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Prédicat

Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.

On peut aussi les considérer comme les concepts d’une théorie.

Les prédicats fondamentaux, ou notions premières

Les logiciens appellent ainsi les formules des phrases, des propositions, des énoncés, des assertions, des thèses, et dans certains cas, des affirmations, des lois, des hypothèses, des axiomes, des théorèmes, des équations, ...

Les phrases les plus simples pour le calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les logiciens du début du XXe siècle.) sont les formules atomiques. On les obtient en assemblant un nom de prédicat (Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.) fondamental avec un ou plusieurs noms d’objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...). Par exemple avec trois noms d’objet, Socrate, Pierre, Marie, et deux noms de prédicat unaire, est un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction,...), est une femme, on peut faire six formules atomiques : Socrate est un homme, Marie est une femme, ... “est une femme” est un prédicat unaire parce qu’il s’applique à un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).), c’est une qualité. “est amoureux de” est un prédicat binaire, parce qu’il s’applique à deux individus. C’est une relation binaire (Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou...). Il y a aussi des relations ternaires. x est produit par y et z est une relation ternaire entre x, y et z.

Une règle très généralement acceptée en logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison,...) formelle consiste à toujours mettre un prédicat fondamental en premier suivi de ses arguments, c’est-à-dire les objets auxquels il est attribué. Cela donne humain Socrate pour dire que Socrate est humain et égal x y pour dire que x est égal à y. Pour une relation binaire R on préfère cependant souvent la notation xRy à Rxy.

Les équations ou les égalités sont des phrases simples construites avec un prédicat binaire, = , très particulier quant à sa signification, mais qui ne pose pas de difficultés grammaticales.

Les noms d’objet et les opérateurs

Les noms d’objet peuvent être simples ou composés. Les noms simples sont pour les logiciens et les mathématiciens des symboles. Ils sont en général représentés par une lettre, i, N, ou par un signe graphique, 0, 1, ...

Les mots composés de plusieurs lettres, Socrate, ..., peuvent être considérés comme des mots simples tant que leurs lettres ne sont pas considérées comme des mots. Cette technique est très utile pour développer un système formel (Un système formel est un ensemble de formules, ou expressions formelles, que l’on peut interpréter comme des noms, des phrases, ou de toute autre façon. Ils sont des ensembles fondamentaux pour la logique et les...) dans un langage semi-naturel. Beaucoup de traités de logique sont difficiles à lire, même pour un spécialiste, parce qu’il faut se familiariser avec le formalisme parfois très particulier de leurs auteurs. Dans cette page, on n'introduira pas de symboles logiques particuliers. Toutes les notions fondamentales sont traduites par des expressions naturelles. On se limite cependant à une grammaire simplifiée, celle qui va être exposée. Il est très facile de traduire les règles ou les axiomes que nous énoncerons dans un formalisme plus rigoureusement déterminé, avec des symboles. Des liens renvoient à d’autres pages de l’encyclopédie où ce formalisme est exposé. Les deux approches sont complémentaires. Les méthodes formelles rigoureuses conviennent mieux aux théories mathématiques. Le langage semi-naturel montre plus clairement pourquoi le calcul des prédicats peut être considéré comme une grammaire universelle.

Les mots (vraiment) composés sont obtenus en assemblant plusieurs mots simples. On les appelle aussi des expressions formelles.

Les noms d’opérateurs sont les principaux outils pour former des noms composés à partir de noms simples. Les opérateurs sont aussi appelés des fonctions, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...). Nous verrons plus loin que les opérateurs logiques servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à former des phrases composées à partir de phrases simples.

À partir du nom Pierre, on peut former beaucoup d’autres noms avec un seul opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :), le père de : le père de Pierre, le père du père de Pierre, le père du père du père de Pierre, et ainsi de suite. “Le père de” est un opérateur unaire, ou à une place, ou d’arité 1, parce qu’il s’applique à un seul nom d’objet.

À partir de 1 et de l’opérateur binaire +, on peut former de nombreux noms : 1+1, (1+1)+1, 1+(1+1), 1+((1+1)+1), ... Le résultat d’un opérateur binaire o appliqué à deux individus x et y est noté o(x,y), oxy (dans la notation de Lukasiewicz), ou xoy.

Les noms d’opérateurs peuvent être introduits, dans un langage semi-naturel. Par exemple, “l’enfant de Pierre et Marie” peut être considéré comme obtenu par l’application de l’opérateur binaire “l’enfant de...et” aux deux êtres Pierre et Marie. Il peut être écrit e(P,M) ou ePM ou PeM.

On se sert souvent des parenthèses pour indiquer clairement la façon dont les noms composés sont construits à partir de noms simples. La notation de Lukasiewicz, permet de s’en passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.), mais les formules deviennent beaucoup moins lisibles.

Tant que 1 et + ont leur signification ordinaire 1+(1+1) est égal à (1+1)+1 mais ce n’est pas vrai pour tous les opérateurs binaires : l’enfant de (l’enfant de Pierre et Marie) et Socrate n’est pas égal à l’enfant de Pierre et l’enfant de Marie et Socrate, s’il existe. De façon symbolique e(e(P,M),S) est différent de e(P,e(M,S)).

On pourrait se servir de la première notation pour l’addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...) et dire que +(1,+(1,1)) est égal à +(+(1,1),1). Mais justement parce que ces deux nombres sont égaux, il vaut bien mieux écrire x+y que +(x,y). Cela permet de supprimer toutes les parenthèses, 1+1+1, parce que dans ce cas il n’y a pas d’ambiguïté. Mais on ne peut pas faire la même chose avec l’opérateur “l’enfant de” parce que (PeM)eS est différent de Pe(MeS). La notation xoy permet en général d’économiser des parenthèses et elle est souvent plus lisible mais elle ne va que pour les opérateurs binaires. Pour un opérateur ternaire ou plus, il faut revenir à la première notation, o(x,y,z) , ou oxyz, ou à des formulations plus compliquées.

Les noms simples et les noms d’opérateurs suffisent pour faire tous les noms composés dont on a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...) dans les sciences.

Avec les prédicats fondamentaux, ils permettent de faire toutes les phrases simples.

L’algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion...) de Boole des phrases complexes

Les opérateurs logiques permettent de faire des phrases complexes à partir de phrases simples.

Les opérateurs booléens sont la négation non, la conjonction et, la disjonction non-exclusive ou, l’implication implique, et quelques autres.

La négation est l’opérateur unaire “non” qui permet de faire la phrase non P à partir d’une phrase P.

Cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) adopté par les logiciens donne “non Socrate est humain” pour signifier que Socrate n’est pas humain. Cette façon de nier est pratique quand on veut multiplier les négations à l’intérieur d’une phrase complexe. Elle ne pose pas d’autres difficultés que de choquer les habitudes.

Les autres opérateurs booléens sont binaires. La conjonction et la disjonction permettent de faire (P et Q) ainsi que (P ou Q) à partir de P et de Q.

Avec la conjonction on peut rassembler plusieurs assertions relatives à une même situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre...). Avec la disjonction, on peut rassembler plusieurs assertions relatives à plusieurs situations possibles. Les opérateurs booléens permettent ainsi de construire tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui est dicible à partir d’un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de phrases simples.

La notion de conséquence peut être exprimée dans l’algèbre de Boole avec l’opérateur d’implication. P implique Q est souvent plutôt dit sous la forme si P alors Q .

L’algèbre de Boole est ainsi nommée parce que Boole a montré qu’on peut écrire certaines lois logiques sous la forme d’équations :

non nonP = P

non(PouQ) = nonP et nonQ

non(si P alors Q) = P et nonQ

et beaucoup d’autres.

Les affirmations d’existence et les lois générales

Il y a de nombreuses façons de formuler des lois et des énoncés d’existence. La meilleure et de très loin au point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique consiste à faire usage de noms de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques,...), ces x et ces y qui torturent parfois les esprits des élèves. Pour les logiciens, les mathématiciens et tous les scientifiques, les noms de variable sont pourtant des outils magnifiques. Toutes les difficultés de la syllogistique d’Aristote deviennent claires comme l’eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) de roche (La roche, du latin populaire rocca, désigne tout matériau constitutif de l'écorce terrestre. Tout matériau entrant dans la composition du sous-sol est formé par un assemblage de minéraux, comportant parfois...) dès qu’on a compris ce qu’on peut faire avec des noms de variable.

L’usage des noms de variable est très ancien, au moins aussi ancien que la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...). Aristote s’en est même servi pour énoncer les lois de la syllogistique. Mais il n’a pas compris que les règles syllogistiques elles-mêmes peuvent être déduites à partir d’un usage raisonné des noms de variable. Celui-ci a d’abord été développé par des algébristes, parce que les variables sont très utiles dans les équations. Frege et les autres inventeurs de la grande logique des classes et des relations, ceux qui ont réalisé la grande idée de Leibniz, la mathesis universalis, le calcul rationnel universel, qu’on appelle aujourd’hui le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des concepts, ont compris tout le profit que l’on pouvait tirer de l’usage des variables. L’usage des noms de variable, c’est la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de la généralité, c’est une des manifestations les plus claires de la grandeur de la raison.

Au point de vue de la grammaire, les variables ne posent au premier abord aucune difficulté particulière. Les noms de variable sont des mots comme les autres. Il suffit de préciser de quoi ils sont des variables, objet, classe, relation, opérateur, ... On peut utiliser dans une phrase les noms de variable comme tous les autres noms. x est humain.

Les lois et les affirmations d’existence sont faites avec deux types d’opérateurs unaires construits sur les noms de variable. (pour tout x) et (il existe un x tel que) sont deux opérateurs unaires associés au nom de variable x. Le premier est l’opérateur universel en x, ou opérateur de généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce...). Le second est l’opérateur existentiel en x, ou opérateur d’existentiation.

L’affirmation que tous les humains sont mortels est traduite dans le calcul des prédicats par, pour tout x, si x est humain alors x est mortel. C’est le résultat de l’application de l’opérateur (pour tout x) sur la phrase complexe (si x est humain alors x est mortel). L’affirmation qu’il y a au moins un être humain est traduite de même par, il existe un x tel que x est humain.

Les occurrences d’un nom de variable dans une phrase sont tous les endroits où ce nom apparait. Une occurrence peut être libre ou liée. Quand un opérateur existentiel ou universel en x est appliqué à une phrase complexe, toutes les occurrences de x deviennent liées, ou quantifiées, par cet opérateur. Toutes les occurrences qui ne sont pas ainsi liées sont libres.

Dans les théories du premier ordre, seules les variables d'objet peuvent être liées. Le domaine des objets, ou domaine d'existence, ou univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), ou ontologie, de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...), est aussi son domaine de quantification.

La distinction entre variable libre et variable liée est l’une des plus importantes pour la grammaire du calcul des prédicats. Elle est essentielle pour comprendre que les concepts sont des prédicats.

Les opérateurs booléens et les opérateurs universels et existentiels suffisent pour construire à partir des formules atomiques tous les énoncés dont on a besoin dans les sciences.

Les concepts sont des prédicats

Les prédicats d’une théorie sont d’abord ses prédicats fondamentaux, ceux que l’on peut identifier à ses notions premières. À partir d’eux, des objets de base, des variables et des opérateurs, on peut construire de nombreux prédicats dérivés, ou définis, à l’intérieur de la théorie. Il suffit d’écrire des formules qui contiennent des variables libres. Une formule qui contient une seule variable libre nomme un prédicat unaire. C’est un concept qualitatif. Une formule qui contient deux et seulement deux variables libres nomme un prédicat binaire, ou relation binaire, ou concept relationnel binaire. Quel que soit leur nombre de variables libres, pourvu qu’il soit au moins égal à un, les formules nomment des concepts.

Le concept de nombre premier peut être défini par le prédicat suivant, à l’intérieur de la théorie des nombres, supposés ici entiers positifs.

x est un nombre et pour tous nombres y et z, si y et z ne sont pas égaux à 1 alors x n’est pas égal à y fois z.

Dans la formule ci-dessus, les variables y et z sont liées. x est la seule variable libre. Cette formule est vraie si et seulement si x est un nombre premier. On peut donc la considérer comme un nom du concept de nombre premier.

Les concepts sont ou bien des notions premières, être un nombre, être égal à, être un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...), être dans, ... ou bien des notions dérivées, ne pas être égal à, être un nombre premier, ... Dans tous les cas, ce sont des prédicats. Le calcul des prédicats est le calcul des concepts.

Les concepts les plus fondamentaux sont en général ou bien qualitatifs, c’est-à-dire unaires, ou bien relationnels binaires. La logique d’Aristote est presque exclusivement consacrée aux concepts qualitatifs.

Pour faire la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de...), il faut faire des concepts. Pour la logique du premier ordre, les matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) de base sont les notions premières, ou prédicats fondamentaux, les objets de base, les opérateurs d’objet, les variables d’objet, et un petit nombre d’opérateurs logiques, les opérateurs booléens et les opérateurs de généralisation et d’existentiation. Les règles de construction sont simplement celles qui viennent d’être présentées. Toutes les formules grammaticalement correctes de la logique du premier ordre nomment des concepts dès qu’elles contiennent des variables libres. La logique n’impose pas d’autres limites à la pensée que celles de la correction grammaticale. En ce sens, on peut voir le calcul des prédicats comme un chemin de libération intellectuelle, parce qu’il permet de penser tout ce qu’on veut, et de le faire sans tomber dans l’absurdité.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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