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Calcul stochastique

Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités.

Applications

Le domaine d’application du calcul stochastique comprend :

  • la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à celle de physique...),
  • le traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des temps par les hommes pour communiquer entre...),
  • la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces...),
  • les mathématiques financières (Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers. Elles utilisent principalement...),
  • et même la musique.

Il est aussi utilisé dans les prévisions de comportement du vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface d'une planète. Les vents les plus violents connus ont lieu sur Neptune et sur Saturne. Il est essentiel à tous les...) et des courants aériens.

Processus aléatoires

Un processus aléatoire X est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi...) de \mathbb R ou \mathbb N, souvent assimilé au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) (voir aussi Processus stochastiques). C'est donc une fonction de deux variables : le temps et l'état du monde (Le mot monde peut désigner :) ω. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des états du monde est traditionnellement noté Ω. L'application qui à t associe X(ω,t) est appelée trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) du processus. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par \mathbb R. Il peut être défini comme l'unique processus Wt à accroissement gaussien tel que la corrélation entre Wt et Ws soit min(t,s). On peut également le voir comme la limite d'une marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en appui alternatif sur les jambes, en position debout et en ayant toujours...) aléatoire lorsque le pas de temps tend vers zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.).

Filtrations

Une filtration (La filtration est un procédé de séparation permettant de séparer les constituants d'un mélange qui possède une phase liquide et une phase solide au travers d'un milieu poreux. La filtration est...) Ft, t\in \mathbb{N} est une famille de sous-tribus emboîtées de Ω, qui peut s’interpréter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. à compléter

Espérance conditionnelle selon une filtration

Processus d'It?

Le processus d'It?, d'après le nom de son inventeur Kiyoshi It?, traite des opérations mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que...) dans un processus stochastique. Le plus important est l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) stochastique d'It?.

Intégrale d'Itô

Avant le calcul, notons que :

  • Les majuscules telles que X denotent les variables aléatoires.
  • Les majuscules avec en indice un t (par exemple Bt) denotent un processus stochastique qui est un ensemble de variables aléatoires indexé par t.
  • Un petit d à gauche d'un processus (par exemple dBt) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle...).

L'intégrale stochastique d'un processus Xt par rapport à un processus Bt est décrite par l'intégrale :

\int_{a}^{b} X_t\, dB_t

et est définie comme la limite en probabilité des sommes correspondantes de la forme :

\sum X_{t_i} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}).

Un point (Graphie) essentiel lié a cette intégrale est le lemme d'Itô.

La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités (La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, les processus...). La somme implique une convolution de la fonction de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) des probabilités, et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) est une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...) répétée.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) d'un processus d'Itô

Une fois précisée la définition choisie pour une intégrale stochastique, on définit alors un processus d'Itô comme étant une processus stochastique Xt de la forme

X_t = X_0 +\int_0^t u(s,\omega){\rm d}s +\int_0^t v(s,\omega) {\rm d}B_s

avec u et v deux fonctions aléatoire satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus Bt et ω est une réalisation dans l'espace de probabilité sous-jacent.

Dans le formalisme du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) avec la prescription d'Itô on note de façon équivalente la relation précédente comme

{\rm d}X_t = u(t,\omega){\rm d}t + v(t,\omega) {\rm d}B_t \,

Autre prescription

Il existe une autre prescription notable pour définir une intégrale stochastique, c'est la prescritpion de Stratonovich. L'intégrale de Stratonovich est définie comme la limite des sommes discrètes

\sum X_{\frac{t_i+t_{i+1}}{2}} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}).

La différence notable avec la prescription d'Itô est que la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) X_{\frac{t_i+t_{i+1}}{2}} n'est pas indépendante au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) des probabilités de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) B_{t_{i+1}} - B_{t_i}. Ainsi, contrairement à la prescription d'Ito, dans la prescription de Stratonovich on a

E\left[\int_{a}^{b} X_t\, dB_t\right]\neq 0

ce qui complique, de ce point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), certains calculs. Cependant l'utilisation de la prescription de Stratonovich ne choisit pas une direction du temps privilégiée contrairement à celle d'Itô ce qui implique que les processus stochastiques définis dans par l'intégrale de Stratonovich satisfont des équations différentielles stochastiques invariantes par renversement du temps. Pour cette raison, cette prescription est souvent utilisée en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...).

Il faut noter cependant qu'il est possible de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de l'une à l'autre des prescriptions en effectuant des changements de variables simples ce qui les rends équivalentes. Le choix de prescription est donc une question de convenance.

Processus usuels

Martingales exponentielles

Intégrale de Wiener et intégrale stochastique

à compléter

Soit Z le mouvement brownien standard défini sur l’espace probabilisé (Un espace probabilisé est un triplet formé d'un ensemble Ω, d'une tribu ou σ-algèbre sur Ω et d'une mesure P sur cette σ-algèbre telle que P(Ω) = 1.) (Ω,A,F,P) et σ un processus adapté à F. On suppose par ailleurs que σ vérifie :
E\left(\int_0^T \sigma_s^2 ds\right) < + \infty.
Alors, l’intégrale stochastique de σ par rapport à Z est la variable aléatoire :
\left(\int_0^T \sigma_s dZ_s \right) = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^N \sigma_{n-1} \left(Z_n - Z_{n-1}\right).

Lemme d’Itô

Soit x un processus stochastique tel qu'on ait dx = a*dt + b *dz où z est un processus de Wiener standard.

Alors d'après le lemme d'Ito, on a pour une fonction G = G(x,t)

dG = \frac{dG}{dt} dt + \frac{dG}{dx} dx + \frac{1}{2} b^2 \frac{d^2 G}{dx^2} dt

Equations différentielles stochastiques

Une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) différentielle stochastique (EDS) est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d’une équation du type dX = μ(X,t)dt + σ(X,t)dWt, où X est un processus aléatoire inconnu, que l’on appelle communément équation de diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de « vaporisation » (diffuseur d'un parfum).). Intégrer l’EDS, c’est trouver l’ensemble des processus vérifiant la diffusion entiere.

Processus d’Orstein-Uhlenbeck

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse (On distingue :) d'une particule dans un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu...), en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) 1.

On le définit comme étant la solution Xt de l'équation différentielle stochastique suivante : dX_t=\sqrt2dB_t-X_tdt, où Bt est un mouvement brownien standard, et avec X0 une variable aléatoire donnée. Le terme dBt traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme Xtdt représente la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) de frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) subie par la particule.

La formule d'Itô appliquée au processus etXt nous donne : d({e^t}X_t)={e^t}{X_t}dt+{e^t}(\sqrt{2}{dB_t}-{X_t}dt)+{e^t}dt={e^t}\sqrt{2}{dB_t}+{e^t}dt, soit, sous forme intégrale : X_t={X_0}e^{-t}+\sqrt{2}e^{-t}\int_0^t{e^s}dB_s

Par exemple, si X0 vaut presque sûrement x, la loi de Xt est une loi gaussienne de moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous...) xe t et de variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) 1 − e − 2t, ce qui converge en loi quand t tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a...) vers la loi gaussienne centrée réduite.

Problèmes de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) optimal

Méthodes de simulation

Méthode de Monte-Carlo (On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique, et utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes fait allusion aux jeux de...)

Les méthodes de Monte-Carlo reposent sur la loi des grands nombres : en répétant un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de fois une expérience, de façon (théoriquement) indépendante, on obtient une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) de plus en plus fiable de la vraie valeur de l'espérance du phénomène observé.

De telles méthodes sont notamment utilisées en finance pour la valorisation d’options pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée, mais uniquement des approximations numériques.

Simulation par arbres recombinants

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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