qu'au IIIe siècle av. J.-C. vers 250 av. J.-C. avec le traité d'Archimède sur la mesure du cercle. Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites polygones, dont le nombre de côtés double à chaque itération, Archimède obtint  : 223 / 71 < π < 22 / 7 (3,1408... < π < 3,1428...), soit, dit de façon très anachronique, une précision de 2.10-3 et 2 décimales exactes.

En Perse en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'analyse au XVIIe siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le 31...) calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (L'heure est une unité de mesure  :) (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).

Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre...) slovène Jurij Vega (Vega est un lanceur de l'Agence spatiale européenne (ESA) réalisé en collaboration avec l'Agence spatiale italienne (ASI), et le Centre national d'études spatiales (CNES) pouvant placer en orbite basse une...) calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien William Shanks passa 20 ans de sa vie (La vie est le nom donné :) à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. À l'occasion de l'exposition universelle de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de la...) de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte (Le Palais de la découverte est un musée et centre culturel scientifique parisien. Il est situé dans le VIIIe arrondissement, avenue Franklin-Delano-Roosevelt. Il a été créé...). L'erreur ne fut détectée qu'en 1945.

Le calcul des décimales de Pi s'emballa au XXe siècle avec l'apparition de l'informatique : 2 037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.). En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues.

Méthodes de calcul de Pi

Les formules de Machin

La formule utilisée par John Machin, similaire à des formules encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.), avec

(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 \times (1+i).

Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (Le projet Gutenberg fut lancé par Michael Hart en 1971 afin d'assurer, à ce qui deviendra plus tard Internet, une bibliothèque de versions électroniques libres (parfois appelés...) (voir liens externes).

Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde...), soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982)
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'ordinateurs connectés sur le réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet),...) Internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services variés comme le courrier électronique, la messagerie...).

Le calcul isolé des décimales de Pi

En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, a découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Cette formule permet de calculer facilement la ne décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation (Le mot implantation peut avoir plusieurs significations :) dans de nombreux langages de programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de logiciel (voire de matériel, cf. VHDL).). Grâce à une formule dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000e chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) de π en base 2 a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point (Graphie) un algorithme permettant le calcul de la ne décimale de π, mais cette fois-ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html). Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont:

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} (formule due à Ramanujan)
\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} (formule due à David et Gregory Chudnovsky)

Retenir pi

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en...),
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre "0" dont le codage (De façon générale un codage permet de passer d'une représentation des données vers une autre.) correspond à un mot de 10 lettres.

En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de pi en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.

Questions ouvertes

Une question ouverte importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de n chiffres apparaît dans la valeur décimale de π avec la même probabilité qu'une autre succession de n chiffres, comme on s'y attendrait pour une suite infinie et complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique...) aléatoire de chiffres. Cela devrait en vérité être vérifié dans n'importe quelle base et non seulement en base 10. Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires entraîne la normalité en base 2 de π.

Dans le même esprit, on ne sait pas si π est un nombre univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), c'est-à-dire un nombre dont on peut retrouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) finie peu importe la probabilité d'apparition de celle-ci[5].

On ne sait même pas quels sont les chiffres du développement décimal dont le nombre d'apparitions est infini[réf. nécessaire].

De la nature de π

En géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.), la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π[réf. nécessaire] : c'est une constante mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...), pas une valeur physique.

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