Conjecture faible de Goldbach - Définition

Dans la théorie des nombres, la conjecture faible de Goldbach, aussi connue comme la conjecture impaire de Goldbach ou le problème des trois nombres premiers, affirme que :

• Chaque nombre impair plus grand que 7 peut être exprimé comme la somme de trois nombres premiers impairs.

ou de façon équivalente :

• Chaque nombre impair plus grand que 5 peut être exprimé comme une somme de trois nombres premiers.

(Un nombre premier peut être utilisé plus d'une fois dans la même somme).

Cette conjecture est qualifiée " faible " car la conjecture forte de Goldbach concernant les sommes de deux nombres premiers, si elle est démontrée, établirait la conjecture faible de Goldbach. (Si chaque nombre pair > 4 est la somme de deux nombres premiers impairs, ajouter simplement trois à chaque nombre pair > 4 produira les nombres impairs > 7.)

La conjecture n'a pas encore été démontrée, mais il y a eu quelques occasions ratées de justesse. En 1923, Hardy et Littlewood ont montré que, en assurant une certaine généralisation de l'hypothèse de Riemann, la conjecture impaire de Goldbach est vraie pour tous les nombres impairs suffisamment larges. En 1937, un mathématicien russe, Vinogradov, fut capable d'éliminer la dépendance à l'hypothèse de Riemann et démontra directement que tous les nombres impairs suffisamment grands peuvent être exprimés comme la somme de trois nombres premiers. Bien que Vinogradov fut incapable de dire ce que " suffisamment grand " voulait dire, son propre étudiant K. Borodzin démontra que 3^{14 348 907} est une limite supérieure pour le seuil qui détermine si un nombre est grand. Ce nombre possède plus de six millions de chiffres, donc vérifier chaque nombre jusqu'à celui-ci serait impossible. Heureusement, en 1989 Wang et Chen rabaissèrent cette limite supérieure à 10^{43 000}. Si chaque nombre impair inférieur à 10^{43 000} peut être montré comme la somme de trois nombres premiers impairs, la conjecture faible de Goldbach est effectivement démontrée ! Néanmoins, l'exposant a encore besoin d'être réduit d'une bonne quantité avant qu'il soit possible de vérifier simplement chaque nombre.

En 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele et Zinoviev montrèrent que l'hypothèse de Riemann généralisée implique la conjecture faible de Goldbach. Ce résultat combine une affirmation générale valable pour les nombres plus grands que 10²⁰ avec une recherche informatique extensive pour les petits cas.