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Dérivée

La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport entre les variations infinitésimales de la fonction et les variations infinitésimales de son argument. Par exemple, la vitesse (On distingue :) est la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) du déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) par rapport au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), et l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique la...) est la dérivée, par rapport au temps, de la vitesse.

La notion de dérivée a vu le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le...) au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme

"  le quotient ultime de deux accroissements évanescents.  " 

La dérivée de la fonction f\, est notée en mathématique f'\,, Les physiciens préfèrent la notation \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x} qui a l'avantage de rappeler le nom de l'argument, mais on rencontre aussi la notation \dot f qui s'utilise dans le cas où l'argument est t, le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) correspondant au temps.

La notion de dérivée est une notion fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent...). Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) et de résoudre des problèmes d'optimisation.

Approche intuitive

Pour approcher cette notion de manière intuitive, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction dans un repère cartésien, continue, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien " lisse ", on dira là que la fonction associée est dérivable.

Quel que soit le point (Graphie) que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Concrètement, si l'on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. On comprend aisément que si la courbe " monte " (ie si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante. Si on se donne une abscisse x0 pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) dérivé de f en x0 le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de...) directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x0. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable...) change. Pour une fonction à plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.

Image:Courbe simple.png

Dans l'exemple ci-contre :

  • en 0, la courbe descend, donc le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1)
  • en 1, la courbe descend toujours, mais la pente y est moindre (-0,5).
  • en 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0).
  • en 3, la courbe monte, donc le nombre dérivé y est positif (0,5).

Approche historique

Gottfried Wilhelm von Leibniz
Gottfried Wilhelm von Leibniz

Dès la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan....) moitié du XVIIe siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) connut une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état...) de calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) et intégral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales.

C'est cependant Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.) qui, dans la première moitié du XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...), a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait " touchantes "; le marquis de l'Hospital participera aussi à la fin du XVIIe à étoffer cette nouvelle théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...), notamment en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières (cf. Règle de L'Hôpital). Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.

Jean Le Rond d'Alembert.
Jean Le Rond ( Le mot rond caractérise et par abus de langage désigne un cercle ou une sphère. En argot, un rond c'est un sou. Une affaire rondement menée est une affaire traitée rapidement en ayant...) d'Alembert.

Néanmoins cette théorie tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) juste éclose n'est pas encore pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au XVIIIe siècle que d'Alembert introduit la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui cette fois-ci pose problème : \R n'est pas encore construit formellement (voir à ce sujet l'article sur les nombres réels et l'article détaillé sur leur construction) et c'est seulement avec les travaux de Weierstraß au milieu du XIXe siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.

C'est au passage à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f'\left(x\right), aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en x.

Définition formelle

Soit f une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et x0 appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire...) \mathcal{D}_f.

Pour tout h\in \R^* tel que [x_0,x_0+h]\sub \mathcal{D}_f, on appelle taux d'accroissement de f en x0 et avec un pas de h la quantité :

t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées (x0,f(x0)) et (x0 + h,f(x0 + h)). Si t_{x_0}(h) admet une limite finie lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable en x0, auquel cas le nombre dérivé de f en x0 est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Ou, de manière équivalente :

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Image:tangente2.gif

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe en ce point.

Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.

La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que \R.

Par exemple, une fonction f d'une variable réelle, à valeurs dans \R^n, est dérivable en x0 si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en x0 ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de f. C'est un cas particulier de fonctions de variable vectorielle et à valeur dans un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée...) ou métrique.

Fonction dérivée

La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle, on peut définir sa fonction dérivée sur l'intervalle en question. La fonction dérivée de f, notée f'\, (prononcer " f prime ") - ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}, voire \dot{f} (en sciences physiques ou industrielles), est définie sur \mathfrak{D}_f et le domaine de dérivabilité de f\; (ensemble des points de \R en lesquels f est dérivable) est défini par :

f':\,\mathfrak{D}_f\rightarrow\R,\ x\mapsto f'(x)

C'est la fonction qui prend en tout point de \mathfrak{D}_f la valeur du nombre dérivé de f\, en ce point.

Ainsi, lorsque la fonction dérivable f est croissante, la fonction dérivée f'\, est positive. f'\, s'annule aux points où f admet des tangentes horizontales.

Les fonctions dérivées sont utilisées notamment dans l'étude des fonctions réelles et dans les équations différentielles. Une fonction qui est égale à sa dérivée est dite exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes...) (celle-ci est solution de y' = y, cf. article détaillé).

Notations

Il existe différentes notations pour exprimer la dérivée d'une fonction. On distingue :

  • La notation de Lagrange :
f'\left(x\right)
  • La notation de Leibniz :
\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x} qui équivaut, plus rigoureusement, à \frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}
  • La notation d'Isaac (ISAAC est un algorithme capable de générer des nombres pseudo-aléatoires, tombé dans le domaine public en 1996. Son auteur, Bob Jenkins, l'a conçu de manière à ce qu'il soit...) Newton :
\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t) qui est plutôt utilisée en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...).
  • Enfin, la notation d'Euler :
D_x f(x) \;

Dérivée des fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou moins...)

Fonctions
f(x) =\,
Dérivées
f'(x) =\,
Conditions
a\,\! 0\,\! x\,\in\mathbb{R}
a x\,\! a\,\! x\,\in\mathbb{R}
1 \over x\,\! - {1 \over x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\sqrt{x}\,\! {1 \over 2\sqrt{x}}\,\!

x\,\in\mathbb{R}_+^*

a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}
a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*
a x^c\,\! acx^{c-1}\,\! c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}
\cos(x)\,\! -\sin(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\sin(x)\,\! \cos(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\tan(x)\,\! 1 \over \cos^2(x) ou 1+\tan^2(x)\,\! x\neq {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}
a^x\,\! a^x \ln a\,\! a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}
\ln |x|\,\! 1 \over x\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\exp{x}\,\! \exp{x}\,\! x\,\in\mathbb{R}

Règles de dérivation

f'\, peut souvent se calculer directement à partir d'une expression de f\,, lorsqu'il s'agit d'une fonction " simple ", en utilisant la tables des dérivées usuelles (Cet article énumère les fonctions dérivées de la plupart des fonctions usuelles.). Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composée, on utilise un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) plus haut. Les règles les plus couramment utilisées sont les suivantes :

Nom Règle Conditions
Linéarité (af+bg)^\prime = af' + bg' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\, et les réels a et b.
Produit (fg)^\prime = f'g+fg' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,
Quotient \left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over g^2} Quelles que soient la fonction dérivable f\, et la fonction dérivable g\, qui ne s'annule pas
Composée (f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'  ou  (f(g(x)))' = f'(g(x)).g'(x) Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) f\, et g\,
Réciproque (f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}} Quelle que soit la fonction f\, bijective de réciproque f^{-1}\,, dérivable de dérivée non nulle

En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :

Nom Règle Conditions
Puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) (f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f' Quel que soit \alpha \in \mathbb Z, et même quel que soit \alpha \in \mathbb R si f est positive
Racine \left(\sqrt f\right)' = {f' \over 2\sqrt f} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive
Exponentielle (\mbox{e}^f)^\prime = \mbox{e}^f\cdot f' Quelle que soit f\, dérivable
Logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel...) (\ln f)^\prime = {f' \over f} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive

Précisons que dans ce dernier tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :), la composée des fonctions g et f n'a pas été notée g\circ f comme il conviendrait mais g(f). Ces notations peuvent porter à confusion mais sont bien commodes pour retenir les formules et les appliquer.

Démonstrations

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des accroissements finis

Énoncé
Si une fonction ƒ est continue sur un intervalle [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe un point x0 de ]a,b[ tels que la dérivée en ce point est le taux de variation entre a et b
f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...)
On commence par démontrer ceci lorsque ƒ(a) = ƒ(b) : la fonction n'est pas strictement monotone, donc soit la fonction est une droite horizontale et la propriété est valable en tout point, soit la fonction présente un maximum ou un minimum et donc sa dérivée s'annule en un point.
Pour une fonction quelconque, on se ramène au cas précédent en soustrayant la fonction
g(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)
alors (ƒ-g)(b) = (ƒ-g)(a) = ƒ(a) et l'on applique la linéarité de la dérivée.

Cette propriété est utilisée en cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des moments). Elle utilise...) pour déterminer une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) vitesse à partir d'un relevé de point.

Dérivation de la réciproque d'une fonction

Soit \mathit{f}\, une fonction dérivable et strictement monotone de l'intervalle \mathcal{I} sur l'intervalle \mathcal{J} = {f( \mathcal{I})} et si f'\, ne s'annule par sur \mathcal{I}, alors la fonction f^{-1}\, est dérivable sur \mathcal{J} et:

(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}

Démonstration:

Montrons que f^{-1}\,\! dérivable en b = f(a) \,\! . En supposant f'(a) \ne 0 \,\!, montrons que \lim_{y \to b}{\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y - b}} = {1 \over {f'(a)}} \,\!.

La fonction f \,\! étant dérivable en a\,\!, on a:

f'(a) = \lim_{x \to a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\,\!

Comme f^{-1} \,\! est continue en b \,\!, le théorème de composition des limites donne:

f'(a) = \lim_{y \to b}{\frac{f(f^{-1}(y)) - f(a)}{f^{-1}(y) - a}} = \lim_{y \to b}{\frac{y-b}{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}}

Cette limite étant non nulle, d'après le théorème sur l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) d'une limite, on a :

\lim_{y \to b}{\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b}} ={ 1 \over f'(a)}

Ou encore : (f^{-1})'(b) ={ 1 \over {f'(f^{-1}(b))} }

Dérivées de la réciproque des fonctions trigonométriques

On utilise le résultat précédent pour établir :

  • Si f(x) = \operatorname{Arcsin}(x)\,, alors f'(x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}
  • Si f(x) = \operatorname{Arcsin}(\varphi(x))\,, alors f'(x) = {\varphi'(x) \over{\sqrt{1-\varphi (x)^2}}}
  • Si f(x) = \operatorname{Arccos}(x)\,, alors f'(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}
  • Si f(x) = \operatorname{Arccos}(\varphi(x))\,, alors f'(x) = {-\varphi'(x) \over{\sqrt{1-\varphi (x)^2}}}
  • Si f(x) = \operatorname{Arctan}(x)\,, alors f'(x) = {1 \over{1+x^2}}
  • Si f(x) = \operatorname{Arctan}(\varphi(x))\,, alors f'(x) = {\varphi'(x) \over{1+\varphi(x) ^2}}

\varphi désigne une fonction dérivable à valeur dans le domaine de dérivabilité de la fonction considérée.

Dérivée d'ordre n

On définit la dérivée d'ordre n pour une fonction n fois dérivable par récurrence :

\frac{{\mathrm d} ^{n+1}f}{{\mathrm d} x^{n+1}}=\frac{{\mathrm d} }{{\mathrm d} x} \frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n}

\frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n} est également notée f^{(n)}\,.

Formule de Leibniz (Plusieurs formules portent le nom de Formule de Leibniz)

Si f,g sont des fonctions n fois dérivables, alors :

(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k } f^{(k)}g^{(n-k)}.

En particulier pour n = 2,

(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!.

On notera l'analogie avec la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en...) de Newton.

Notation de Leibniz

Dérivées des taux de variation liés

Analyse d'une fonction dérivée

En trouvant les valeurs de x où la dérivée vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de f permettent de trouver implicitement ses maximums et ses minimums. À effectuer le test de la dérivée première, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dérivée passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dérivée passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum. De plus, lorsque le signe de la dérivée première est positif, la fonction monte ; s'il est négatif, elle descend. On ne conclut rien, si au point critique la fonction ne change pas de signe. En dérivant la dérivée première, on a la dérivée seconde. À effectuer le test de la dérivée seconde, on trouve les nombres critiques de la dérivée première pour les placer dans le même tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la dérivée seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavité de la fonction. Un signe positif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave vers le haut et un signe négatif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave vers le bas. Connaissant les changements de concavité et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse (Une esquisse est un dessin tracé rapidement soit comme ébauche pour une œuvre plus élaborée, soit pour prendre des notes dans...) du graphique.

Dérivée et optimisation

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

  1. Mathématisation
    • Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.
    • Écrire la fonction objectif à deux variables et préciser si on recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...) un maximum ou un minimum dans la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans...) donnée.
    • Trouver la relation entre les deux variables.
    • Écrire la fonction objectif à une variable et préciser le domaine de la fonction.
  2. Analyse
    • Dériver la fonction pour obtenir la dérivée première.
    • Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée première vaut zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide...) ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
    • Effectuer le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.
  3. On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Dérivées et asymptotes

Une fois que l'on a déterminé les asymptotes de la fonction, on peut les noter dans le tableau de variation pour tracer adéquatement l'esquisse du graphique.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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