Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

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Géométrie

Logique

Probabilité (Probabilité vient du latin probare (prouver, ou tester). Le mot probable signifie « qui peut se produire » dans le cas de futures éventualités, ou...)

Statistique (Une statistique (par opposition à la statistique) est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'une population. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble...)

On appelle identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en...), en mathématiques (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais relativement à des...), les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) de la multiplication, en développant et factorisant des expressions.

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

Second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a − b)(a + b) = a² − b²

Troisième degré

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Utilité

Les identités remarquables sont une sorte de formule magique pour rendre les factorisation plus simples. Bien connaître ses identités remarquables permet d'obtenir un gain de vitesse (La vitesse est une grandeur physique qui permet d'évaluer l'évolution d'une quantité en fonction du temps.) important ! Face à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquables sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l'expression à factoriser. Elles permettent aussi de simplifier considérablement des équations.

Démonstrations algébriques

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² (grâce à la commutativité de la multiplication : ab = ba)

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b²

(a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b²

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = (a − b)²(a − b) = (a² − 2ab + b²)(a − b) = a³ − 2a²b + ab² − a²b + 2ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

L'identité avec (a³ − b³) s'obtient de celle avec (a³ + b³) en remplaçant b par -b.

Démonstrations géométriques

1. Carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés : c'est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle (il a quatre angles droits) et un losange (ses quatre côtés ont la même longueur).) de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide et aussi (Maths élémentaire d'Euclide). La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers éléments du formulaire.
   1. On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (Il existe (au minimum) cinq définitions du jaune qui désignent à peu près la même couleur :) (a²), des aires des rectangles bleus (ab pour chacun) et de l'aire du carré vert (Le vert est une couleur complémentaire correspondant à la lumière qui a une longueur d'onde comprise entre 490 et 570 nm. L'œil humain possède un récepteur,...) (b²).
   2. On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré vert vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire a² deux rectangles jaunes et bleus d'aire ab et en rajoutant une fois b² car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.