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Inéquation
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Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...)

Une inéquation (Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité.) est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité.

Il faut évidemment que le symbole < ou ≤ ait un sens. Il est donc nécessaire, en mathématiques élémentaires, que les inconnues appartiennent à l'ensemble des réels R ou à une partie de R. En particulier, il est impossible de travailler dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des complexes C.

Exemples:

  • 3c + 2 > 10 \,\!
  • t^2+3t \leq t - 1
  • 3x+2y \geq 5
  • \sqrt{x^2 + 3x - 5} < 2x - 3

Règles opératoires

La résolution des inéquations va demander la connaissance de quelques règles opératoires s'apparentant à celles déjà évoquées pour la résolution des équations mais avec de subtiles et fondamentales différences :

1. Transitivité de l'inégalité
si a < b et b < c alors a < c (propriétés valables pour deux inégalités de même nature : deux inégalités " < ", ou deux inégalités " > " ou deux inégalités " ≤ " ou deux inégalités " ≥ "
2. On peut ajouter un même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b alors a + c < b + c
3. On peut soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b alors a - c < b - c
4. On peut multiplier par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b et si c > 0 alors ac < bc
si on multiplie par un nombre négatif, l'inégalité change de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement...)
si a < b et si c < 0 alors ac > bc
5. On peut diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b et si c > 0 alors a/c < b/c
si on divise par une nombre négatif, l'inégalité change de sens
si a < b et si c < 0 alors a/c > b/c

A ces quelques règles, on ajoutera les quatre règles suivantes :

  • l'inégalité est compatible avec l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...), c'est-à-dire que l'on peut additionner membre à membre deux inégalités de même nature
si a < b et a' < b' alors a + a' < b + b'
mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens (car une soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la...) est une addition de l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils...) et la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité).
  • l'inégalité est compatible avec la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) seulement pour des nombres positifs, c'est-à-dire que l'on peut multiplier membre à membre deux inégalités constituées de nombres positifs entre deux inégalités de même sens
si 0 < a < b et 0 < a' < b' alors aa' < bb'
  • La prise de l'opposé ou celle de l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...) (pour des nombres de même signe) est une fonction décroissante, c'est-à-dire qu'elle change le sens de l'inégalité.
si a < b alors -a > -b
si 0 < a < b alors 1/a > 1/b
si a < b < 0 alors 1/a > 1/b
  • la règle des signes : le produit de deux quantités de même signe est positif, le produit de deux quantités de signes opposés est négatif.

Résolution d'inéquations particulières

  • Inéquation du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :)
  • Inéquation du second degré
  • Inéquation se résolvant par tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de signes
  • Inéquation linéaires à plusieurs inconnues
  • Inéquation avec racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.)
  • Tracer une inéquation/inégalité sur un graphique
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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