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Conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques. La conjecture s'énonce ainsi :

(Le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois. On rappelle qu'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) premier est par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) strictement supérieur à 1.)

Par exemple,

  4 = 2 + 2
  6 = 3 + 3
  8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
etc.

Origine

En 1742, le mathématicien prussien Christian Goldbach écrivit une lettre au mathématicien suisse Leonhard Euler dans laquelle il proposait la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) suivante :

Tout nombre supérieur à 5 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.

Euler, intéressé par le problème, répondit avec la version plus forte de la conjecture :

Tout nombre pair plus grand que deux peut être écrit comme une somme de deux nombres premiers.

La conjecture originale est connue de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure locale) et sa durée dépendent...) sous le nom conjecture faible de Goldbach (Dans la théorie des nombres, la conjecture faible de Goldbach, aussi connue comme la conjecture impaire de Goldbach ou le problème des trois nombres premiers, affirme que :), la suivante est la conjecture de Goldbach (La conjecture de Goldbach est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques. La conjecture s'énonce ainsi :) forte. Celle-ci était connue de René Descartes. La version forte implique la version faible, puisque n'importe quel nombre plus grand que 5 peut être obtenu en ajoutant 2 ou 3 à un nombre pair plus grand que 2.

Justification heuristique (L'heuristique (du grec heuriskêin, « trouver ») est l'utilisation de règles empiriques :)

La majorité des mathématiciens pensent que la conjecture est vraie, surtout sur des considérations statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation...) axées sur la répartition probabiliste des nombres premiers : plus le nombre est grand, plus il y a de manières disponibles pour le représenter sous forme de somme de deux ou trois autres nombres, et la plus " compatible " devient celle pour qui au moins une de ces représentations est constituée entièrement de nombres premiers.

Une version très grossière de l'argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des nombres premiers affirme qu'un entier m sélectionné aléatoirement d'une manière brute possède \frac{1}{\ln m} chance d'être premier. Ainsi, si n est un grand entier pair et m, un nombre compris entre 3 et n/2, alors on peut espérer la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...) que m et n-m simultanément soient premiers à

{1 \over \ln m \ln (n-m)}.

Cet argument heuristique n'est pas rigoureux pour de nombreuses raisons, par exemple, il est assuré que les éventualités que m et n-m soient premiers sont statistiquement indépendantes les unes des autres. Cependant, si on suit cet argument heuristique, on peut espérer que le nombre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme....) de manières d'écrire un grand nombre entier pair n comme la somme de deux nombres premiers impairs grossièrement à

\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.

Puisque cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de...) lorsque n augmente, nous pouvons espérer que chaque grand entier pair n'a pas qu'une seule représentation sous forme de somme de deux nombres premiers, mais en fait possède beaucoup plus de telles représentations.

L'argument heuristique ci-dessus est actuellement quelque peu imprécis, car il ignore certaines corrélations entre les probabilités que m et n-m soit premier. Par exemple, si m est impair alors n-m est aussi impair, et les nombres impairs sont de meilleurs candidats pour être premiers que les nombres pairs. De manière similaire, si n est divisible par 3, et m déjà un nombre premier distinct de 3, alors n-m serait aussi premier avec 3 et ainsi être légèrement plus convenable pour être premier qu'un nombre général. En poursuivant ce type d'analyse avec plus de soin, Hardy et Littlewood conjecturèrent en 1923 (en partie de leur célèbre conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood) que pour tout c ≥ 2 fixé, le nombre de représentations d'un grand entier n sous la forme de somme de c premiers n=p_1+\ldots+p_c avec p_1 \leq \ldots \leq p_c devrait être asymptotiquement égale à

(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c})  \int_{2 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_c: x_1+\ldots+x_c = n} \frac{dx_1 \ldots dx_{c-1}}{\ln x_1 \ldots \ln x_c}

où le produit couvre tous les nombres premiers p, et γc,p(n) est le nombre de solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) n = q_1 + \ldots + q_c \mod p en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des...) modulaire, soumise aux contraintes q_1,\ldots,q_c \neq 0 \mod p. Cette formule a été rigoureusement démontrée comme étant asymptotiquement valide pour c ≥  3 à partir du travail de Vinogradov, mais est seulement encore une conjecture lorsque c=2. Dans le dernier cas, la formule ci-dessus se simplifie à 0 lorsque n est impair, et à

2 \Pi_2 (\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}) \int_2^n \frac{dx}{\ln^2 x} \approx 2 \Pi_2 (\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}) \frac{n}{\ln^2 n}

lorsque n est pair, où Π2 est la constante des nombres premiers jumeaux

\Pi_2 = \prod_{p \geq 3} (1 - \frac{1}{(p-1)^2}) = 0,660161858\ldots.

Cette formule asymptotique est quelquefois connue comme la conjecture étendue de Goldbach. La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à la conjecture des nombres premiers jumeaux, et les deux conjectures sont reconnues comme étant globalement de difficulté comparable.

État des recherches

Cette conjecture a fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) de recherches par plusieurs théoriciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits...) pour tous les nombres pairs jusqu'à :3 \times 10^{17} à la date du 26 décembre 2005.

Nous savons que tout nombre pair peut être écrit comme une somme d'au plus six nombres premiers. Comme conséquence du travail de Vinogradov, nous pouvons affirmer que tout nombre pair suffisamment grand peut être écrit comme la somme d'au plus quatre entiers premiers. Vinogradov a montré de plus que presque tout nombre pair peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) que la proportion des nombres pairs qui peuvent s'écrire sous cette forme tend vers 1). En 1966, Chen Jing-run a montré que tout nombre pair suffisamment grand peut être écrit comme somme d'un nombre premier et d'un nombre avec au plus deux facteurs premiers.

Afin de faire de la publicité (Bien que le terme (Werbung en allemand, Publicity et Advertising en anglais) désignât d'abord le mot qui aux yeux d'Habermas qualifie la Modernité et la Démocratie —( Publicité, sauvegarde du peuple est-il écrit...) pour le livre Uncle Petros and Goldbach's Conjecture de Apostolos Doxiadis, l'éditeur britannique Tony Faber offrit un prix de 1 000 000 $ pour une preuve de la conjecture en 2000. Le prix ne pouvait être attribué qu'à la seule condition que la preuve soit soumise à la publication avant avril 2002. Le prix n'a jamais été réclamé.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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