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Identité remarquable (mathématiques élémentaires)
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat...)

On appelle identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des réels, dans...), en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...), les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), en développant et factorisant des expressions.

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

Second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)
  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • (ab)2 = a2 − 2ab + b2
  • (ab)(a + b) = a2b2
Troisième degré
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • (ab)3 = a3 − 3a2b + 3ab2b3
  • a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)
  • a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2)

Utilité

Les identités remarquables sont une sorte de formule magique pour rendre les factorisation plus simples. Bien connaître ses identités remarquables permet d'obtenir un gain de vitesse (On distingue :) important ! Face à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquables sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l'expression à factoriser. Elles permettent aussi de simplifier considérablement des équations.

Démonstrations algébriques

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (grâce à la commutativité de la multiplication : ab = ba)

(ab)2 = (ab)(ab) = a2abba + b2 = a2 − 2ab + b2

(ab)(a + b) = a2 + abbab2 = a2b2

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(ab)3 = (ab)2(ab) = (a2 − 2ab + b2)(ab) = a3 − 2a2b + ab2a2b + 2ab2b3 = a3 − 3a2b + 3ab2b3

(a + b)(a2ab + b2) = a3a2b + ab2 + a2bab2 + b3 = a3 + b3

L'identité avec (a3b3) s'obtient de celle avec (a3 + b3) en remplaçant b par -b.

Démonstrations géométriques

(a+b)²=a²+2ab+b²
  1. Carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide et aussi (Maths élémentaire d'Euclide). La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers éléments du formulaire.
    1. On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes. En...) de l'aire du carré jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même couleur :) (), des aires des rectangles bleus (ab pour chacun) et de l'aire du carré vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un récepteur, appelé cône M, dont la bande passante est...) ().
    2. On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré vert vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire deux rectangles jaunes et bleus d'aire ab et en rajoutant une fois car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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