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Hypothèse de Riemann
Représentation de la valeur absolue de la fonction Zeta de Riemann.
Représentation de la valeur absolue de la fonction Zeta de Riemann.

L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

Cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) d'un des problèmes Clay pour le troisième millénaire, doté d'un prix d'un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède un million un...) d'USD !

Historique

Riemann mentionna la conjecture, qui sera appelée plus tard hypothèse de Riemann, dans son article paru en 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée)[1], mais cette conjecture n'étant pas le sujet principal de son article, il n'attend pas de démonstration. Riemann savait que les zéros non triviaux de la fonction Zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) étaient distribués symétriquement autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au...) de la ligne s = \frac{1}{2} + it\, et savait que tous les zéros non triviaux se trouvaient dans la bande 0 \le Re(s) \le 1.

En 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin prouvèrent indépendamment qu'aucun zéro ne pouvait se trouver sur la ligne Re(s) = 1\,, ainsi que tous les zéros non triviaux devaient se trouver dans l'intérieur de la bande critique 0 < Re(s) < 1. Ceci était un résultat clé dans la première démonstration complète du théorème des nombres premiers.

En 1900, Hilbert incluait l'hypothèse de Riemann dans sa célèbre liste de 23 problèmes non résolus — il fait partie du 8e problème, celle-ci comprenant aussi la conjecture de Goldbach (La conjecture de Goldbach est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques. La conjecture s'énonce ainsi :). Il aurait dit à propos de ce problème : « Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : L'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée ? ». L'hypothèse de Riemann est le seul problème de Hilbert à figurer dans la liste des problèmes du prix du millénaire de l'institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute for Theoretical...) de mathématiques Clay.

En 1914, Hardy a prouvé qu'il y avait une infinité de zéros sur la droite critique Re(s) = \frac{1}{2}\,. Cependant il reste possible qu'il y ait une infinité de zéros non triviaux ailleurs que sur la droite critique. Des travaux ultérieurs de Hardy et Littlewood en 1921 et de Selberg en 1942 ont donné une estimation de la densité moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) de zéros sur la droite critique.

Des travaux récents se sont focalisés sur le calcul explicite d'endroits où il se trouve beaucoup de zéros (dans l'espoir de trouver un contre-exemple) et de placer des bornes supérieures sur la proportion de zéros se trouvant ailleurs que sur la droite critique (dans l'espoir de la réduire à zéro).

Tests numériques

En l'absence de démonstration validée par la communauté internationale des mathématiciens, Andrew M. Odlyzko s'est spécialisé dans le calcul numérique des zéros non triviaux de la fonction Zeta. On affirme ainsi généralement que le milliard (Un milliard (1 000 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf millions neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999 999) et précède un...) et demi de zéros calculés vérifient tous l'hypothèse de Riemann ; ce qui signifie qu'ils sont positionnés assez près, de la droite critique (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) que l'imprécision de calcul est telle qu'ils peuvent y être exactement).

Essais de démonstration

De nombreuses preuves supposées de l'hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées, principalement sur Internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services variés comme le courrier électronique, la messagerie...), ainsi que quelques infirmations, souvent le fait de mathématiciens en marge du système universitaire traditionnel. Aucun de ces travaux n'a pour le moment reçu l'assentiment de la communauté mathématique.

Le site (lien) recense quelques-unes de ces supposées preuves.

Un exemple de travail récemment déposé, le 12 mars 2006, sur la base de données scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la...) Arxiv est celui de Sze Kui Ng : Quantum (En physique, un quantum (mot latin signifiant « combien » et qui s'écrit « quanta » au pluriel) représente la...) knots and Riemann hypothesis.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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